101. La carica

La carica e’ una quantità fisica fondamentale di una particella che ne determina la partecipazione in un processo di interazione.

La carica elettrica e’ responsabile dell’interazione elettromagnetica, la carica di colore (o carica forte) dell’interazione forte, ecc.  Quark e gluoni hanno carica di colore e conseguentemente partecipano all'interazione forte. Esistono tre cariche di “colore” diverse (rossa, verde e blu) e tre cariche di "anticolore" (antirossa, antiverde e antiblu).

Emmy Noether dimostrò che se un sistema fisico è invariante sotto alcuni gruppi di trasformazioni continue, allora da ciascuna proprietà di simmetria segue la conservazione di una quantità fisica del sistema.

Teorema di Noether:

       “Per ogni simmetria continua a N parametri esitono N grandezze conservate"

La conservazione della carica deriva dall'invarianza sotto trasformazioni di fase del gruppo U(1) definite da:

                                   y(x)    ®    y’(x) = e^iay(x)

In pratica questa sostituzione lascia invariate le equazioni, come puo’ essere verificato negli appunti per il corso di Fisica Nucleare (INFN) di Fiorenzo Bastianelli:

http://www-th.bo.infn.it/people/bastianelli/simmetrie-fns-11.pdf

Le teorie che utilizzano questo tipo di formalismo prendono il nome di Teorie di Gauge. 
Una chiara esposizione viene fornita da Diego Bettoni (INFN):

http://www.fe.infn.it/~bettoni/particelle/Lezione3.pdf 

Le forze elettromagnetiche agiscono sulla carica elettrica trasportata da qualsiasi particella carica, la cui unità di misura è la carica dell'elettrone. Nata con le leggi dell'elettromagnetismo e passata attraverso la scoperta dei quanti, da gran tempo è noto che due cariche elettriche si attirano o si respingono secondo il quadrato della distanza che le separa.

Un elettrone che subisce un rallentamento o un'accelerazione si trasforma in un elettrone più un fotone, che può essere l’emissione di luce da un atomo o di un'onda radio da un'antenna.

L'elettrone può emettere il fotone solo in presenza di un'altra particella carica.

Nell’interazione elettromagnetica il fotone viene emesso ed assorbito anche se

l'energia non è conservata durante il breve istante del processo virtuale

e nell'elettrodinamica quantistica sarà rappresentata da uno scambio di tali fotoni. Nell'accoppiamento elettromagnetico le cariche sono conservate dato che alla fine della reazione vi è altrettanta elettricità che all'inizio. La carica elettrica si comporta quindi come una corrente elettrica che passa da una particella all'altra senza aumentare né diminuire.

L’esperimento di Millikan dimostrò che la carica elettrica è quantizzata, cioè può assumere soltanto dei valori che siano multipli interi dell’unità di carica elementare    

      e = 1,602×10^-19C  (e = carica dell’elettrone):

Una spiegazione del motivo per cui le forze elettromagnetiche decrescono con il quadrato della distanza, può essere ricavato dalla relazione    DE Dt » ħ

Se un elettrone emette un fotone virtuale di grande energia, esso può esistere solo per un tempo molto corto e può quindi esercitare una forza intensa solo su di un altro elettrone che gli passi vicino. D’altra parte un fotone virtuale di piccola energia può avere influenza, sebbene con intensità più debole, anche su distanze più grandi.

http://zibalsc.blogspot.com/2010/12/11-emmy-noether-simmetrie.html

http://www-th.bo.infn.it/people/bastianelli/

http://www-th.bo.infn.it/

http://www.fisicaparticelle.altervista.org/breve2.html

http://it.wikipedia.org/wiki/Fotone

Abstract -  Gauge Invariance and Charge Conservation.

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100. Eruzioni Solari

In questi mesi il Sole sta attraversando una fase di forte attività’.

