domenica 10 marzo 2024

263. 4D

Questa volta provo a raccontare come cercare di immaginare un oggetto che si estende oltre la terza dimensione. Un bell’esercizio per cominciare, è capire come sarebbe la vita per un essere bidimensionale e come potrebbe immaginare una terza dimensione.

Un noto precedente è Flatlandia l’opera di Abbott, che non conobbe al momento della pubblicazione una gran fortuna; solo in seguito si vide riscoperta. Flatlandia fu riproposta all’attenzione del pubblico da una lettera pubblicata su «Nature» il 12 febbraio 1920 col titolo Euclide, Newton e Einstein. La lettera diceva fra l’altro:

“... Trent’anni o più or sono, il Dr. Edwin Abbott compose un piccolo jeu d’esprit intitolato Flatlandia. All’epoca della sua pubblicazione il libro non attirò tutta l’attenzione che avrebbe meritato. Il Dr. Abbott raffigura degli esseri intelligenti la cui esperienza è confinata a un piano, o a un altro spazio bidimensionale, e che non hanno facoltà di rendersi conto di quanto possa esistere al di fuori di quello spazio, né mezzi di uscire dalla superficie sulla quale vivono. Egli domanda quindi al lettore, che ha il concetto della terza dimensione, di immaginare una sfera che scenda sulla pianura della Flatlandia, attraversandola. Come considereranno un simile fenomeno gli abitanti?”

Verso la quarta dimensione e oltre

Uno spazio a dimensione zero può essere rappresentato da un punto, ad 1 dimensione da una linea e a 2 dimensioni può essere rappresentato da un piano.

Tre dimensioni su una superficie piana si possono disegnare con 2 quadrati e 4 linee diagonali che collegano i vertici. 

Possiamo immaginare un cubo, ma in realtà non è un cubo, come la pipa di Magritte che non è una pipa. Un cubo quadridimensionale (chiamato ipercubo o tesseratto), può essere “disegnato” in 3D con due cubi, collegando i vertici con 8 linee diagonali e questo ci può aiutare a capire il tipo di progressione in corso.


Premesso che è difficile "vedere" la quarta dimensione, l’uso del classico citato sopra può comunque essere un buon punto di partenza.

Nel 1884 Edwin Abbot nel suo libro parla di A. Square e del suo mondo, Flatlandia, che è semplicemente un piano piatto bidimensionale e A. Square è un ragazzo di forma quadrata che vive lì. Si può muovere in 2 dimensioni. Può andare a sinistra/destra e avanti/indietro; tuttavia, poiché è limitato al suo piano bidimensionale di Flatlandia, non può salire/scendere “fuori” dal piano.

Per analogia, noi umani siamo limitati al nostro “piano” e ci è impossibile muoverci liberamente nella quarta dimensione.

Ci tengo a sottolineare che sto parlando di dimensioni “spaziali”, per cui la dimensione “temporale” non viene presa in considerazione.

Torniamo di nuovo ad A. Square. Lui può vedere solo ciò che si trova nel suo piano, e questo significa che, se una sfera tridimensionale dovesse passare attraverso Flatlandia, A. Square non vedrebbe la sfera, ma solo "fette" bidimensionali. Andando oltre, immagina che se una sfera passasse a metà della Flatlandia ma si fermasse nel mezzo, la sfera intersecherebbe Flatlandia come un solo cerchio e A. Square potrebbe vederlo. Inoltre, se mentre la sfera si avvicina a Flatlandia, A. Square osservasse come la sfera si muove lentamente attraverso il suo piano. Cosa vedrebbe? Ricordiamo che A. Square può vedere solo fette 2D della sfera (o cerchi), quindi ciò che A. Square percepirebbe, sarebbe un cerchio che appare all'improvviso, poi cresce e quindi raggiunge una dimensione massima quando la sfera è a metà strada. Successivamente, il cerchio si restringerebbe fino a scomparire.

