266. Formule complesse

Il mio amico L. mi ha fatto conoscere questa equazione che mette in relazione le note costanti matematiche e, pi, i, per ricavare un’altra famosa costante:

il numero aureo φ =  1,61803398874989...

Come per l’identità di Eulero, anche in questo caso compaiono contemporaneamente nella stessa formula alcune delle più importanti costanti matematiche.

Per dimostrare la relazione dobbiamo cominciare dalla Sezione Aurea.

Si tratta di dividere un segmento AB in 2 parti (che chiameremo AC e CB) in modo tale che valga la proporzione continua AB : AC = AC : CB

Euclide usò questa formula lavorando sui pentagoni.

Poniamo il segmento più piccolo CB = 1 e AC = x, da cui AB = 1 + x 

La condizione richiesta è perciò: (1 + x) / x = x / 1

Quindi si ha x² – x – 1 = 0

Le soluzioni di questa equazione di secondo grado sono:

La Sezione Aurea fu il punto di partenza per lo studio greco dei pentagoni regolari e di tutto ciò che era associato ad essi, come ad esempio il decagono, il dodecaedro e l’icosaedro. Il decagono si può trovare nella base di molte caffettiere.

Come vedremo poi, se si disegna un pentagono regolare di lato 1, allora le diagonali hanno per lunghezza il numero aureo.

Il termine Sezione Aurea è relativamente recente e pare che fu usato per la prima volta da Martin Ohm (fratello del più famoso Georg Simon Ohm che ha dato il nome alla legge) nel suo libro del 1835.

 

Prima di vedere perché, rivediamo qualche nozione di trigonometria.

La trigonometria studia i triangoli rettangoli a partire dai loro angoli. Il suo compito principale consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi del triangolo (lati, angoli, ecc.) per mezzo di speciali funzioni partendo da misure note.

Le funzioni trigonometriche (le più importanti sono seno e coseno) vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale.

1)    Il seno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza dell'ipotenusa.

2)    Il coseno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa.

La formula di Eulero è una formula nel campo dell'analisi complessa che mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero.

La formula di Eulero, dal nome del matematico Leonhard Euler, è stata provata per la prima volta da Roger Cotes nel 1714 e poi riscoperta e resa celebre da Eulero nel 1748. Nessuno dei due vide l'interpretazione geometrica della formula: la visione dei numeri complessi come punti nel piano arrivò solo circa 50 anni dopo, per opera di Wessel, Argand e Gauss.

La dimostrazione più diffusa è basata sullo sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale.

La formula di Eulero permette anche di interpretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione esponenziale:

 

formula di Eulero:   e^ix = cos x + i sen x

la formula di Eulero permette anche di interpretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione esponenziale: 

sen x = ( e^ix - e^-ix ) / 2i          cos x = ( e^ix + e^-ix ) / 2

 

Come noto, gli angoli possono essere espressi in diversi modi, i più utilizzati sono i gradi sessagesimali e i radianti. Di seguito, a seconda dello scopo, verranno presi in considerazione entrambi.

Mostriamo ora alcuni angoli notevoli: 30, 36, 45, 60 e 90 gradi.

In particolare, il seno (30°) = ½ (il cui quadrato è uguale a ¼); in modo analogo i quadrati del seno di 45, 60 e 90 gradi sono rispettivamente: 2/4, 3/4 e 4/4.

Un pentagono regolare di lato 1 (per es. DE) ha invece altre particolari proprietà e si può dimostrare che le diagonali (per es. AD) hanno lunghezza φ.

I 2 triangoli isosceli ADE e DCE sono simili per cui AD : DE = DE : CE

Ponendo AD = x  si ha:

x : 1 = 1 : (x – 1)          1 = x² – x          x² – x – 1 = 0

Per cui in analogia a quanto visto sopra: AD = φ

cioè, in un pentagono regolare di lato 1, le diagonali sono uguali a φ

Per il triangolo rettangolo ABC si può quindi ricavare:

cos 36° = AB / AC = φ / 2 = 0,809016994374945…

Combinando questo risultato con la funzione per il coseno, si ottiene l’enunciato iniziale:

Riporto in seguito altre formule notevoli:

 

