Il mio amico L. mi ha fatto conoscere questa equazione che mette in relazione le note costanti matematiche e, pi, i, per ricavare un’altra famosa costante:
il numero aureo φ = 1,61803398874989...
Come per l’identità di Eulero,
anche in questo caso compaiono contemporaneamente nella stessa formula
alcune delle più importanti costanti matematiche.
Per dimostrare la relazione dobbiamo
cominciare dalla Sezione Aurea.
Si tratta di dividere un segmento AB in
2 parti (che chiameremo AC e CB) in modo tale che valga la proporzione continua
AB : AC = AC : CB
Euclide usò questa formula lavorando sui
pentagoni.
Poniamo il segmento più piccolo CB = 1 e AC = x, da cui AB = 1 + x
La condizione richiesta è perciò: (1
+ x) / x = x / 1
Quindi si ha x2 – x – 1 = 0
Le soluzioni di questa equazione di
secondo grado sono:
La Sezione Aurea fu il punto di partenza per lo studio greco dei pentagoni regolari e di tutto ciò che era associato ad essi, come ad esempio il decagono, il dodecaedro e l’icosaedro. Il decagono si può trovare nella base di molte caffettiere.
Come vedremo poi, se si disegna un
pentagono regolare di lato 1, allora le diagonali hanno per lunghezza il numero
aureo.
Il termine Sezione Aurea è
relativamente recente e pare che fu usato per la prima volta da Martin Ohm
(fratello del più famoso Georg Simon Ohm che ha dato il nome alla legge)
nel suo libro del 1835.
Prima di vedere perché, rivediamo
qualche nozione di trigonometria.
La trigonometria studia i triangoli
rettangoli a partire dai loro angoli. Il suo compito principale consiste
nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi del triangolo (lati,
angoli, ecc.) per mezzo di speciali funzioni partendo da misure note.
Le funzioni trigonometriche (le più
importanti sono seno e coseno) vengono anche usate in
maniera indipendente dalla geometria, ad esempio in connessione con la funzione
esponenziale.
1) Il seno di un angolo è il
rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza dell'ipotenusa.
2) Il coseno di un angolo è il
rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa.
La formula di Eulero è una
formula nel campo dell'analisi complessa che mostra una profonda relazione fra
le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa.
L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero.
La formula di Eulero, dal nome del
matematico Leonhard Euler, è stata provata per la prima volta da Roger Cotes nel 1714 e poi riscoperta e resa celebre da Eulero nel 1748. Nessuno
dei due vide l'interpretazione geometrica della formula: la visione dei numeri
complessi come punti nel piano arrivò solo circa 50 anni dopo, per opera di Wessel, Argand e Gauss.
La dimostrazione più diffusa è basata
sullo sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale.
La formula di Eulero permette anche di
interpretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione
esponenziale:
formula
di Eulero: eix = cos x + i sen x
la
formula di Eulero permette anche di interpretare le funzioni seno e coseno
come semplici varianti della funzione esponenziale:
sen x = ( eix - e-ix ) / 2i cos x = ( eix + e-ix
) / 2
Come noto, gli angoli possono essere
espressi in diversi modi, i più utilizzati sono i gradi sessagesimali e
i radianti. Di seguito, a seconda dello scopo, verranno presi in
considerazione entrambi.
Mostriamo ora alcuni angoli notevoli:
30, 36, 45, 60 e 90 gradi.
In particolare, il seno (30°) = ½ (il
cui quadrato è uguale a ¼); in modo analogo i quadrati del seno di 45, 60 e 90
gradi sono rispettivamente: 2/4, 3/4 e 4/4.
Un pentagono regolare di lato 1 (per es.
DE) ha invece altre particolari proprietà e si può dimostrare che le
diagonali (per es. AD) hanno lunghezza φ.
I 2 triangoli isosceli ADE e DCE
sono simili per cui AD : DE = DE : CE
Ponendo AD = x si ha:
x : 1 = 1 : (x – 1) 1 = x2 – x x2 – x – 1 = 0
Per cui in analogia a quanto visto sopra:
AD = φ
cioè, in un pentagono regolare di lato 1, le diagonali sono
uguali a φ
Per il triangolo rettangolo ABC si
può quindi ricavare:
cos 36° = AB / AC = φ / 2
= 0,809016994374945…
Combinando questo risultato con la funzione per il coseno, si
ottiene l’enunciato iniziale:
Riporto in seguito altre formule notevoli:
Zibaldone
Scientifico: 89. Ottantanove (zibalsc.blogspot.com)
Zibaldone
Scientifico: 90. Ottantanove bis (zibalsc.blogspot.com)
Zibaldone
Scientifico: 139. Sezione aurea immaginaria (zibalsc.blogspot.com)
Zibaldone
Scientifico: 146. Argomenti Complessi (zibalsc.blogspot.com)
Zibaldone
Scientifico: 161. Guarda e dimmi (Look and Say) (zibalsc.blogspot.com)
Zibaldone
Scientifico: 177. Ottagoni e Sezione Aurea (zibalsc.blogspot.com)
Zibaldone
Scientifico: 228. Quasi (zibalsc.blogspot.com)
Zibaldone
Scientifico: 229. Penrose (zibalsc.blogspot.com)
Generalizations of
Fibonacci numbers - Wikipedia
Rappresentazione dei numeri
complessi
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