domenica 30 giugno 2019

248. Fasi Lunari

Dedicato a Guillermo Mordillo e alle sue lune

Giusto per fare chiarezza, le Lunule con le fasi lunari non c’entrano molto. Qui di seguito si cerca di spiegare brevemente cosa sono le fasi lunari.
La Luna impiega 29,53 giorni per completare un’orbita attorno alla Terra in un ciclo lunare completo (Periodo Sinodico) e, durante questo tempo, passerà per ognuna delle sue fasi. Poiché il periodo orbitale della Luna dura meno di un mese medio, a seconda del numero esatto di giorni del mese, la Luna Piena anticipa un giorno o due ogni mese.
I cambiamenti possono sembrare lenti, ma in un dato giorno la quantità di Luna illuminata dal Sole può variare fino al 10% (in circa 15 giorni cambia del 100%).
Le 4 principali fasi della Luna sono: Luna Nuova, Primo Quarto, Luna Piena e Ultimo Quarto.
La Luna Nuova si verifica con una luminosità pari allo 0% quando la Luna è completamente scura, mentre la fase di Luna Piena con una luminosità del 100%. Per i Quarti di Luna la luminosità è del 50%.

La “Luna Piena” non è “piena” per tutto il giorno (o per tutta la notte) avviene in un preciso istante del Periodo Sinodico e potrebbe anche succedere quando per voi è giorno.

I greci furono tra i primi a dare uno sguardo scientifico alla Luna e alle sue fasi. Intorno al 500 a.C. osservarono attentamente la linea di confine (il Terminatore) tra i 2 emisferi (oscuro e luminoso) della Luna, e sulla base della stima della sua forma, ipotizzarono correttamente che la Luna dovesse essere una sfera. Alcuni secoli più tardi, intorno al 350 a.C., Aristotele fece ulteriori osservazioni e, osservando l'ombra della Terra sulla faccia della Luna durante un'eclissi lunare, capì che anche la Terra dovesse essere una sfera. Però, ragionando erroneamente, ipotizzo che la Terra fosse fissa nello spazio e che la Luna, il Sole e le stelle ruotassero attorno ad essa. Credeva anche che la Luna fosse una sfera traslucida che viaggiava in un'orbita perfetta attorno alla Terra.
Nei primi anni del 1500 l'astronomo Niccolò Copernico sviluppò un modello del Sistema Solare in cui la Terra e gli altri pianeti orbitavano attorno al Sole e la Luna orbitava intorno alla Terra. Cento anni dopo Galileo Galilei usò uno dei primi telescopi per osservare il Terminatore e dedusse dalle ombre irregolari durante la fase calante, che la superficie della Luna era piena di crateri e valli.
Dopo Copernico e Galilei, la lunga visione aristotelica dei cieli dell'Universo venne ribaltata e la Terra divenne uno dei pianeti orbitanti intorno al Sole e la Luna un satellite craterizzato in orbita intorno alla Terra.

In figura viene schematizzato un mese lunare :




Essendo in rotazione sincrona, la Luna rivolge sempre la stessa faccia verso la Terra e il suo lato nascosto è rimasto sconosciuto fino al recente periodo delle esplorazioni spaziali.
In realtà, per il fenomeno della librazione, la superficie nascosta non raggiunge la metà di questo corpo celeste ma è solo del 41%, pari a 15,5 milioni di km². Il 10 ottobre 1959, la cosmonave sovietica Luna 3 fotografò per la prima volta il lato “oscuro” della Luna. Durante il suo moto orbitale il diverso aspetto causato dall'orientazione rispetto al Sole genera le diverse fasi chiaramente visibili, ed è importante ricordare che anche l’altro lato viene periodicamente illuminato (durante la fase di Luna Nuova si ha il massimo della sua illuminazione).

In prima approssimazione, possiamo considerare la Luna come una sfera in rotazione, metà chiara e metà scura, o più semplicemente una semisfera con la faccia piatta scura.