Zibaldone Scientifico: 89. Ottantanove (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 90. Ottantanove bis (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 139. Sezione aurea immaginaria (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 146. Argomenti Complessi (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 161. Guarda e dimmi (Look and Say) (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 177. Ottagoni e Sezione Aurea (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 228. Quasi (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 229. Penrose (zibalsc.blogspot.com)

Golden ratio - Wikipedia

Generalizations of Fibonacci numbers - Wikipedia

Formula di De Moivre

Formula di Eulero - Wikipedia

Identità di Eulero

Piano complesso

Radice dell'unità

Rappresentazione dei numeri complessi

Storia dei numeri complessi

Calcinator™ Free Online Mobile Web Scientific Calculator: complex numbers, exponential trigonometric statistics hyperbolic and algebraic functions

265. Più veloce della luce

                                           «Anche noi siamo fatti della materia di cui sono fatti i sogni e la nostra breve vita è circondata da un sonno.»

(Prospero: atto IV, scena I.)    La tempesta di William Shakespeare

L’effetto Cerenkov consiste nell’emissione di radiazione elettromagnetica provocata dall’attraversamento di un mezzo dielettrico da parte di una particella carica (quale un elettrone) che si muove a una velocità superiore a quella di propagazione della luce nel mezzo stesso.

In un mezzo denso la velocità di propagazione della luce v è più bassa di quella nel vuoto c (che per la teoria della relatività è una costante universale e non può essere superata). La riduzione della velocità è legata all’indice di rifrazione n, del mezzo stesso, assumendo il valore di v = c/n.

In un mezzo denso può, dunque, accadere che una particella superi la velocità di propagazione della luce nel mezzo stesso.

A causa del campo elettrico della particella carica, le molecole del materiale attraversato si polarizzano. Quando ritornano allo stato inziale, se la velocità della particella carica è superiore a un valore di soglia, emettono un breve impulso di radiazione elettromagnetica. Lo spettro di emissione Cerenkov è continuo e nella regione del visibile l’intensità relativa per unità di frequenza è approssimativamente proporzionale alla frequenza stessa. Ciò vuol dire che la radiazione di maggiore frequenza è più intensa.

Questa è la causa dell’intenso colore blue della luce. In realtà, la maggiore parte della radiazione Cerenkov è nella regione ultravioletta.

Qui di seguito è riportato il discorso di presentazione del Professor Kai Siegbahn, membro dell'Accademia svedese delle scienze, alla consegna del Premio Nobel per la Fisica nel 1958 a Pavel Cerenkov, Il´ja Frank e Igor Tamm "Per la scoperta e l’interpretazione dell’effetto Cerenkov".

Siegbahn ottenne a sua volta il Premio Nobel per la Fisica nel 1981 con la motivazione: “Per il suo contributo allo sviluppo della spettroscopia elettronica ad alta risoluzione”.

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Vostre Maestà, Vostre Altezze Reali, Signore e Signori.

La scoperta del fenomeno noto come effetto Cerenkov, per il quale fu assegnato il Premio Nobel, è un interessante esempio di come un'osservazione fisica relativamente semplice, se seguita nel modo giusto, possa portare a scoperte importanti e aprire nuovi percorsi di ricerca.

Tra gli studenti dell'Istituto Lebedev di Mosca all'inizio degli anni Trenta c'era Pavel Cerenkov. Il compito assegnatogli dal suo insegnante, il professor Vavilov, per il suo lavoro di tesi, era quello di studiare cosa succede quando la radiazione proveniente da una sorgente di radio penetra e viene assorbita in diversi fluidi. Lo stesso problema aveva senza dubbio preoccupato molti scienziati prima di questo giovane dottorando e molti avevano anche osservato il debole bagliore bluastro che emanava dal liquido quando la radiazione lo penetrava. Una menzione speciale merita l'importante osservazione del francese Lucien Mallet. Il bagliore bluastro è sempre stato considerato una manifestazione del noto fenomeno della fluorescenza. Questo fenomeno viene utilizzato, ad esempio, dai radiologi nei fluoroscopi a raggi X, dove i raggi X "invisibili" possono colpire uno schermo fluorescente, che poi si illumina.