Si sono verificate enormi eruzioni solari, che hanno prodotto violente espulsioni di materia solare dalla corona in direzione della Terra. Il vento solare generato può creare spettacolari aurore polari e interferenze nei sistemi di comunicazione terrestre.
Per rendersi conto delle dimensioni in gioco si può considerare l’esempio mostrato nel
  sito della Nasa:   http://sunearthday.nasa.gov/2007/materials/solar_pizza.pdf

Come indicato, il diametro terrestre e’ contenuto circa 109 volte in quello solare, mentre il diametro dell’orbita lunare e’ contenuto un paio di volte circa (la Terra e' posizionata nel rettangolo tratteggiato in alto a destra).


 

L’esercizio proposto nel sito della NASA consiste in questo: dopo aver ritagliato la sagoma del Sole e il rettangolino contenente la Terra, una persona prende il Sole, mentre l’altra, posizionata a 20 metri di distanza, la Terra.

Con una scala di  1:7.500.000.000, questo rappresenta l’orbita della Terra intorno al Sole.

Nel video successivo, che si può trovare nel sito THE WATCHERS, i filamenti magnetici si estendono sino ad una distanza di decine di raggi solari (il Sole e’ rappresentato dal piccolo cerchio bianco).

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http://thewatchers.adorraeli.com/

http://sunearthday.nasa.gov/2012/

 

Abstract -  Powerful Solar eruption

99. Luci della città

Nel libro: “La mia autobiografia” Charles Chaplin cita diverse volte la famiglia Einstein. Una di queste racconta di quando, a Los Angeles, assistettero alla prima di Luci della città, facendosi largo nel corso gremito di gente per parecchi isolati.

Einstein e la seconda moglie Elsa iniziarono la loro relazione nel 1912 e si sposarono il 2 giugno 1919. Le loro madri erano sorelle, mentre i loro padri erano cugini ed Elsa alla nascita aveva anche lei lo stesso cognome: Elsa Einstein.

Los Angeles Theater,  30 Gennaio 1931

In un altro capitolo del libro Chaplin ricorda la nascita della Teoria della Relatività Generale, così come gli venne raccontata nel corso di una cena a casa sua:

“La prima volta che incontrai Einstein fu nel 1926, quando venne in California per una serie di conferenze. Io ho una teoria, secondo la quale scienziati e filosofi non sono che dei romantici idealisti che hanno incanalato le loro passioni in un’altra direzione. Questa teoria si adattava benissimo alla personalità di Einstein. Aveva l’aria del tipico tirolese, nel miglior senso della parola, affabile e giovanile. E benché i suoi modi fossero calmi e gentili, sentii che nascondevano un temperamento estremamente emotivo, e che era da questa fonte che proveniva la sua straordinaria energia intellettuale.

Fu Carl Laemmle degli studi Universal a telefonare per informarmi che il professor Einstein desiderava conoscermi. Rimasi elettrizzato. Ci trovammo dunque a pranzo nella sede della Universal, il professore, sua moglie, la sua segretaria Helene Dukas e il suo assistente Walter Meyer. La signora Einstein parlava un ottimo inglese, assai migliore di quello del marito.

Dopo pranzo la signora Einstein mi tirò in disparte e sussurrò: - Perché non invita il professore a casa sua? So che gli piacerebbe moltissimo scambiare quattro chiacchiere in santa pace, tra noi. –

Dato che la signora Einstein mi aveva pregato di non fare le cose in grande, invitai solo altri due amici. A cena ella mi raccontò la storia del mattino in cui suo marito aveva concepito la teoria della relatività. Disse che il dottore era sceso in vestaglia, come sempre, ma aveva appena toccato colazione. – Capii subito che qualcosa bolliva in pentola e gli chiesi quale problema fosse a tormentarlo. «Cara» disse lui «Ho un’idea formidabile, un’idea fantastica! »  «Allora per l’amor del cielo, dimmi di che si tratta» dissi io «Non tenermi così in sospeso.»

«E’ difficile» disse lui «La devo ancora sviluppare.» -

Mi disse che continuò a suonare il piano e a prendere appunti per circa mezz’ora, poi salì nel suo studio, informandola che non voleva essere disturbato, e vi rimase due settimane.

«Tutti i giorni gli mandavo su i pasti» disse « e la sera faceva una passeggiata igienica e poi tornava al suo lavoro.»

