lunedì 22 agosto 2016

216. Hilbert’s Hotel


Prima o poi, in un blog che si rispetti, si deve parlare di questo paradosso. E visto che ci sono molti blog degni di rispetto, basta scrivere su un motore di ricerca alcune parole chiave, per trovare un’infinità di post che parlano di questi argomenti. Quel che faremo qui è di esporre i diversi approcci utilizzati per risolvere brillantemente le varie situazioni che si presentano di volta in volta.



http://www.delcampe.net/







Immaginate un hotel (che chiameremo hotel di Hilbert) con infinite stanze tutte occupate.
 

Caso 1 - Arriva un nuovo cliente. L’arguto albergatore pensa: non c’è problema; metto il nuovo ospite nella stanza che desidera e sposto nella stanza successiva alla loro tutti gli occupanti delle varie stanze. In questo semplice esempio, se il nuovo ospite sceglie la stanza numero 1, basterà spostare l'ospite della 1 nella 2, quello della 2 nella 3, ecc.; essendo un hotel infinito è possibile trovare una soluzione.

Caso 2 - Dopo un’ora arriva un autobus con infiniti nuovi ospiti. L’arguto albergatore pensa: basta spostare ogni ospite nella stanza con numero doppio rispetto a quello attuale (dalla 1 alla 2, dalla 2 alla 4, ecc.), lasciando ai nuovi arrivi tutte le camere con i numeri dispari, che sono anche esse infinite. Problema risolto.


Ma non è finita qui.


Caso 3 - Il giorno dopo arrivano infiniti autobus (tutti numerati) ed ognuno di questi contiene infiniti passeggeri (che siedono su sedili anch’essi numerati).
A questo punto la faccenda sembra farsi complicata, ma anche in questo caso esiste una soluzione, anzi esistono almeno 5 modi diversi di risolvere la questione:

Modo 1

Che i numeri primi siano infiniti, fu dimostrato da Euclide in una delle più belle dimostrazioni matematiche, e non è complicato rendersi conto che qualsiasi potenza di un primo è divisibile solo per il numero primo stesso. Per cui se poniamo i clienti attualmente residenti nelle camere con numero uguale alle potenze di 2 e i vari autobus in quelle corrispondenti alle potenze dei successivi primi. Cioè, indicando con k il numero della stanza o del sedile occupato, basta seguire questa semplice regola:

  • ospiti residenti andranno nella camera 2k  es. da camera 7 a camera 128
  • primo autobus andranno nella camera 3k  es. da posto 4 a camera 81
  • secondo autobus andranno nella camera 5k  es. da posto 3 a camera 125
  • terzo autobus andranno nella camera 7k  es. da posto 5 a camera 16807
Questo modo ha il difetto di lasciare libere troppe camere. Ad esempio: 6, 10 e tutte le camere scomponibili in numeri primi differenti, non saranno occupate.

Modo 2

Nel libro “La piccola bottega delle curiosità matematiche del professor Stewart” viene suggerito di iterare il procedimento utilizzato in precedenza per sistemare un solo autobus, per ogni autobus che si deve sistemare. L’inconveniente in questo caso è che ogni ospite dovrà continuare a spostarsi.

Modo 3

Posto k, autobus j, va in 2j (2k -1)

  • residenti, vanno nella camera 20 (2k -1)        es. da camera 7 a camera 13
  • primo bus, vanno nella camera 21 (2k -1)      es. da posto 4 a camera 14
  • secondo bus, vanno nella camera 22 (2k -1)  es. da posto 3 a camera 20
  • terzo bus, vanno nella camera 24 (2k -1)       es. da posto 5 a camera 144

Modo 4

Immaginiamo l’hotel di Hilbert come un classico hotel (ma infinito). Le infinite camere k sono posizionate lungo gli infiniti corridoi j e in infiniti livelli (o piani) p (immaginate un cubo infinito). Possiamo anche complicare ulteriormente la questione, cioè pensare che arrivino infinite persone, su infiniti autobus e per infiniti giorni. Basterà dire loro di recarsi nel corridoio corrispondente al numero del loro autobus, al livello relativo al giorno e applicare il caso 2 visto in precedenza.

Esempio: il primo giorno, il quarto passeggero del terzo autobus, andrà a sistemarsi nella camera numero 7, del terzo corridoio (III), al livello 1 (corridoio giallo).







Modo 5
Per diagonali, utilizzato nella pagina di Wikipedia: “Paradosso del Grand Hotel di Hilbert”. Il metodo si capisce subito osservando l’illustrazione riportata nel post messicano: http://masciencia.org/blog/bienvenidos-al-hotel-hilbert

 

  

Il celebre paradosso del Grand Hotel è stato inventato dal grande matematico David Hilbert negli anni ’20 e, come commentato in Wikipedia: “Questo paradosso, nonostante sia piuttosto elementare, ha contribuito, all'epoca ai matematici, ed oggi ai profani, a far comprendere la differenza profonda e sostanziale tra gli insiemi finiti e infiniti…”.