Cerenkov, tuttavia, non era convinto che il fenomeno luminoso da lui osservato fosse effettivamente di tipo fluorescenza. Già i suoi primi esperimenti indicavano che i suoi sospetti erano fondati. Scoprì, ad esempio, che la radiazione era essenzialmente indipendente dalla composizione del liquido. Ciò era in disaccordo con la spiegazione della fluorescenza. Osservando la radiazione anche nell'acqua doppiamente distillata, eliminò la possibilità che minuscole impurità diventassero fluorescenti nei liquidi.

Cerenkov fece della nuova radiazione sconosciuta oggetto di un'indagine sistematica. Nel suo lavoro scoprì che la radiazione era “polarizzata” lungo la direzione della radiazione incidente del radio e che erano gli elettroni secondari veloci, prodotti da quest'ultima, ad essere la causa primaria della radiazione visibile. Ciò è stato verificato irradiando i liquidi con i soli elettroni provenienti da una sorgente di radio.

Le ricerche che Cerenkov pubblicò sui periodici russi tra il 1934 e il 1937 stabilirono essenzialmente le proprietà generali della radiazione appena scoperta. Tuttavia, mancava ancora una descrizione matematica dell’effetto. Qui entrano in gioco due colleghi di Cerenkov a Mosca. Come può un elettrone veloce, attraversando un liquido, dare origine a una radiazione con le proprietà osservate da Cerenkov? All'inizio il fenomeno sembrava difficile da comprendere, ma nel lavoro di Frank e Tamm (1937) fu data una spiegazione che oltre ad essere semplice e chiara, soddisfaceva anche i requisiti di rigore matematico.

Il fenomeno può essere paragonato all'onda di prua di un'imbarcazione che si muove nell'acqua con una velocità superiore a quella delle onde. Questo è, per inciso, un semplice esperimento che chiunque può fare. Per prima cosa si lascia cadere un oggetto in una ciotola d'acqua e si osserva la velocità di propagazione del fronte d'onda circolare. Quindi si sposta l'oggetto lungo la superficie dell'acqua molto lentamente all'inizio, ma aumentando gradualmente la velocità. Quando quest'ultima supera la velocità dell'onda precedentemente osservata, si forma un'onda ad arco che si estende obliquamente all'indietro nel modo ben noto.

La velocità dell'onda sulla superficie dell'acqua è ovviamente bassa e quindi in questo caso è facile produrre l'onda di prua. Nell’aria un fenomeno analogo si verifica quando un aereo a reazione supera la cosiddetta barriera del suono a circa 1.000 km/h, cioè quando la velocità del getto supera la velocità di propagazione delle onde sonore. Questo è accompagnato da un botto.

La condizione richiesta per formare la corrispondente onda dell'arco di Cerenkov della luce ordinaria quando una particella carica, ad es. un elettrone attraversa un mezzo è, analogamente, che la particella si muove con una velocità maggiore di quella della luce nel mezzo. Inizialmente si potrebbe pensare che ciò sia impossibile, poiché secondo la teoria della relatività di Einstein la velocità della luce è la massima velocità possibile. Questo è di per sé corretto, ma la velocità a cui fa riferimento la teoria di Einstein è la velocità della luce nello spazio vuoto o nel vuoto. In un mezzo, ad es. un liquido o un solido trasparente, la velocità della luce è inferiore a quella del vuoto e inoltre varia con la lunghezza d'onda. Questo fatto è ben noto dagli esperimenti scolastici sulla rifrazione della luce in un prisma. In un mezzo del genere è quindi del tutto possibile che un elettrone ultraveloce, emesso da una sorgente radioattiva, si muova con una velocità maggiore di quella della luce nel mezzo. In questo caso si forma un'onda ad arco di Cerenkov e il liquido si illumina con la brillante magia blu della corsa frenetica degli elettroni con la luce distante.

Uno spettacolo bellissimo si ha guardando dall'alto in un reattore di uranio contenente acqua; un cosiddetto reattore a piscina. L'intero nucleo è illuminato dalla luce blu di Cerenkov e in questa luce si può persino fotografare l'interno del reattore.