Così si può pensare di avere una semicirconferenza chiara a cui viene sovrapposta un’ellisse con la lunghezza dell’asse maggiore uguale al diametro della Luna e quella dell’asse minore variabile periodicamente. L’ellisse è chiara quando la parte illuminata supera il 50% e scura nell’altro caso.


La formula per il calcolo della percentuale illuminata è : ( 1 + cos φ ) / 2
con phi che varia da 0 a 360 gradi durante il Periodo Sinodico e alla quale corrisponde la seguente curva della luminosità :


che è molto simile a quanto riportato nel sito della Luna :

                  https://www.moongiant.com/phase/today/

Possiamo quindi concludere che non è una Lunula che è invece sempre la sottrazione di due circonferenze, anche se nei fumetti viene spesso disegnata così.






venerdì 21 giugno 2019

247. Lunule

Ippocrate di Chio (440 a.C. circa) nacque sull'omonima isola, non lontano dall'isola di Kos, dove nacque un altro "Ippocrate” che divenne il padre della medicina greca e iniziatore del ben noto giuramento.
La leggenda narra che Ippocrate di Chio fu vittima di una truffa in cui perse tutto il suo denaro. Per guadagnarsi da vivere si dedicò alla geometria e tentò di risolvere due classici problemi della matematica greca: la quadratura del cerchio e la duplicazione del cubo. Ippocrate non riuscì in questa impresa ma calcolò l’area delle lunule e trovò una loro interessante proprietà, che, per vie traverse, è arrivata fino a noi.

Una regione del piano i cui confini sono archi di due cerchi è detta lunula (per la sua forma caratteristica).
https://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/ParoleMate/Ott_06/LunuleIppocrate.htm

Sappiamo che è impossibile "quadrare" un cerchio, che significa che non possiamo costruire un quadrato con la stessa area usando solo riga e compasso, ma è possibile "quadrare" certe lunule e Ippocrate di Chio fu il primo a dimostrarlo.
Solo 5 particolari lunule possono essere “quadrate” con metodi euclidei: 3 di queste furono descritte da Ippocrate stesso, mentre altre 2 furono scoperte a metà del 1700. Queste ultime 2 sono spesso accreditate ad Eulero.
La prova che queste 5 sono le uniche lunule “quadrabili” con metodi euclidei, fu data nel XX secolo da N.G. Tschebatorew e A.W. Dorodnow.

Non è troppo difficile scoprire queste 5 lunule “quadrabili”, specialmente con l'aiuto dei moderni metodi trigonometrici. In generale, si consideri la lunula descritta da segmenti di arco di due cerchi sfalsati, uno di raggio r e l'altro di raggio R, come mostrato qui di seguito:

https://www.mathpages.com/home/kmath171/kmath171.htm


La prima figura (nel riquadro in alto a sinistra) serve solo per mostrare gli elementi principali della generica configurazione; le altre 5 figure riportano R ed r (con R > r ) ed il rapporto u tra i loro quadrati.
Ad esempio, per u = 2 , R è uguale alla diagonale del quadrato di lato r.
In questo caso vale quanto riportato nel sito di Gianfranco Bo:

http://utenti.quipo.it/base5/pitagora/lunula.htm

  
L’area del triangolo giallo è uguale a quella della lunula azzurra.

E questo vale per tutte le 5 lunule mostrate. La dimostrazione che l’area della lunula è uguale a quella del triangolo, è probabilmente la prima “quadratura” della storia.







Nel gravitare intorno alla Terra, nelle notti di plenilunio, la Luna può entrare nel cono d’ombra terrestre. In questo caso si ha un’eclisse lunare, che risulta visibile da tutto l’emisfero notturno della Terra.

Se invece è la Luna a proiettare la sua ombra sulla Terra si ha un’eclisse solare.