 

Come detto all’inizio, esistono molti post che parlano di questo paradosso e sono presenti in rete anche molti interessanti video come questo di Jeff Dekofsky:








giovedì 18 agosto 2016

215. Trigonometria poligonale


Le funzioni trigonometriche come seno e coseno, possono essere tracciate proiettando la posizione di un punto, che si muove con moto uniforme su una circonferenza di raggio 1. Se si proietta sull’asse X si ottiene la funzione coseno, mentre proiettando sull’asse Y, si ha come risultato il seno.

Ma cosa succede se, invece di una circonferenza, viene utilizzato un poligono regolare?

Nell’animazione proposta da Lucas Vieira Barbosa, oltre la funzione seno, vengono mostrati altri 2 esempi di funzioni che si ottengono utilizzando quadrato ed esagono; i poligoni sono circoscritti al cerchio di raggio 1.




Nel caso di un cerchio unitario, velocità del punto e velocità angolare coincidono. Negli altri 2 esempi mostrati si è scelto di mantenere uniforme la velocità angolare, cioè di utilizzare come argomento della funzione l’angolo rispetto all’asse delle ascisse, invece della distanza percorsa lungo il perimetro del poligono. Per questo motivo il quadrato, nelle 2 rampe, non traccia segmenti di linea retta, ma segmenti della funzione tangente.

Non avendo la stessa simmetria del cerchio rispetto alla rotazione, le funzioni dipenderanno dall'orientamento dei poligoni.

Nella successiva figura viene mostrata la sovrapposizione delle prime 2 funzioni:


 

Ogni semionda della sinusoide ha come periodo pi greco, che, come noto, espresso in radianti vale 3,1415… Malgrado l’irrazionalità di tale numero, l’area della semionda vale esattamente 2. Il calcolo è semplice e veloce, anche se il risultato non è del tutto intuitivo.

 


 



https://it.wikipedia.org/wiki/Trigonometria

mercoledì 10 agosto 2016

214. Suite: Judy Blue Eyes - The islanders puzzle

I buoni matematici riescono a vedere le analogie.
I grandi matematici riescono a vedere le analogie tra le analogie.
Stefan Banach

C’è un isola con 1000 abitanti, 100 dei quali hanno gli occhi azzurri, mentre i restanti 900 hanno gli occhi marroni. Sull’isola non ci sono specchi ed è assolutamente vietato parlare del colore degli occhi. Inoltre se una persona scopre il colore dei propri occhi, deve abbandonare l’isola immediatamente.
Un giorno, un esploratore arriva sull’isola ed è invitato a tenere un discorso a tutta la popolazione e, essendo all’oscuro delle usanze locali, egli commette un passo falso: “dopo questi lunghi mesi di viaggio in mare, è veramente un piacere rivedere persone con gli occhi blu”. Cosa succede dopo?

Preciso che gli abitanti dell’isola, pur avendo usanze strane, sono persone molto logiche e non disobbediscono mai.

Soluzione

Per risolvere il problema, cominciamo con la variante di un’isola con 1 sola persona con gli occhi blu (che chiameremo A).
Quindi A viene a sapere dalle parole dell’esploratore che è presente almeno una persona con gli occhi blu. Siccome non vede nessuno con queste caratteristiche, A conclude che deve essere lui. Subito dopo abbandona l’isola.
Supponiamo ora che le persone siano 2 (A e B), entrambe con gli occhi blu.
A vede che B ha gli occhi blu e viceversa. Visto che l’altro non se ne va il primo giorno, capiscono che anche loro hanno lo stesso colore. Quindi A e B lasciano l’isola il secondo giorno. Nota: se solo 1 avesse gli occhi blu, il caso sarebbe banale.

Procedendo con questo ragionamento, se gli isolani con occhi blu sono N, per induzione, se ne andranno tutti l’N-esimo giorno.
Nel nostro specifico caso, i 100 abitanti se ne andranno il 100-esimo giorno.

Subito dopo i restanti 900 abitanti con gli occhi marroni realizzano cosa è successo e abbandonano l’isola anche loro.

Tutto chiaro?

Ammesso che sia riuscito a convincervi, il dubbio che resta è che l’esploratore non sembra introdurre nuove informazioni. Eppure lo fa, come viene spiegato dal concetto di  differenti ordini di conoscenza. O meglio, con il concetto di Conoscenza comune.
In logica, la conoscenza comune è un particolare tipo di conoscenza all'interno di un gruppo di giocatori. Esiste conoscenza comune di p in un gruppo di giocatori G, quando tutti i giocatori all'interno di G conoscono p, sanno che tutti conoscono p, sanno che tutti sanno che tutti conoscono p e così via all'infinito.