«Finalmente» disse, uscì dallo studio: era pallidissimo. «Ecco qua» disse stancamente posando sul tavolo due fogli di carta. E quella era la teoria della relatività.”

http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_family
http://www.cosediscienza.it/fisica/10_einstein.htm

98. Nulla

Michael e Cary Huang hanno realizzato la straordinaria animazione  "The scale of the universe 2"  che consente di avere una visione di insieme delle dimensioni relative al mondo in cui viviamo, dalla lunghezza di Planck (10^-35 m) alla dimensione stimata dell'Universo (9,3 x 10²⁶ m).

“The scale of the universe 2” consente di navigare interattivamente, grazie all’utilizzo di un cursore con cui si può passare da una scala maggiore ad una minore e viceversa.
E’ quindi facile comprendere i passaggi di scala tra un oggetto e l'altro.

Una descrizione di quest’animazione si può trovare in Scientificando o direttamente al link:

http://htwins.net/scale2/

Visionando il video ci si rende conto che, ogni volta che si passa ad un ingrandimento maggiore, solo una parte infinitesima del volume e’ occupata.

Per esempio il raggio dell’atomo e’ dell’ordine di 10^-10 m  (cioè un metro diviso per 10.000.000.000). Le dimensioni dei nuclei atomici sono 10^-4 volte più piccole (cioè diviso ulteriormente per diecimila) di quelle dell'atomo.

La proporzione tra il volume contenente materia e il restante spazio vuoto in un atomo è pari a 10^-12, in altre parole per il  99,9999999999%  e’ il nulla.

41 – Lo Zen di Joshu                     -  tratto da:   101 STORIE ZEN,  ed. Adelphi

Joshu comiciò lo studio dello Zen quando aveva sessant’anni e continuò sino agli ottanta allorché realizzò lo Zen.

Insegnò dall’età’ di ottant’anni sino a quando raggiunse i centovent’anni.

Una volta uno studente gli domandò:  “Se nella mia mente non c’e’ nulla, che cosa devo fare?”.

Joshu rispose:  “Buttalo via”.

“Ma se non c’e’ nulla, come faccio a buttarlo via?”  insistette l’allievo.

“Be’,”  disse Joshu  “allora attualo”.
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http://htwins.net/
http://zibalsc.blogspot.com/2011/02/40-atomi.html

97. E quindi uscimmo a riveder le stelle

In una notte limpida e serena, senza illuminazione pubblica e con una vista perfetta, anche se si ha l’impressione di poter vedere un’infinita’ di stelle, il numero reale che si riesce a distinguerne e’ dell’ordine di 3000.

Il termine trasparenza viene utilizzato dagli astronomi per indicare la condizione di visibilità del cielo in un determinato momento. Essa varia secondo le condizioni dell'atmosfera e del luogo da cui si osserva. In una notte con ottime condizioni atmosferiche un osservatore con una vista perfetta può osservare stelle di magnitudine 6,5 o inferiore (cioè più luminose, perché più un oggetto e’ debole più la sua magnitudine e’ alta).  Come limiti estremi si possono considerare le magnitudini: del Sole (mag. app. -26,8 ) e degli oggetti più deboli osservabili col Telescopio Spaziale Hubble (mag. app. +30 ).
V509 Cassiopeiae (V509 Cas), avente magnitudine apparente di 5,1 e situata nella costellazione di Cassiopea, e’ una delle stelle più lontane che possiamo osservare e dista circa 7.800  anni luce dalla Terra.

Il diametro della Via Lattea (la nostra galassia) è stimato essere 100.000 anni luce e per raggiungere il centro galattico, situato nella costellazione del Sagittario, si dovrebbe percorrere la distanza di 27.000 anni luce.

Solo 6000 delle 200.000.000.000 di stelle stimate sono quindi visibili a occhio nudo e sono contenute all’interno del piccolo cerchio rosso centrato sulla posizione del Sole.

Ovviamente la galassia riportata in figura è solo una rappresentazione grafica della Via Lattea, poiché non è possibile allontanarsi a sufficienza per poter fotografare integralmente la struttura a forma di spirale barrata. Possiamo però fotografare galassie simili come Andromeda.