Il numero massimo di eclissi in un anno è 7, in ragione di 2 eclissi lunari e 5 solari oppure 3 lunari e 4 solari.  Comunque questi casi sono abbastanza rari; di norma ci sono 2 eclissi solari e 2 lunari per anno.  Il numero minimo è 2 per anno (entrambi solari).
Come detto in un precedente post , ci sono occasioni che possono capitare una sola volta nella vita, e il fotografo della NASA Joel Kowsky ne ha avuta una, riuscendo a catturare, vicino a Banner nel Wyoming, un’immagine (composta da 7 fotogrammi) che mostra la Stazione Spaziale Internazionale (ISS) mentre transita davanti al Sole a 7,66 km/s (circa 27.600 km/h) durante l'eclissi parziale.
Ecco, questa è una delle immagini più spettacolari di una lunula.











martedì 11 giugno 2019

246. La Quadratura del Cerchio in n-Dimensioni

Nel post precedente si è visto come, partendo dal setaccio di Wallis, si possa arrivare ad un simil-frattale in 3D (cubico) e assemblando 8 di questi cubi si ha lo stesso volume di una sfera di raggio unitario. Qui di seguito verrà illustrato in modo analitico come costruire un setaccio in 2D, 3D, ecc.

Per il 2D abbiamo un quadrato diviso in 9 parti uguali:

 
Il numero di elementi (o cardinalità) del prodotto cartesiano di 2 insiemi è il prodotto del numero di elementi dei 2 insiemi. Generalizzando, il numero di elementi del prodotto cartesiano di n insiemi è il prodotto del numero di elementi di ogni insieme.

Possiamo dare una rappresentazione tabulare, che consiste nello scrivere tutte le coppie possibili racchiuse tra parentesi graffe:

{(1 , 1) ; (1 , 2) ; (1 , 3) ; (2 , 1) ; (2 , 2) ; (2 , 3) ; (3 , 1) ; (3 , 2) ; (3 , 3)}

oppure tramite tabella a doppia entrata, ottenuta con gli elementi del primo insieme messi in colonna e quelli del secondo nella prima riga; le caselle contengono le varie coppie che si ottengono:


Come si vede l’unico quadrato tolto corrisponde a (2 , 2).

Nel caso del simil-frattale in 3D possiamo fare un ragionamento analogo e i 7 cubi rimossi saranno:

(1, 2, 2) ; (3, 2, 2) ; (2, 1, 2) ; (2, 2, 2); (2, 3, 2) ; (2, 2, 1) ; (2, 2, 3)

Nella seguente tabella viene rassunto (per ogni dimensione) quanti raggruppamenti di numeri 2 possiamo trovare; ad es. in 3D abbiamo 8 terne con zero 2, 12 con un solo 2, 6 con 2 elementi uguali a 2 e 1 con tutti i numeri uguali a 2 (che corrisponde al cubo centrale):


le combinazioni con almeno 2 elementi uguali a 2 sono 6 + 1 = 7, su un totale di 27 cubi (riportato nell’ultima colonna) e per un cubo di lato 3.


Possiamo fare lo stesso ragionamento per un cubo di lato 5:


qui è stata aggiunta l’ultima colonna che riporta il numero di cubi rimasti.

Nota: i coefficienti che appaiono in tabella, possono essere facilmente calcolati utilizzando la formula del binomio di Newton  -  in questo caso ( 4 + 1 )n  -


Ora, nel precedente post si è visto che in 2D per un valore iniziale pari a 4, moltiplicato nell’ordine per 8/9, 24/25, 48/49, 80/81, …, (n2 – 1) / n2  
si ha la formula derivata dal prodotto di Wallis:



che può essere schematizzata così:



Mentre in 3D si ha questo risultato:


dove i numeri in grigio rappresentano i vari denominatori. 


Tralascio i passaggi e riporto quanto calcolato con Wolfram|Alpha:


che può essere riassunto:



Nelle formule appare la funzione Gamma di Eulero che estende il concetto di fattoriale (anche ai numeri complessi). In coda al post ne riporto il grafico e alcune notevoli formule che la riguardano.

Qui mi interessa solo notare che la parte destra delle formule che contiene l’indice n tende a 1 al tendere di n all’infinito.

Per cui ciò che rimane delle 3 formule è pi greco ed il numero che si trova al denominatore. Ricordando che ogni formula deve essere moltiplicata per il numero di “quadranti”, la prima (2D) 22 = 4, la seconda (3D) per 23 = 8 e la terza (4D) per 16.