Negli studi di successo su nuove particelle elementari intrapresi negli ultimi anni, ad es. Con la scoperta nel 1955 dell'antiprotone, l'effetto Cerenkov ha giocato un ruolo decisivo. Basandosi su questo effetto è stato progettato uno strumento in grado di registrare il passaggio delle singole particelle. Solo a condizione che la particella abbia una velocità sufficientemente elevata verrà registrata dallo strumento che, allo stesso tempo, potrà misurarne la velocità. Per la determinazione della velocità, che può essere effettuata con notevole precisione, si sfrutta il fatto che l'angolo dell'onda ad arco dipende dalla velocità delle particelle. Più velocemente si muove la particella, minore sarà l'angolo tra di loro. Ciò è facilmente comprensibile dall'esempio con la nave in acqua. Questo nuovo tipo di rilevatore di radiazioni porta il nome di Cerenkov ed è ora uno degli strumenti più importanti nei grandi laboratori atomici, dove le particelle elementari vengono accelerate a velocità estremamente elevate.

La scoperta di Cerenkov, Frank e Tamm, avvenuta circa vent'anni fa, ha quindi trovato negli ultimi anni un'applicazione di decisiva importanza nello studio della struttura fondamentale e della natura della materia.

Il professor Cerenkov, il professor Frank, l'accademico Tamm. L'Accademia reale svedese delle scienze vi ha assegnato il Premio Nobel per la fisica per la scoperta e la spiegazione dell'effetto che ora porta il nome di uno di voi. Questa scoperta non solo getta luce su un fenomeno fisico finora sconosciuto, ma fornisce anche un nuovo ed efficace strumento per lo studio dell'atomo.

Mi congratulo di cuore con voi a nome dell'Accademia e vi chiedo di accettare il premio dalle mani di Sua Maestà il Re.

 

Cerenkov luminescence imaging: physics principles and potential applications in biomedical sciences | EJNMMI Physics | Full Text (springeropen.com)

Cherenkov Radiation: Sonic Boom For Light? Beautiful Phenomenon! — Steemit

Cherenkov Telescope Array - Wikipedia

T17FIS501MC: NEMO: A caccia di neutrini negli abissi | spark (liceodesio.edu.it)

Pavel A. Cherenkov - Facts (nobelprize.org)

Effetto Čerenkov - Wikipedia

The Nobel Prize in Physics 1958 - NobelPrize.org

264. Caos & Feigenbaum

 Solo la gente mediocre non giudica dalle apparenze.

Il vero mistero del mondo è ciò che si vede, non l'invisibile… 

 Oscar Wilde, Il ritratto di Dorian Gray

Verso la metà degli anni ’70 venivano introdotte le prime calcolatrici scientifiche e molti calcoli complicati potevano così essere eseguiti in modo semplice e veloce. Una delle più economiche era la TI-30 che rimase in produzione dal 1976 per diversi anni, con una vendita di circa 15 milioni di unità.

Ne comprai una anch’io. Uno dei “giochi” era di inserire un numero e digitare la stessa funzione per molte volte: ad esempio inserendo 0.5 e pigiando il tasto cos, a un certo punto arriveremo a 0.7390851332… e successivamente otterremo sempre lo stesso valore. Questo vale anche inserendo un qualsiasi altro valore iniziale.

La cosa, di per sé, sembra solo una peculiarità della funzione coseno.

Ma non è così.

Negli stessi anni Mitchell Feigenbaum “giocava” anche lui con una calcolatrice e scopriva cose ben più interessanti. Se avessi moltiplicato per una costante k prima di schiacciare cos, mi sarei potuto accorgere, ad esempio, che per k > 1.33 non si ha una convergenza ad un singolo valore, ma un’oscillazione tra 2 valori.

Facciamo un passo indietro.

Tra il XVIII e il XIX secolo Thomas Malthus e successivamente Pierre Verhulst ipotizzarono che la popolazione di una specie in un certo anno fosse una funzione della popolazione dell’anno precedente.

Se la popolazione aumenta troppo, la mancanza di risorse tende a farla diminuire, ma se cala sotto un certo livello, tenderà ad aumentare nell’anno successivo.

La formula che rappresenta questa idea è nota con il nome di equazione logistica: 

x_n+1 = r x_n ( 1 – x_n )

 Feigenbaum studiò questa funzione e, nell'agosto del 1975, trovò per la prima volta 4.669, con 3 soli decimali a causa del limite dell'accuratezza della sua calcolatrice HP65, dopo aver passato un po’ di tempo a cercare di capire se si trattasse di una semplice combinazione di numeri "noti", non trovò nulla.