In modo analogo, Pier Paolo Pasolini nel film-documentario “Comizi d'amore” diretto nel 1965, “aggiunge” all’amore tra Tonino e Graziella, la coscienza del loro amore.

SCENE DA UN MATRIMONIO

“Tonino e Graziella si sposano. Del loro amore sanno solo che è amore. Dei loro futuri figli sanno soltanto che saranno figli. È soprattutto quando è lieta e innocente che la vita non ha pietà. Due ragazzi italiani si sposano e in questo loro giorno tutto il male e tutto il bene precedenti ad essi sembrano annullarsi, come il ricordo della tempesta nella pace.

Ogni diritto è crudele ed essi, esercitando il proprio diritto a essere ciò che furono le loro madri e i loro padri, non fanno altro che confermare, cari come sono alla vita, la lietezza e l'innocenza della vita. Così la conoscenza del male e del bene e la storia, che non è né lieta né innocente, si trova sempre di fronte a questa spietata smemoratezza di chi vive alla sua sovrana umiltà. Tonino e Graziella si sposano e chi sa tace di fronte alla loro grazia che non vuole sapere. E invece il silenzio è colpevole e allora l'augurio sia: al vostro amore si aggiunga la coscienza del vostro amore.”

 





giovedì 4 agosto 2016

213. Bellezza e Verità, Su e Giù, Incanto e Strano


Three quarks for Muster Mark!

Sure he has not got much of a bark

And sure any he has it's all beside the mark.

James Joyce, Finnegans Wake

 

Avete 2 sacchetti di palline: il primo sacchetto contiene palline di colore Scarlatto, il secondo di colore Giallo.

Ad ogni colore corrisponde un numero che viene stampato sulla pallina. Prendiamo ora 3 palline: 2 di un colore e 1 dell’altro.

Domanda, di che numero devono essere le varie palline per avere come somma:

1 se si prendono 2 palline Scarlatte e 1 Gialla,

0 se si prendono 2 palline Gialle e 1 Scarlatta?

La risposta si può ottenere risolvendo le 2 equazioni:

2S + G = 1       e        S + 2G = 0

se si prende 2 volte la prima equazione e si sottrae la seconda, si ottiene:

3S = 2    cioè    S = 2/3

sostituendo in una delle 2 equazioni il valore di S si ha G = -1/3.

Essendo un sistema di 2 equazioni in 2 incognite, questa è l’unica soluzione.

Una domanda simile se la devono essere posta anche alcuni fisici come Murray Gell-Mann, George Zweig e Yuval Ne'eman, alla fine degli anni ’50. Nel loro caso 1 e 0 erano rispettivamente la carica del Protone e quella del Neutrone.

Nel loro caso le palline vennero chiamate quark: rispettivamente Su (quelle con carica elettrica 2/3) e G (quelle con carica elettrica -1/3).

Ma non è finita qui. Prendendo 3 quark Su si ottiene una particella di carica 2; mentre, con 3 quark Giù, si ottiene una particella di carica -1. 

Queste particelle esistono:   Delta ++  e   Delta

 


I quark sono fermioni, chiamati così in onore di Enrico Fermi. Sono particelle, che seguono la statistica di Fermi-Dirac, dotate di spin semintero (1/2, 3/2, 5/2, ...). Sono raggruppati in 3 generazioni, ognuna composta da 2 leptoni e 2 quark (più le loro antiparticelle dette antiquark). In totale si originano in questo modo 6 tipi o “sapori” di quark: la prima generazione è composta dai quark up e down; la seconda include i quark charm e strange; della terza fanno parte i quark top e bottom (che inizialmente vennero chiamati true e beauty) . Ossia su, giù, incanto, strano, alto, basso.










In accordo con il modello standard della fisica delle particelle, il quark up ed il quark down sono i costituenti fondamentali dei nucleoni:
il Protone contiene 2 quark up e 1 quark down, mentre il Neutrone contiene 1 quark up e 2 quark down; è da notare che la maggior parte della massa nei nucleoni proviene dall'energia del campo gluonico che tiene insieme i quark, e non dalle masse dei quark stessi.


https://it.wikipedia.org/wiki/Particella_elementare

domenica 31 luglio 2016

212. Bellezza e Verità


 non ci sono più maestri, ci sono solo esperti del settore

Armando (Enzo Jannacci)

La bellezza del somaro (2010)

Si dice che la bellezza stia negli occhi di chi guarda, o, come ebbe a dire David Hume: "La bellezza delle cose esiste nella mente di chi le contempla". E nella mente degli scienziati, la bellezza assume un significato profondo, spesso reale e a volte “complesso”.