Ciò significa che gli oggetti 3D potrebbero essere spiegati a un essere 2D come un mucchio di "fette impilate" una sopra l'altra. Immaginate di prendere un mucchio di cerchi con diametri opportuni e impilateli. Formerebbero una struttura dell'immagine 3D reale. Allo stesso modo, se un’ipersfera 4D intersecasse il nostro spazio, vedremmo apparire dal nulla una sfera 3D che crescerebbe finché l'ipersfera non fosse a metà strada, poi si ridurrebbe al nulla. In teoria, potremmo impilare queste sfere per formare un'ipersfera, ma non possiamo “impilarle”, perché dovremmo “estenderla” nella quarta dimensione.

Se guardiamo un quadrato dall'alto su un piano bidimensionale, possiamo vedere l'intero oggetto con una vista d’insieme. Potremmo anche infilare il dito all'interno dell'oggetto senza toccarne i lati. Questa sarebbe un'esperienza strana per A. Square. La sua casa è un grande quadrato e non può semplicemente mettere il dito al centro della casa senza prima "entrare" da una porta su uno dei lati. Allo stesso modo, gli esseri quadridimensionali hanno la capacità di visualizzare un intero cubo con una vista d’insieme (cioè, tutte le 6 facce contemporaneamente e potremmo quindi parlare di “cubismo”). Gli esseri umani possono visualizzare solo metà del cubo in un dato istante. Inoltre, gli esseri quadridimensionali potrebbero facilmente mettere il dito all'interno di un cubo chiuso senza penetrarne i lati.

Altre curiosità riguardano le immagini speculari. Se in Flatlandia capovolgessimo A. Square, sarebbe l'immagine speculare di sé stesso.

È un po’ più complicato immaginare che un essere umano diventi un’immagine speculare di sé stesso capovolgendolo nella quarta dimensione.

Facciamo ora un esercizio.

Un cubo formato da 27 cubetti (3x3x3), come appare un cubo di Rubik, in 2D sarebbe un quadrato di 9 quadratini (3x3) e per immaginare il cubo, A. Square potrebbe pensarlo come 3 strati di quadrati “impilati”. Allo stesso modo noi possiamo pensare un ipercubo (3x3x3x3) come 3 strati di cubi “impilati”.

Proviamo ora a “disegnare” le stesse strutture “forate”.

Partiamo da una struttura estesa in 1 dimensione, 3 segmenti, ma per rappresentarli meglio, 3 cubi allineati:

Passiamo ora al 2D e aggiungiamo un’altra struttura identica con interposti 2 cubi (21):


In 3D aggiungeremo un altro quadrato forato con interposti 4 cubi (22):


Per il 4D dovremmo aggiungere un altro cubo forato e 8 cubi (23), qui metto solo l’ipercubo non assemblato (per un totale di 48 cubetti):


In generale in n dimensioni: 2(n-1) (n+2) → 1, 3, 8, 20, 48, 112, 256, …  A001792 - OEIS

Un cubo che attraversa un piano con una faccia parallela ad esso avrà come sezione un quadrato. Se invece lo attraversa con una diagonale maggiore perpendicolare ad esso, partendo da un vertice, si otterrà nell'ordine: un punto, dei triangoli e degli esagoni. In particolare, a metà percorso (baricentro del cubo) si avrà un esagono regolare.

Invece un ipercubo che attraversa il nostro spazio (con la diagonale maggiore perpendicolare) verrà visto in questo modo (vediamo qui 15 istantanee):

Zibaldone Scientifico: 94. Sezioni di ipercubo (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 131. Tesseratto (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 52. Cubo di Rubik (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 154. I (Noti) Solidi Platonici (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 243. Sezione di una spugna di Menger (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 246. La Quadratura del Cerchio in n-Dimensioni (zibalsc.blogspot.com)


Introduzione a una quarta dimensione spaziale (dainoequinoziale.it)

Sezioni ipercubiche ortoassiali - Wikipedia

Espace à quatre dimensions — Wikipédia (wikipedia.org)




mercoledì 31 gennaio 2024

262. Spirali

Una spirale, in matematica, è una curva che si avvolge attorno a un determinato punto centrale, avvicinandosi (o allontanandosi) progressivamente.

In coordinate polari l’equazione più semplice si esprime come r = ϑ

Alcuni dei tipi di spirali bidimensionali più importanti includono:

La spirale archimedea:      r = a ϑ

La spirale di Fermat:          r = a ϑ1/2

La spirale iperbolica:          r = a / ϑ

Il lituo:                                 r = a ϑ-1/2

La spirale logaritmica:        r = a e

La spirale di Cornu o clotoide 

Per una lista più completa vedete qui: List of spirals - Wikipedia

Cominciamo dal famosissimo nautilus, un mollusco cefalopode, la sua sezione longitudinale della casa del Nautilus è la perfetta rappresentazione di una spirale logaritmica, ovvero una spirale che ripete all’infinito le proporzioni della sezione aurea, proprietà fondamentale per molti fenomeni di accrescimento.

Esistono poi altre tipologie di spirali, tra cui la spirale di Archimede, la cui distanza tra una spira e la successiva è costante; ne sono un esempio le ammoniti.

Nel regno vegetale: nel disco centrale dei girasoli si avvitano due spirali, una in senso orario e l’altra in senso antiorario.


L’elenco potrebbe continuare per diversi ordini di grandezza dall’infinitamente piccolo, quali la doppia elica del DNA, all’infinitamente grande, quali le galassie dell’universo, passando per uraganivortici marini.


Si possono osservare spirali logaritmiche nella disposizione delle foglie di alcune piante, definita come fillotassi o nell'ordinamento delle scaglie dell'ananas o nella disposizione delle foglie dell'aloe.

Nei gasteropodi: lumache, chiocciole.

Nell’apparato uditivo la chiocciola o coclea ha questa forma. che permette di percepire le vibrazioni prodotte dalle onde sonore.

Un esempio particolare di spirale logaritmica è la spirale Aurea dove la struttura, ingrandita, o rimpicciolita, conserva lo stesso aspetto; questa può essere bene approssimata dalla spirale di Fibonacci.



Passiamo ora ad alcuni casi dove 2 o più spirali si avvolgono insieme.

Il condensatore elettrolitico, ad esempio, è composto da due lamelle definite armature. Queste sono divise da un materiale dielettrico o isolante e hanno polarità negative e positive. Quindi il condensatore è molto simile a una batteria e può mantenere una carica accumulata. Infine, questa struttura viene arrotolata per contenerne le dimensioni.


È probabile che gli studi di Leonardo da Vinci, che all'epoca della costruzione del castello di Chambord si trovava presso la corte di Francesco I, abbiano influenzato alcuni elementi architettonici: infatti alcuni suoi disegni rappresentano dei progetti di scale a doppia elica, che permettevano agli abitanti del palazzo di salire e scendere le scale senza mai incontrarsi, come succede nelle scale mobili di metropolitane e centri commerciali.


Ho tenuto per ultimo l’esempio più interessante: il disco multi-solco (o multisided record), un tipo di disco in vinile che ha più di un solco per lato. Questa tecnica permette di codificare tracce nascoste su LP, 45 giri e 78 giri, su un disco dotato di multi-solco, se l'ascoltatore riproduce la traccia principale o quella nascosta dipende solo da dove viene inserita la puntina.


L'esempio più citato è l’album Matching Tie and Handkerchief dei Monty Python, pubblicato nel 1973. Un lato dell'album (entrambi i lati erano etichettati "Lato 2") era "standard"; l'altro conteneva una coppia di solchi, ciascuno dei quali conteneva materiale diverso.


Un altro esempio memorabile di registrazione multi-solco è il disco flessibile del 1980 intitolato It's a Super-Spectacular Day pubblicato nel Super Special della mitica rivista MAD. Il disco riproduceva una sezione introduttiva standard sull'inizio di una giornata meravigliosa e "super-spettacolare", quindi produceva uno dei numerosi finali "cattivi" comici di quella giornata, coinvolgendo argomenti come il rapimento alieno, i brufoli, la violenza di strada e gli orrori di una suocera in visita. A metà disco, dopo l'allegra intro, i solchi extra prendevano il sopravvento. C'erano 8 scenari in totale e quello riprodotto dipendeva dal solco con cui la puntina entrava in contatto in modo totalmente casuale.



List of spirals - Wikipedia

Multisided record - Wikipedia

Fate as the DJ: Parallel Grooves | Kempa.com

https://www.reddit.com/r/Vinyl_Jazz/comments/k1pt41/parallel_grooves/?rdt=63556

Castello di Chambord - Wikipedia

Mathematical Spirals | Renaissance Universal (wordpress.com)

ajams7(2)66-76.pdf (arpgweb.com)

Zibaldone Scientifico: 222. Paralipomeni e DNA (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 89. Ottantanove (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 225. Spirale di Teodoro (zibalsc.blogspot.com)

                                                       Lossodromia - Wikipedia

 

giovedì 11 gennaio 2024

261. Doomsday

Il 2024 è un anno bisestile. Per definizione 1 anno ogni 4 lo è (a questa regola fanno eccezione gli anni “00”, in questi casi si applica lo stesso calcolo al secolo, per esempio, il 2000 è stato bisestile e il 2100 non lo sarà).

All’interno del secolo, abbiamo una ripetizione dello stesso calendario solo ogni 28 anni.

Per riutilizzare il calendario (o l’agenda) bisestile di quest’anno dovremo aspettare 28 anni, in questo secolo in totale 3 volte: 20242052 e 2080.

Per essere precisi anche questi 3 anni avranno qualcosa di diverso: la data della Pasqua.

http://zibalsc.blogspot.it/2013/03/118-e-la-data-della-pasqua.html

Nel calendario gregoriano la Pasqua è una festività mobile e la sua data varia di anno in anno perché è correlata con il ciclo lunare.

La regola che fissa la data della Pasqua fu stabilita nel 325 dal Concilio di Nicea:

la Pasqua cade la domenica successiva alla prima luna piena dopo l'equinozio di primavera (il 21 marzo).

Di conseguenza essa è sempre compresa nel periodo dal 22 marzo al 25 aprile.

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Quest’anno il Doomsday sarà di Giovedì.


Come visto nel post 202 (e nei precedenti 3092109132 e 172) alcune date, semplici da ricordare, hanno in comune lo stesso giorno della settimana (Doomsday).

Questa regola è stata evidenziata dal matematico inglese John Horton Conway.

Quest'anno saranno Giovedì:


- nei mesi pari il 4/4, il 6/6, l’8/8, il 10/10 e il 12/12

- nei mesi dispari il 7/3, il 5/9, il 9/5, il 7/11 e l’11/7.

Per i mesi dispari si ha sempre che la differenza tra giorno e mese è uguale a 4.

In aggiunta ai giorni elencati sopra, sono Doomsday anche:

-       l’ultimo giorno di Febbraio (anche se l’anno è bisestile)

-       il 25 Aprile
-       Ferragosto       (15 Agosto)
-       Halloween        (31 Ottobre)
-       S.Stefano         (26 Dicembre)

 

Lo è anche l’anniversario della nascita di Albert Einstein (14 Marzo) famoso come Pi Day, giorno dedicato a pi greco, per la grafia anglosassone del numero 3.14

Anche il 26/12 compleanno di Conway è il giorno del Doomsday.

Uno dei metodi per calcolare il Doomsday è di sommare le ultime due cifre dell'anno al quoziente intero della loro divisione per 4; al risultato si deve sommare il coefficiente del secolo, che per il periodo dal 1900 al 1999 corrisponde a 3, mentre dal 2000 al 2099 è 2.

Ad esempio, per il 2024 si ottiene:

24 + int(24/4) + 2  =  24 + 6 + 2  =  32  (modulo 7)  =  4 (Giovedì)


http://en.wikipedia.org/wiki/Doomsday_rule

http://www.ilpost.it/mauriziocodogno/2010/12/20/calendario-perpetuo-mentale/
http://rudy.ca/doomsday.html
https://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_della_Pasqua

Zibaldone Scientifico: 202. Doomsday 2016 e Calendari (zibalsc.blogspot.com)

sabato 9 dicembre 2023

260. Mezzo chiuso e mezzo aperto

Pubblicato per la prima volta nel 1971 da Lucio Lombardo Radice, La matematica da Pitagora a Newton, è un'introduzione alle diverse concezioni del numero e alle diverse forme di calcolo numerico.


Nel libro sono riportate anche 19 appendici. Ne riporto 2 particolarmente stimolanti. Nell’introduzione dell’autore si può leggere: “Per comprendere la matematica occorre far funzionare il cervello, e questo costa sempre un certo sforzo.”


-       Una porta mezza-chiusa non è una porta mezza-aperta

(Quando un movimento può essere compiuto in due sensi, o «versi» opposti, occorre misurare gli spostamenti con numeri positivi e negativi, se si vogliono evitare errori e assurdità.)

«Dimostriamo» che: chiuso = aperto.

Infatti: una porta mezza-chiusa è la stessa cosa di una porta mezza-aperta.

Perciò:

mezzo-chiuso = mezzo-aperto

raddoppiando:

chiuso = aperto.

Dove sta l'errore? Chiuso è l'opposto di aperto, e mezzo-chiuso è l'opposto di mezzo-aperto. Infatti, il movimento di aprire (una porta) consiste nel farla ruotare di un angolo retto attorno ai suoi cardini in un dato senso, mentre per chiudere la stessa porta bisogna farla ruotare del medesimo angolo, ma nel senso opposto, e perciò le rotazioni necessarie per chiudere a metà, e per aprire a metà, sono uguali come ampiezza, ma hanno segno opposto: 

1/2 chiuso = - (1/2 aperto)

e quindi:

chiuso = - (aperto)

 al posto del segno “meno” si può anche leggere: “opposto di …”.

 

-       Uno è uguale a due, ovvero l'operazione proibita

Il calcolo letterale è una «macchinetta» preziosa, ma qualche volta può scoppiare in mano a chi la maneggia con poca attenzione. Allora ..., attenzione: dimostreremo che uno è uguale a due. 

Supponiamo che sia a = b; perciò, moltiplicando per a da tutt'e due le parti:

a2 = ab

togliendo dalle due parti (da tutt'e due i membri dell'uguaglianza), la stessa quantità, b2

a2 - b2 = a * b – b2

Ma, per una nota regola di calcolo che del resto sì verifica senza difficoltà, la differenza dei quadrati di due numeri è uguale alla loro somma moltiplicata per la loro differenza; perciò: 

a2 - b2 = (a * b) (a – b) = b (a - b)

Infatti, «mettendo in evidenza» b; a * b - b2 = b (a - b). Ora, nell'uguaglianza: 

(a + b) (a – b) = b (a – b),

parrebbe permesso dividere per a - b il primo e il secondo membro; quindi: 

a + b = b



Quest’ultimo esempio è preso dal libro di Paul J. Nahin - In Pursuit of Zeta-3

 

-       Uno è uguale a un mezzo

La nota serie ottenuta dalla serie armonica riscritta con segni alterni converge a ln(2).



Nel 1837 il matematico tedesco Bernhard Riemann osservò che una serie armonica con segni alterni può sempre essere riarrangiata per convergere ad ogni valore, positivo o negativo, desiderato.

Riemann series theorem - Wikipedia

Absolute convergence - Wikipedia

Category:Bernhard Riemann - Wikipedia

Più in generale, mediante un'opportuna riorganizzazione dei termini, una serie condizionatamente convergente può essere fatta convergere a qualunque valore desiderato o divergere.

Riemann Series Theorem -- from Wolfram MathWorld

integr-abile.unito.it/Libri/Analisi2/html/v2/analisi2.html

martedì 31 ottobre 2023

259. Macchina con calcestruzzo

 Il googol è un “grande numero” pari a 10100 (cioè 1 seguito da 100 zeri)

10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Il termine è stato coniato nel 1938 da Milton Sirotta, nipote di 9 anni di Edward Kasner che successivamente estese il termine al googolplex, definito come 10googol.

Come paragone, il numero di atomi stimato nell’Universo è “solo” dell’ordine di 1080.

Il 1° marzo 2020, in occasione del suo miliardesimo secondo di vita, il designer olandese Daniel de Bruin ha attivato una macchina di sua progettazione che utilizza il principio delle opere di Arthur Ganson (citate sotto) e che permette di “visualizzare un googol”. Ha infatti un rapporto di riduzione pari a 10100, grazie ad un sistema composto da cento ruote che raggiungono ciascuna una riduzione di 1/10. Il “più grande riduttore di velocità dell’Universo”.

La macchina con riduzione a ingranaggi di Daniel de Bruin è composta da 100 ingranaggi con ciascuna coppia di ingranaggi che ha una riduzione di 1 a 10, quindi per ogni 10 giri del primo, l'ingranaggio successivo fa una sola rotazione e così via. Quindi, affinché l'ultimo ingranaggio possa girare una volta, il primo deve ruotare un numero googol di volte.