Ora il numero è "noto" e viene chiamato numero di Feigenbaum.

Il primo numero di Feigenbaum è definito come il limite del rapporto fra 2 intervalli successivi di biforcazione: δ = 4,66920160910299067185320382…

Indipendentemente dalla scelta di x₀ la successione converge a un’orbita stabile. I valori di questi punti di accumulazione si possono leggere sull’asse verticale del diagramma di Feigenbaum. A partire da r = 3.57 circa, comincia a succedere qualcosa di strano: il caos. Non ci sono più dei periodi riconoscibili e piccoli cambiamenti delle condizioni iniziali producono valori estremamente diversi nella successione. Si è scoperto che lo stesso rapporto si ritrova fra i diametri di cerchi successivi sull'asse reale dell'insieme di Mandelbrot.

Infatti esiste un legame tra il diagramma di Feigenbaum e l’insieme di Mandelbrot (che nasce dall’interazione z_n+1 = z_n² + c).

 

 

 Sull’asse reale gli sdoppiamenti dei periodi corrispondono ai valori del diagramma di Feigenbaum. 

http://www.fabioruini.eu/unimore/ttps/Mappa%20logistica.pdf

 Per differenti r, si possono osservare i seguenti comportamenti per n grandi.

Questo comportamento non dipende dal valore iniziale, ma solo da r :

·       Con r = 0 la popolazione diventa nulla alla prima iterazione.

·       Con r da 0 a 1 si ottiene sempre 0 dopo alcune iterazioni.

·       Con r tra 1 e 3, viene stabilito un certo limite. Questi limiti sono chiamati attrattori.

·       Con r tra 3 e 1 + √6 (circa 3,45), la sequenza commuta tra due attrattori per quasi tutti i valori iniziali (tranne 0, 1 e 1 - 1/r).

·       Con r tra 1 + √6  e circa 3,54, la sequenza commuta tra quattro attrattori per quasi tutti i valori iniziali.

·       Se r è maggiore di 3,54, arrivano 8 attrattori, quindi 16, 32 ecc.

·       Verso 3.57 inizia il caos.

Questa transizione dal comportamento convergente al raddoppio periodico al comportamento caotico è generalmente tipica dei sistemi non lineari che mostrano un comportamento caotico o non caotico in funzione di un parametro r.

Le transizioni per raddoppiare il periodo sono chiamate punti di biforcazione.

---

Riassumendo.

La prima costante di Feigenbaum è definita come il limite del rapporto fra due intervalli successivi di biforcazione.

Nel caso della mappa logistica, inizialmente studiata da Feigenbaum:

δ = 4,66920160910299067185320382…

Si è scoperto che lo stesso rapporto si ritrova fra i diametri di cerchi successivi sull'asse reale dell'insieme di Mandelbrot.

Tutti i sistemi caotici che seguono questa legge biforcano alla stessa velocità. La prima costante di Feigenbaum può essere usata per predire quando il caos sopraggiungerà nel sistema.

Per definire la seconda costante di Feigenbaum, per ciascun attrattore ciclico della cascata di biforcazioni si deve considerare il punto più vicino a x_m, indicato con d_n nel caso dell'attrattore di 2ⁿ punti. Si costruisce così la successione d_n e si definisce:

Sempre nel caso della mappa logistica:

α = 2,502907875095892822283902873218…

Il rapporto tra due intervalli di biforcazione successivi tende a δ, mentre il rapporto tra il più piccolo attrattore ad una biforcazione e il più piccolo attrattore alla biforcazione successiva tende ad α.

Queste costanti si applicano a una larga classe di sistemi dinamici.