Galassia di Andromeda

http://en.wikipedia.org/wiki/Naked_eye

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Grazie al Circolo Astrofili di Trezzano s/n per i suggerimenti.

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Abstract -  What’s the farthest distance a star visible to the naked eye can still be seen?

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96. Labirinti

Wikipedia definisce labirinto una struttura, solitamente di vaste dimensioni, costruita in modo tale che risulti difficile per chi vi entra trovare l'uscita.

In Inghilterra il più popolare dei labirinti da giardino fatto di alte siepi fu progettato nel 1690 per il Palazzo di Hampton Court vicino a Londra.

Da un punto di vista matematico un labirinto e’ un problema di topologia. Anche se il foglio viene deformato il percorso non cambia, cioè e’ un invariante topologico.

Se esiste un solo ingresso e lo scopo e’ di trovare la via d’uscita, la cosa può essere risolta tenendo il dito a contatto con la parete destra mentre si cammina. Anche se il percorso non sarà sempre il più breve, si arriverà sempre all’uscita. Nel caso in cui la meta si trovi all’interno del labirinto, vale lo stesso discorso, purché non vi sia un percorso lungo il quale si possa girare intorno alla meta e tornare al punto di partenza.

L'algoritmo di Tremaux consiste nel seguire un percorso scelto a caso fino a raggiungere un incrocio, marcando la via che è stata percorsa fino a quel momento (nel caso in cui il corridoio conduca a un vicolo cieco, è necessario tornare indietro fino all'incrocio precedente, marcando la via all'andata e al ritorno). A ogni incrocio  si prende preferibilmente un corridoio non segnato come percorso in precedenza, e se ciò non è possibile, si prende una via percorsa una sola volta. In ogni caso non è permesso scegliere una via che è stata già marcata due volte. Iterando il procedimento per ogni incrocio che si trova sul proprio percorso, l'algoritmo permette di raggiungere l'uscita (o se il labirinto non ha altre uscite oltre a quella imboccata per entrare, di tornare all'entrata).

Ma quanto è lungo un labirinto?  Se per comodità di calcolo lo pensiamo con corridoi larghi un metro e se ricoprisse l’area di un campo di calcio ( 105 x 68 = 7140 metri² ) avrebbe un’estensione lineare di 7,14 km, mentre con un'area equivalente ad una città come Milano (superficie 181 km² = 181.000.000 m² ) sarebbe lungo 181.000 km, più di 4 volte la misura dell’equatore terrestre.

Infine la superficie della Terra ( 5,1 x 10¹⁴ m² ) e’ per il 70,8% coperta da acqua, mentre il rimanente 29,2% emerso consiste di montagne, deserti, pianure e altipiani.

Un labirinto che ricoprisse il 10% della superficie terrestre si estenderebbe per 340 Unità Astronomiche (UA), cioè indicativamente una decina di volte la distanza da percorrere per raggiungere Plutone.

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/probegio/GAMEMATH/Labirinti/15.%20I%20labirinti%20in%20rete%20e%20in%20libreria.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/Maze_solving_algorithm

http://utenti.quipo.it/base5/combinatoria/labirinti.htm

Martin Gardner, Enigmi e giochi matematici, Vol. II, Sansoni, 1973

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Abstract -  Labyrinth: how to exit from it.

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95. Galleria di Stampe

Maurits Cornelis Escher (Leeuwarden, 17 giugno 1898 – Laren, 27 marzo 1972) è stato uno dei più famosi grafici ed illustratori di tutti i tempi. È conosciuto principalmente per le sue incisioni su legno, litografie e mezzetinte che tendono a presentare costruzioni impossibili, esplorazioni dell'infinito, tassellature del piano e dello spazio e motivi a geometrie interconnesse che cambiano gradualmente in forme via via differenti.

Nel 1956, Escher fece una litografia, cui diede il titolo di “Prentententoonstelling”,

la cui traduzione italiana e’  “Galleria di Stampe”

In questa stampa un giovane ammira un quadro esposto in una galleria d'arte, in cui e’ rappresentato il porto di una piccola città (probabilmente La Valletta a Malta). Continuando in senso orario, nella città e’ presente una galleria d’arte dove al suo interno e’ presente un giovane che ammira un quadro …

Al centro troviamo un buco bianco con la firma di Escher.

Secondo l'analisi frattale, quella litografia può essere vista come una determinata curva ellittica sul piano dei numeri complessi che conduce a una sua ripetizione costante, ruotata in senso orario di circa 157,6255960832. . . gradi e rimpicciolita di 22,5836845286. . .   volte.

In parole povere, in quel buco ci si potrebbe incastrare l'intera immagine, rimpicciolita 22 volte e ruotata di 157 gradi. Con una zoomata continua e’ possibile procedere all’infinito all'interno della litografia.

Il diagramma che rappresenta questo ciclo continuo e’ il seguente:

Per costruire questa litografia Escher utilizzò la griglia riportata in figura:

dove spostandosi da un angolo al successivo (ad esempio dal punto A al punto B o viceversa) si ha una variazione di scala di un fattore 4. Dopo una rotazione completa si ritorna al punto di partenza dove il fattore diventa 4⁴ = 256

In altre parole il giovane e’ circa 4 volte più grande del secondo uomo presente nella galleria d’arte e 16 volte di quello seduto sul terrazzo della casa.

Nell’ottobre del 1964 Escher si recò negli Stati Uniti per un ciclo di conferenze. Purtroppo però si ammalò e dovette essere ricoverato per un intervento chirurgico urgente. Tutti gli impegni vennero annullati e Escher non ebbe mai più occasione di tenere quelle conferenze. Aveva scritto il testo completo delle 2 conferenze in inglese. Fortunatamente, questi testi si sono conservati e sono stati successivamente raccolti nel libro:

M.C.Escher, Esplorando l’infinito, Garzanti

In merito alla “Galleria di Stampe” Escher scriveva:

“… lungo i margini l’immagine si espande ad anello, in senso orario, e circonda un centro urbano vuoto. Cercherò di seguire quest’azione, a cominciare dall’angolo in basso a destra.

Varchiamo la soglia per entrare in una galleria di stampe. Le incisioni sono esposte sui tavoli e sui muri. Incontriamo subito un visitatore con le mani dietro la schiena e poi un giovane circa 4 volte più alto. Ha la testa tanto più grossa della mano per via dell’espansione circolare continua. Osserva l’ultima stampa di una serie appesa al muro; vede la nave, il mare e le case di una città sullo sfondo, che nella stampa e davanti a lui continuano a espandersi. In una delle case una donna guarda dalla finestra aperta. Essa e’ anche un particolare della stampa che il giovane osserva, proprio come la tettoia in pendenza che le sta sotto, e che protegge la galleria. Così, dopo avere girovagato con lo sguardo intorno al centro vuoto, dobbiamo concludere logicamente che lo stesso giovane e’ parte della stampa che sta osservando. In realtà egli si vede come un particolare dell’immagine:

la realtà e l’immagine sono una cosa sola.”

I video visionabili nel sito seguente possono aiutare ad approfondire la comprensione dei lavori di Escher.
http://www.youtube.com/watch?v=9WHdyG9mJaI&context=C3ceadd3ADOEgsToPDskLlwtChO3oZKUxKT4LOX5P

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Bruno Ernst, The Magic Mirror of M. C. Escher, Ballantine Books, New York, 1976
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http://www.ams.org/notices/200304/fea-escher.pdf
http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=325
http://aixa.ugr.es/escher/table.html
http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/index.php?menu=intro
http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/af_file/escher.htm

http://zibalsc.blogspot.com/2011/02/35-escher.html

http://www.mcescher.com/

http://britton.disted.camosun.bc.ca/escher/jbescher.htm

http://www.mathacademy.com/pr/minitext/escher/index.asp

http://it.wikipedia.org/wiki/Maurits_Cornelis_Escher

Dedicato a MC che mi ha fatto conoscere MCE