Capita spesso a fisici e matematici di ricercare nelle loro teorie la bellezza, e di riuscire a trovarla in una qualche forma di simmetria, altre volte in una forma particolarmente semplice o infine in un’espressione elegante o equa. Se leggete che ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria (terzo principio della dinamica), anche se di fisica ne capite poco, potete comunque percepire che questa affermazione sia corretta a priori.

Tra i tanti libri che parlano di questo argomento, ce ne sono 2 che mi sento di consigliare in modo particolare:

P.A.M. Dirac, La bellezza come metodo, ed.Indiana

S. Chandrasekhar, Verità e bellezza, ed.Garzanti

Di Dirac (premio Nobel per la fisica nel 1933 assieme a Schrödinger) se ne è parlato in un precedente post, qui mi limiterò ad esporre la famosa equazione scritta sulla targa che è stata posta, il 13 novembre 1995, all’interno dell’Abbazia di Westminster a Londra nei pressi di quella di Isaac Newton.



 

L'equazione di Dirac è una formulazione relativistica dell'equazione di Schrodinger (che in meccanica quantistica determina l'evoluzione temporale dello stato di un sistema, ad esempio di una particella, di un atomo o di una molecola), ammette, però, soluzioni ad energia negativa. Dirac ipotizzò l'esistenza di un mare infinito di particelle che occupano tali stati ad energia negativa. Dopo lo sviluppo della teoria quantistica dei campi gli stati ad energia negativa furono identificati con le antiparticelle, con l'introduzione di un nuovo numero quantico (che vale +1 per le particelle e -1 per le antiparticelle), in modo da risolvere alcuni paradossi originati dall'ipotesi del mare di Dirac. Senza rendersene conto aveva scoperto l'antimateria.

È stata formulata nel 1928 ed è un passo fondamentale per l’unificazione di meccanica quantistica e relatività ristretta. Ha consentito di spiegare la struttura fine dello spettro dell'atomo di idrogeno e il fattore giromagnetico dell'elettrone.

Riporto infine un suo pensiero:

La bellezza matematica è una qualità che non può essere definita, non più di quanto la bellezza possa essere definita per l'arte, ma chi studia matematica, di solito, non ha difficoltà ad apprezzarla.” 

Nota: PAM sta per Paul Adrien Maurice, mentre OM per Order of Merit.




Che una scoperta matematica trovi la sua esatta replica nella natura, mi convince ad affermare che la bellezza è ciò a cui la mente umana risponde nei suoi recessi più profondi e segreti. Che la semplicità è l’impronta del vero e che la bellezza è lo splendore della verità.      

Verità e bellezza, Chandrasekhar op. cit.

Subrahmanyan Chandrasekhar (1910 – 1995) è stato un fisico, astrofisico e matematico indiano naturalizzato statunitense. Uno dei maggiori contributi da lui forniti all'astrofisica è il "Limite di Chandrasekhar". Esso costituisce un valore critico nelle scale di grandezza delle stelle nane bianche. In particolare il Limite di Chandrasekhar (pari a 3·1030 kg, circa 1,44 volte la massa solare) segna il limite superiore della massa di una nana bianca. Una stella non rotante che, al termine della propria permanenza nella sequenza principale, nella fase cioè di bilanciamento tra forza gravitazionale e pressione di degenerazione degli elettroni dovuta alla fusione degli atomi di idrogeno, è destinata a collassare in una nana bianca, se al momento del collasso gravitazionale la massa del nucleo è al di sotto del Limite di Chandrasekhar. Se, invece, la massa del nucleo supera il Limite di Chandrasekhar, essa collasserà in forma di una stella di neutroni o di un buco nero. Subrahmanyan è stato premio Nobel per la fisica nel 1983.

Suo zio, sir Chandrasekhara Venkata Raman (1888 – 1970) è stato un fisico indiano, premio Nobel per la fisica nel 1930 per i suoi studi sulla diffusione della luce e per la scoperta dell'effetto Raman, che da lui prende il nome. Nel 1921 cominciò gli esperimenti sulla diffusione anelastica della luce. La spettroscopia Raman è basata su questo fenomeno.

http://www.enchantedlearning.com/subjects/astronomy/stars/lifecycle/
Nel 1975 Chandrasekhar tenne una conferenza dal titolo  Shakespeare, Newton e Beethoven, ovvero modelli di creatività” raccolta nel libro “Verità e bellezza – 1990” 



 

Domanda: un computer potrebbe riconoscere la bellezza?



Non sempre la bellezza matematica traspare nello stesso modo, come si può verificare in questi 2 esempi: