254. Radice di 3 e radice di 2

 

 L'esotomia, I'IBM-azione,

 declorodefenilchetone,

 essedi-etilizzazione

 han dato vita alla programmazione.

 x₁ = A sen (ωt)

 x₂ = A sen (ωt + γ)

 

     Fenomenologia – Franco Battiato

Una coincidenza molto curiosa (sembra che fosse già nota a Platone) è che la somma della radice quadrata di 3 e della radice quadrata di 2 si avvicina molto al valore di pi greco:    3.146264 - 3.141592 = 0.004671

Voglio dare qui 2 “quasi dimostrazioni” di questo:

·      la prima è che la media aritmetica delle aree dell'esagono circoscritto e dell'ottagono inscritto è una buona approssimazione dell'area del cerchio;

·      la seconda è che, utilizzando la formula vista nel post precedente, si ottiene circa 3 + 1/7 che è una nota approssimazione di pi greco.

Alla fine di questo post verrà mostrata un’altra approssimazione che può essere facilmente ricavata utilizzando i prodotti notevoli.

Per la prima delle 2 “quasi dimostrazioni” mi limito a mostrare una figura dove il raggio delle circonferenze è uguale a 1:

Per la seconda viene utilizzata la formula del post precedente, dove l’estrazione della radice quadrata del prodotto di 2 numeri può essere approssimata con la somma di 2 frazioni. 

I valori di x e y sono stati scelti in modo di poter ottenere facili approssimazioni:

Utilizzando infine il noto prodotto notevole  (a+b) x (a-b) = a² – b²

si ottiene un’ulteriore “notevole” coincidenza, cioè che la differenza della radice quadrata di 3 e della radice quadrata di 2 è una buona approssimazione del reciproco di pi greco:

Riporto infine una migliore approssimazione di pi greco:

Approximations of π - Wikipedia

253. Radici – parte seconda

Il calcolo della radice quadrata di un numero e’ abbastanza laborioso.

Può comunque essere effettuato semplicemente, senza l’utilizzo di una calcolatrice, utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor della radice di 1+x :

Cominciava così il post 84. Qui di seguito viene mostrato un altro modo per estrarre la radice quadrata che a prima vista può lasciare sorpresi.

Dalla definizione delle medie matematiche (vedi post 200):

Media aritmetica - La media aritmetica viene calcolata sommando tutti i valori a disposizione e dividendo il risultato per il numero dei dati.

Media geometrica - La media geometrica di n termini è la radice n-esima del prodotto degli n valori.

Media armonica - La media armonica di n termini è definita come il reciproco della media aritmetica dei reciproci.

In generale si ha:       M _aritmetica > M _geometrica > M _armonica

Per 2 valori la media geometrica è medio proporzionale tra le altre 2

                        M _aritmetica :  M _geometrica  =  M _geometrica :  M _armonica

e quindi

                        (M _geometrica)² =  M _aritmetica x M _armonica

Se poi i 2 valori sono abbastanza simili, media aritmetica e media armonica differiscono di poco e per la loro media vale

                        M _geometrica  ≈  (M _aritmetica + M _armonica) / 2

Ad esempio con 9 e 10 si ha:

M _aritmetica =   9.5

M _armonica  =  9.47368

(M _aritmetica + M _armonica) / 2 =  9.48684

M _geometrica = 9.48683

In generale, chiamando i 2 valori x e y, vale

Per l’esempio precedente

Una decisa semplificazione del calcolo.

Se ora effettuiamo le sostituzioni:    

otteniamo la semplice formula:     

Basta solo avere l’accortezza di scegliere per z un numero vicino alla radice che pensiamo di ottenere (non deve essere per forza intero).

Ad es. la radice quadrata di 80 = 8.94427 è circa (9 + 80/9)/2 = 8.94444

Iterando il processo 2 o più volte si riesce ad ottenere la precisione voluta, anche partendo da un valore non scelto con particolare cura.

252. Legge di Benford

 

Legge di Benford (numerazione binaria):

per ogni numero maggiore di zero, "1" compare come prima cifra nel 100% dei casi.

Il problema era questo: si consideri la prima cifra nella espansione decimale di 2ⁿ per n ≥ 0 : 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, …

La cifra 7 appare in questa sequenza? Appare più di frequente 7 o 8? Quanto più di frequente?

 

All’epoca non sapevo quale fosse il modo corretto di risolvere il problema, ma io lo approcciai così: in scala logaritmica i prodotti si trasformano in somme, per esempio moltiplicare per 2 equivale a sommare log(2) e si ottiene in sequenza: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …

Le prime cifre della sequenza sono appunto: 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 7, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 9, 1, 3, 7, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 9, 1, 3, 7, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 9, 1, 3, 7, 1, 3, 6, 1, 2, 4, 9, 1, 3, 7, 1, 3, 6, 1, 2, 4, 9, 1, 3, …

Sloane’s On-Line Encyclopedia of Integer Sequences A008952

Per definizione la posizione 1 è posta a log₁₀ 1 = 0, mentre la posizione 10 a 1 (log₁₀ 10 = 1) e 100 a 2 (log₁₀ 100 = 2), le posizioni intermedie sono a:

log₁₀ 2 = 0.3010, log₁₀ 3 = 0.4771, log₁₀ 4 = 0.6020, … , log₁₀ 9 = 0.9542

Ogni intervallo I(m) di numeri che iniziano con la cifra m è compreso tra log(m) e log(m+1), per cui i vari intervalli valgono:

log(m+1) - log(m)  =  log((m+1)/m)  =  log(1 + 1/m)

Tornando al problema, la cifra 7 appare log(1 + 1/7) = 0.05799 =  5.8%

e per vederla apparire dobbiamo aspettare 2⁴⁶ = 70368744177664.

Alla seconda domanda si può rispondere che appare maggiormente 7,

e per n > 209, la frequenza f(7) della cifra 7 è maggiore di quella di 8:

f (7) / f (8)  tende a log₁₀(1 + 1/7) / log₁₀(1 + 1/8) = 1,133706496

Nota:    I(1) = I(2)+I(3) = I(4)+I(5)+I(6)+I(7)

La legge di Benford nasce dall'osservazione che in molte raccolte di numeri, ad es. tabelle matematiche, dati della vita reale o loro combinazioni in varie unità di misura, le cifre significative iniziali non sono distribuite uniformemente, come ci si potrebbe aspettare, ma sono maggiori per le cifre più piccole.

Afferma che le cifre significative in molti insiemi di dati seguono una distribuzione logaritmica. Nella sua formulazione più comune, è anche nota come “legge della prima cifra” e prende il nome dal fisico americano Frank Benford (1883-1948) che la formulò nel 1938, anche se era già stata evidenziata dall’astronomo americano Simon Newcomb (1835-1909) nel 1881.

Benford osservò che le tavole logaritmiche, usate all’epoca per i calcoli, avevano le prime pagine molto sgualcite e ne dedusse quindi che i numeri comincianti per 1 ricorrevano più spesso di quelle comincianti per le altre cifre.

Questa distribuzione ha una proprietà caratteristica nota come “invarianza di scala” e viene spesso usata per scoprire dati “contraffatti”.

Se doveste falsificare dei numeri, fate in modo che la cifra 1 appaia circa nel 30% dei casi, 2 nel 17% e così via.

Per un dato numero di cifre, è possibile calcolare la probabilità di incontrare un numero che inizia con la stringa di cifre n di quella lunghezza. Qui di seguito quanto riportato in Wikipedia alla voce “Benford's law”.

La distribuzione dell'n-esima cifra, all'aumentare di n, si avvicina rapidamente a una distribuzione uniforme con il 10% per ciascuna delle dieci cifre, come mostrato di seguito:

 

 

 

Benford Online Bibliography

https://mathworld.wolfram.com/BenfordsLaw.html

Benford's Law (mathpages.com)

034.PDF (rudimathematici.com)

La legge di Benford (xmau.com)

Index to OEIS: Section Be - OeisWiki

https://oeis.org/A008952

Zibaldone Scientifico: 133. Regolo calcolatore (zibalsc.blogspot.com)

opgave2004-1B.pdf (jaapspies.nl)

Wohl_Benford.pdf (williams.edu)

251. Binari

Se si divide un quadrato di area unitaria in 2 parti uguali, ognuna risulterà di valore 0,5. Dividendo una di queste in 2 parti uguali e continuando a sezionare nello stesso modo, si avranno i valori: 0,5 ; 0,25 ; 0,125 ;  0,0625 ; 0,03125 ; …

Si ottiene cioè una serie geometrica la cui somma converge a 1:

Una bilancia con a disposizione pesi di: 0,5 kg; 0,25 kg; ecc., potrebbe misurare qualsiasi oggetto inferiore al chilogrammo. Quello che stiamo facendo è utilizzare un sistema di numerazione in base 2. Probabilmente tutti si sono cimentati con i numeri binari, ma poche persone avranno utilizzato questa base per fare conti con i decimali, qui si propone un esempio:

3,14159265358979323846…  =  11,00100100001111110110101...

La parte intera sarà probabimente chiara a tutti, mentre l’altra parte richiederà un minimo di ragionamento. 

Possono forse aiutare queste tabelle:

 

 

Qui di seguito qualche esempio di pi greco in diversi sistemi di numerazione.

Come esercizio si può notare come sia semplice il passaggio da base 2 a base 4 e da base 4 a base 16.

base-2  (codice binario) :  11.0010010000111111011010101000100010000101101000110000100011010011000100110001100110001010001011100000 …

base-4 : 3.0210033312222020201122030020310301030121202202320003130013031010221000210320020202212133030131000020 …

base-16  (codice esadecimale): 3.243F6A8885A308D313198A2E03707344A4093822299F31D0082EFA98EC4E6C89452821E638D01377BE5466CF34E90C6CC0AC …

base-3 : 10.0102110122220102110021111102212222201112012121212001211001001012220222120120121112101210112002201202 ...

base-5 : 3.0323221430334324112412240414023142111430203100220034441322110104033213440043244401441042334133011323 ...

base-6 : 3.0503300514151241052344140531253211023012144420041152525533142033313113553513123345533410015154344401 ...

base-7 : 3.0663651432036134110263402244652226643520650240155443215426431025161154565220002622436103301443233631 ...

base-8 : 3.1103755242102643021514230630505600670163211220111602105147630720020273724616611633104505120207461615 ...

base-9 : 3.12418812407442788645177761731035828516545353462652301126321450283864034354163303086781327871588 ...

Binary number - Wikipedia

Sistema numerico binario - Wikipedia

Zibaldone Scientifico: 226. Moltiplicazioni non convenzionali (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 220. Everest (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 205. Pi Greco (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: pi (zibalsc.blogspot.com)

 

250. Rebus

 Cercando di te in un vecchio caffè

 ho visto uno specchio e dentro

 ho visto il mare e dentro al mare

 una piccola barca per me.

 Per farmi arrivare a un altro caffè

 con dentro uno specchio che dentro

 si vede il mare e dentro al mare

 una piccola barca pronta per me.

 Ah che rebus, ah che rebus

 Da, da da

 Ma poi questo giro in cerca di te

 è turistico, ahimè, e mi accorgo che

 chi affitta le barche è anche

 il padrone di tutti i caffè

 e paga di qua e paga di là

 noleggia una barca e prendi un caffè

 ah, è meglio star qui a guardare

 i pianeti nuotare davanti a me

 Nell’oscurità del rebus

 Ah che rebus

 Da, da, da

Paolo Conte - Rebus

La dicitura "effetto Droste" venne coniata alla fine degli anni settanta del Novecento dal poeta e giornalista Nico Scheepmaker, il quale prese spunto dalla marca olandese di cacao Droste, sulla cui scatola era presente l'immagine di un'infermiera che teneva in mano un vassoio con una tazza e una scatola della stessa marca; questa pubblicità fu creata da Jan Misset nel 1904.

Un'immagine in cui è presente l'effetto Droste possiede una piccola immagine di sé stessa, localizzata dove dovrebbe trovarsi se si trattasse di un'immagine reale. 

Questa piccola immagine inoltre contiene a sua volta una versione ancora più ridotta di sé stessa, e così via. Si continua fino a quando la risoluzione permette di distinguere un cambiamento.

Nell’agosto del 1909 l'artista americano Coles Phillips, noto per le sue eleganti immagini di donne e per un uso esclusivo dello spazio negativo nei dipinti che ha creato per le pubblicità e le copertine di riviste popolari, creò questa copertina per la rivista Life:

Il lavoro di Phillips divenne rapidamente popolare tra i lettori di Life. Nel maggio del 1908, creò una copertina per la rivista che presentava il suo primo disegno da "fadeaway girl" con una figura il cui abbigliamento corrispondeva e scompariva sullo sfondo. Phillips ha sviluppato questa idea in molte copertine successive.

L'uso dello spazio negativo di Phillips ha permesso allo spettatore di "riempire" l'immagine; ha anche ridotto i costi di stampa per la rivista.

Il disegno ricorsivo è stato utilizzato da Maurits Cornelis Escher in Galleria di stampe (1956), dove partendo dallo sguardo di un visitatore ritratto a osservare il paesaggio di un quadro appeso nella galleria, lo sguardo prosegue passando dal dipinto al paesaggio reale ritrovandosi, dopo un percorso circolare, a osservare la nuca del visitatore attraverso la vetrata della galleria stessa, in una successione potenzialmente infinita.

Nel doppio album dei Pink Floyd “Ummagumma” (1969) sulla sinistra si vede un quadro dove è raffigurata la stessa scena, ma con scambio di posto degli stessi musicisti.

Per quanto concerne la copertina frontale si nota un collage, a detta dello stesso autore Storm Thorgerson dello studio Hipgnosis, composto in maniera quasi amatoriale, di più foto scattate nella stessa stanza, ma con una sorta di rotazione dei membri del gruppo nelle varie postazioni.

https://it.wikipedia.org/wiki/Ummagumma

Echoes: The Best of Pink Floyd è una raccolta pubblicata nel 2001. La copertina dell'album (anch’essa ideata da Storm Thorgerson) si basa su un gioco di immagini innestate una dentro l'altra: vi è la cornice di una finestra d'angolo che dà sull'esterno, cioè l'altro muro dell'angolo, nel quale a sua volta si apre un'altra finestra che permette di avere lo scorcio di un interno, subito interrotto da un muro nel quale vi è una nuova finestra che dà su un paesaggio (diverso a seconda dei lati della copertina). 

In questi spazi trovano collocazione personaggi e oggetti che fanno riferimento alle copertine dei precedenti album dei Pink Floyd.

https://it.wikipedia.org/wiki/Echoes:_The_Best_of_Pink_Floyd

Per esempio si ritrovano:

·         un uomo in fiamme, come sulla copertina di Wish You Were Here

·         le statuine di un maiale e di una mucca, che simboleggiano le copertine di Animals e Atom Heart Mother

·         un uomo con lampadine attaccate all'abito, dalla copertina dell'album live Delicate Sound of Thunder

·         quattro maschere che riproducono i volti dei componenti del gruppo, come sulla copertina di Is There Anybody Out There?: The Wall Live 1980-1981

·         mattoni bianchi e lo stemma dei due martelli incrociati, che rappresentano The Wall

·         una bicicletta, che si riferisce alla canzone Bike di The Piper at the Gates of Dawn

·         un'ascia, riferita alla canzone Careful with That Axe, Eugene

·         una boccia per pesci, citazione dal testo di Wish You Were Here

·         un uomo in divisa militare, che richiama l'album The Final Cut

·         un letto d'ospedale, come sulla copertina di A Momentary Lapse of Reason

·         le maschere della copertina di The Division Bell

·         un prisma dalla copertina di The Dark Side of The Moon

·         un modellino di un aereo appeso al soffitto, che rimanda allo schianto dell'aereo sul  muro nella canzone In the flesh? contenuta nell'album The Wall

·       un quadro che riprende la cover del loro primo album The Piper At The Gates Of Dawn

·      un uomo in costume da bagno azzurro, lo stesso uomo utilizzato nelle immagini all'interno dell'album Wish You Were Here

·     un bersaglio a cerchi bianchi e rossi che si trova negli occhi delle statue sulla copertina di The Division Bell

·         un quadro che riprende la cover del loro album Meddle

                                  

http://www.latinacittaaperta.info/2018/05/03/escher-e-la-cioccolata/

http://misterpalomar.blogspot.com/2011/03/la-matematica-di-ummagumma-parte-1_17.html?_sm_au_=iQWkJHWnJnwJn6w5cLpsvK618Vf61

http://www.coelum.com/articoli/rudi-mathematici/questo-titolo-ha-25-caratteri-approfondimenti-sul-quesito-e-soluzione

C'era una volta un Re

seduto sul sofà

che disse alla sua serva

raccontami una storia

e la serva incominciò:

C'era una volta un Re

seduto sul sofà

che disse alla sua serva

raccontami una storia

e la serva incominciò:

C'era una volta un Re

seduto sul sofà

che disse alla sua serva

raccontami una storia

e la serva incominciò:

C'era una volta un Re

seduto sul sofà

che disse alla sua serva

raccontami una storia

e la serva incominciò:

C'era una volta un Re

seduto sul sofà

che disse alla sua serva

raccontami una storia

e la serva incominciò:

C'era una volta un Re

seduto sul sofà

che disse alla sua serva

raccontami una storia

e la serva incominciò:

…………

………..

………...