La macchina con calcestruzzo (Machine with concrete) di Arthur Ganson è costituita da un treno di ingranaggi azionato da un motore elettrico che finisce in un blocco di cemento. Il treno è composto da 12 viti senza fine e successive ruote dentate, ciascuna vite senza fine fa girare una ruota dentata, l'asse di quest'ultima è collegato alla vite senza fine successiva. L'albero motore porta il primo ingranaggio a vite senza fine, mentre l'albero dell'ultimo ingranaggio è fisicamente incastrato nel blocco di cemento, impedendone la rotazione.

Il rapporto di trasmissione da una ruota dentata alla successiva è 1/50, cioè la successiva gira 50 volte più lentamente della ruota precedente. Con 12 ruote, il rapporto finale è quindi (1/50)12 = 1/244 140 625 000 000 000 000.

Nella tabella appesa vicino alla macchina viene spiegato come questa riduzione avvenga ingranaggio dopo ingranaggio.

Successivamente Arthur Ganson riprese il concetto di Machine with concrete per progettare Beholding the Big Bang, un treno di ingranaggi azionato da un motore e il cui ultimo elemento, anch'esso congelato nel cemento, impiegherebbe teoricamente 13,7 miliardi di anni per completare una rivoluzione, ovvero l'età dell'Universo. L'opera faceva parte della mostra Imagining Deep Time nel 2014 presso l'American National Academy of Sciences ed è esposta al Museo del MIT.

Nella tabella seguente si vede che per la macchina con riduzione a ingranaggi di Daniel de Bruin se il primo ingranaggio compie un giro ogni 3.16 secondi, possiamo apprezzare la rotazione dei 4 ingranaggi successivi e anche del quinto che compie circa 3 rotazioni in un giorno. Ma dall’ottavo ingranaggio si comincia a parlare di anni, arriviamo al secolo al decimo e a un milione di anni al quattordicesimo! Al diciottesimo abbiamo raggiunto l’ordine di grandezza dell’età dell’Universo. Non è facile, ma potete provare ad immaginare di cosa possa succedere al centesimo ingranaggio …

  ingranaggio           un giro ogni             

1                        3.16                          sec     

2                      31.56                          sec     

3                        5.26                          min    

4                      52.60                          min                 Ora

5                        8.77                          ore     

6                        3.65                          giorni

7                        1.18                          mesi               Mese

8                                               1        anno               Anno

10                                         100        anni                Secolo

11                                      1,000        anni                Millennio

14                               1,000,000        anni                Milione

17                        1,000,000,000        anni                Miliardo

18                      10,000,000,000        anni                Universo

Vediamo ora qualche esempio di Grandi numeri.

Utilizzando questa notazione:

a{1}b = a+b

a{2}b = a*b

a{3}b = a^b

a{4}b = a^^b

a{5}b = a^^^b

a{6}b = a^^^^b

 

Possiamo definire questi Grandi numeri:

googol = 10{3}100

googolplex = 10{3}10{3}100

googolduplex = 10{3}10{3}10{3}100

giggol = 10{4}100

giggolplex = 10{4}10{4}100

giggolduplex = 10{4}10{4}10{4}100

tripent = 5{5}5

trisept = 7{7}7

tridecal = 10{10}10

boogol = 10{100}10

 

 Alcune curiosità

In un anno ci sono circa pi greco x 107 secondi (o anche 754 secondi).

L'età dell'Universo è di circa 1515 secondi.

Entro il compimento di 84 anni riuscirete a festeggiare:

      1.000 mesi o 4.000 settimane o 30.000 giorni o 2.600.000.000 secondi

                      10! secondi  =  6 settimane

Largest Gear Reduction Machine Features 100 Gears and Takes Eons to Complete One Rotation - Hackster.io

De (très) grands et petits nombres - De la Vie du Monde (histochronum.com)

https://arthur.io/art/arthur-ganson/machine-with-concrete

Beholding the Big Bang - YouTube

https://www.arthurganson.com/concrete-1

https://sites.google.com/site/largenumbers/home/4-1/4-1-2-extended_operators?authuser=0

Zibaldone Scientifico: 162. Grandi Numeri (zibalsc.blogspot.com)