Si ritiene, infatti non è stato ancora dimostrato, che esse siano trascendenti. 

https://www.researchgate.net/figure/Feigenbaum-graphs-from-the-Logistic-map-The-main-figure-portrays-the-family-of_fig5_51641487

Mitchell Feigenbaum (1944 - 2019) - Biography - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)

Chronology for 1970 - 1980 - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)

http://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstantApproximations.html

http://zibalsc.blogspot.it/2013/12/130-colosseo-e-stadi-ergodici.html

Zibaldone Scientifico: Risultati di ricerca per mandelbrot (zibalsc.blogspot.com)

http://www.bitman.name/math/article/485

https://www.google.it/search?q=web+diagram+logistic+map&client=tablet-android-samsung&prmd=ivn&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjp0Zj9scvXAhUCQBQKHdr9AukQ_AUIEigB&biw=1280&bih=800#imgrc=DaUMimX7h5jiTM:&spf=1511134893215

http://mathworld.wolfram.com/WebDiagram.html

http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html

https://physics.info/

https://hypertextbook.com/chaos/

263. 4D

Questa volta provo a raccontare come cercare di immaginare un oggetto che si estende oltre la terza dimensione. Un bell’esercizio per cominciare, è capire come sarebbe la vita per un essere bidimensionale e come potrebbe immaginare una terza dimensione.

Un noto precedente è Flatlandia l’opera di Abbott, che non conobbe al momento della pubblicazione una gran fortuna; solo in seguito si vide riscoperta. Flatlandia fu riproposta all’attenzione del pubblico da una lettera pubblicata su «Nature» il 12 febbraio 1920 col titolo Euclide, Newton e Einstein. La lettera diceva fra l’altro:

“... Trent’anni o più or sono, il Dr. Edwin Abbott compose un piccolo jeu d’esprit intitolato Flatlandia. All’epoca della sua pubblicazione il libro non attirò tutta l’attenzione che avrebbe meritato. Il Dr. Abbott raffigura degli esseri intelligenti la cui esperienza è confinata a un piano, o a un altro spazio bidimensionale, e che non hanno facoltà di rendersi conto di quanto possa esistere al di fuori di quello spazio, né mezzi di uscire dalla superficie sulla quale vivono. Egli domanda quindi al lettore, che ha il concetto della terza dimensione, di immaginare una sfera che scenda sulla pianura della Flatlandia, attraversandola. Come considereranno un simile fenomeno gli abitanti?”

Verso la quarta dimensione e oltre

Uno spazio a dimensione zero può essere rappresentato da un punto, ad 1 dimensione da una linea e a 2 dimensioni può essere rappresentato da un piano.

Tre dimensioni su una superficie piana si possono disegnare con 2 quadrati e 4 linee diagonali che collegano i vertici. 

Possiamo immaginare un cubo, ma in realtà non è un cubo, come la pipa di Magritte che non è una pipa. Un cubo quadridimensionale (chiamato ipercubo o tesseratto), può essere “disegnato” in 3D con due cubi, collegando i vertici con 8 linee diagonali e questo ci può aiutare a capire il tipo di progressione in corso.

Premesso che è difficile "vedere" la quarta dimensione, l’uso del classico citato sopra può comunque essere un buon punto di partenza.

Nel 1884 Edwin Abbot nel suo libro parla di A. Square e del suo mondo, Flatlandia, che è semplicemente un piano piatto bidimensionale e A. Square è un ragazzo di forma quadrata che vive lì. Si può muovere in 2 dimensioni. Può andare a sinistra/destra e avanti/indietro; tuttavia, poiché è limitato al suo piano bidimensionale di Flatlandia, non può salire/scendere “fuori” dal piano.

Per analogia, noi umani siamo limitati al nostro “piano” e ci è impossibile muoverci liberamente nella quarta dimensione.

Ci tengo a sottolineare che sto parlando di dimensioni “spaziali”, per cui la dimensione “temporale” non viene presa in considerazione.

Torniamo di nuovo ad A. Square. Lui può vedere solo ciò che si trova nel suo piano, e questo significa che, se una sfera tridimensionale dovesse passare attraverso Flatlandia, A. Square non vedrebbe la sfera, ma solo "fette" bidimensionali. Andando oltre, immagina che se una sfera passasse a metà della Flatlandia ma si fermasse nel mezzo, la sfera intersecherebbe Flatlandia come un solo cerchio e A. Square potrebbe vederlo. Inoltre, se mentre la sfera si avvicina a Flatlandia, A. Square osservasse come la sfera si muove lentamente attraverso il suo piano. Cosa vedrebbe? Ricordiamo che A. Square può vedere solo fette 2D della sfera (o cerchi), quindi ciò che A. Square percepirebbe, sarebbe un cerchio che appare all'improvviso, poi cresce e quindi raggiunge una dimensione massima quando la sfera è a metà strada. Successivamente, il cerchio si restringerebbe fino a scomparire.

Ciò significa che gli oggetti 3D potrebbero essere spiegati a un essere 2D come un mucchio di "fette impilate" una sopra l'altra. Immaginate di prendere un mucchio di cerchi con diametri opportuni e impilateli. Formerebbero una struttura dell'immagine 3D reale. Allo stesso modo, se un’ipersfera 4D intersecasse il nostro spazio, vedremmo apparire dal nulla una sfera 3D che crescerebbe finché l'ipersfera non fosse a metà strada, poi si ridurrebbe al nulla. In teoria, potremmo impilare queste sfere per formare un'ipersfera, ma non possiamo “impilarle”, perché dovremmo “estenderla” nella quarta dimensione.

Se guardiamo un quadrato dall'alto su un piano bidimensionale, possiamo vedere l'intero oggetto con una vista d’insieme. Potremmo anche infilare il dito all'interno dell'oggetto senza toccarne i lati. Questa sarebbe un'esperienza strana per A. Square. La sua casa è un grande quadrato e non può semplicemente mettere il dito al centro della casa senza prima "entrare" da una porta su uno dei lati. Allo stesso modo, gli esseri quadridimensionali hanno la capacità di visualizzare un intero cubo con una vista d’insieme (cioè, tutte le 6 facce contemporaneamente e potremmo quindi parlare di “cubismo”). Gli esseri umani possono visualizzare solo metà del cubo in un dato istante. Inoltre, gli esseri quadridimensionali potrebbero facilmente mettere il dito all'interno di un cubo chiuso senza penetrarne i lati.

Altre curiosità riguardano le immagini speculari. Se in Flatlandia capovolgessimo A. Square, sarebbe l'immagine speculare di sé stesso.

È un po’ più complicato immaginare che un essere umano diventi un’immagine speculare di sé stesso capovolgendolo nella quarta dimensione.

Facciamo ora un esercizio.

Un cubo formato da 27 cubetti (3x3x3), come appare un cubo di Rubik, in 2D sarebbe un quadrato di 9 quadratini (3x3) e per immaginare il cubo, A. Square potrebbe pensarlo come 3 strati di quadrati “impilati”. Allo stesso modo noi possiamo pensare un ipercubo (3x3x3x3) come 3 strati di cubi “impilati”.

Proviamo ora a “disegnare” le stesse strutture “forate”.

Partiamo da una struttura estesa in 1 dimensione, 3 segmenti, ma per rappresentarli meglio, 3 cubi allineati:

Passiamo ora al 2D e aggiungiamo un’altra struttura identica con interposti 2 cubi (2¹):

In 3D aggiungeremo un altro quadrato forato con interposti 4 cubi (2²):

Per il 4D dovremmo aggiungere un altro cubo forato e 8 cubi (2³), qui metto solo l’ipercubo non assemblato (per un totale di 48 cubetti):

In generale in n dimensioni: 2^(n-1) (n+2) → 1, 3, 8, 20, 48, 112, 256, …  A001792 - OEIS

Un cubo che attraversa un piano con una faccia parallela ad esso avrà come sezione un quadrato. Se invece lo attraversa con una diagonale maggiore perpendicolare ad esso, partendo da un vertice, si otterrà nell'ordine: un punto, dei triangoli e degli esagoni. In particolare, a metà percorso (baricentro del cubo) si avrà un esagono regolare.

Invece un ipercubo che attraversa il nostro spazio (con la diagonale maggiore perpendicolare) verrà visto in questo modo (vediamo qui 15 istantanee):

Zibaldone Scientifico: 94. Sezioni di ipercubo (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 131. Tesseratto (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 52. Cubo di Rubik (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 154. I (Noti) Solidi Platonici (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 243. Sezione di una spugna di Menger (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 246. La Quadratura del Cerchio in n-Dimensioni (zibalsc.blogspot.com)

Introduzione a una quarta dimensione spaziale (dainoequinoziale.it)

Sezioni ipercubiche ortoassiali - Wikipedia

Espace à quatre dimensions — Wikipédia (wikipedia.org)