Ottenendo così i “Volumi” delle sfere n-dimensionali:


Questa non è ancora una vera e propria dimostrazione, ma ne contiene tutti gli elementi e si potrebbe anche utilizzare come metodo alternativo per calcolare il Volume di una iper-sfera.
La prima stesura di questo post verrà probabilmente rivista in seguito …














martedì 4 giugno 2019

245. Wallis e la Quadratura del Cerchio


La quadratura del cerchio, assieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della duplicazione del cubo, è un problema classico della matematica greca, il cui scopo è costruire un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio, con uso esclusivo di riga e compasso.


Nel 1882, Ferdinand Lindemann, dell’Università di Monaco, dimostrò che pi greco è trascendente, tirando così per sempre una riga sul problema della quadratura del cerchio; dalla prova fornita da Lindemann, risulta che è impossibile costruire, soltanto con riga e compasso, un quadrato di area uguale a quella di un cerchio dato, un problema che ha tormentato intere generazioni di matematici fin da prima di Euclide. Lindemann dimostrò che pi greco non è un numero algebrico.
Qualunque problema di geometria che può essere risolto soltanto con la riga e con il compasso, quando è posto sotto la sua forma algebrica equivalente, conduce a una o più equazioni algebriche con coefficienti interi razionali che possono risolversi per mezzo di successive estrazioni di radici quadrate. Siccome π non soddisfa nessuna di queste equazioni, non si può arrivare alla quadratura del cerchio con gli strumenti in questione.
Nota: con riga e compasso è ovviamente possibile “costruire” gli interi positivi come distanze intere dall’origine data. Ogni numero razionale è costruibile, e ciò grazie al bel teorema di Talete sui triangoli simili; inoltre si può dimostrare che la radice quadrata di qualsiasi numero costruibile è essa stessa costruibile.

Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale.

Nel precedente post abbiamo visto il tappeto di Sierpinski, un frattale ottenuto a partire da un quadrato, descritto dal matematico polacco Wacław Sierpiński nel 1916. Ad ogni passaggio si dividono i quadrati che costituiscono la figura in 9 quadrati più piccoli e si rimuove il quadrato centrale. In questo modo per ogni passo l’area si riduce di 8/9, per cui la dimensione frattale del tappeto è log 8 / log 3 , pari a 1,892789...



Vediamo ora un altro oggetto che “potrebbe” sembrare simile al precedente.

Il setaccio di Wallis è così costruito :

si inizia con un quadrato 2 x 2 e si divide in 4 quadrati;
si divide ogni nuovo sottoquadro per  9 e si rimuove il quadrato centrale (8/9);
si divide ogni nuovo sottoquadro per 25 e si rimuove il quadrato centrale (24/25);
si divide ogni nuovo sottoquadro per 49 e si rimuove il quadrato centrale (48/49);
si divide ogni nuovo sottoquadro per 81 e si rimuove il quadrato centrale (80/81)
e così via. 
Ecco come appare dopo alcuni passaggi :


Ho detto “potrebbe” perché il setaccio di Wallis è un simil-frattale, ad ogni passo la regola cambia e quindi l’autosimilarità non è mantenuta. Però, mentre nel caso del tappeto l’area (misura di Lebesgue) è nulla, per il setaccio l’area ha un valore ben noto.
Il valore iniziale è per definizione 4, poi nell’ordine si moltiplica per 8/9, 24/25, 48/49, 80/81, …, (n2 – 1) / n2
Questo è il famoso prodotto di Wallis :


che può anche essere riscritto in questo modo :


La meraviglia sta nel fatto che le aree del setaccio di Wallis e del Cerchio sono uguali. 

Vediamo altre 2 visualizzazioni :


nella prima figura si comincia da 1 solo quadrato e si mette in relazione con il relativo cerchio inscritto, mentre lo stesso oggetto viene poi scomposto e ricomposto per evidenziare meglio l’equivalenza di cerchio e setaccio.

Con riga e compasso si riesce quindi a costruire un “quadrato” equivalente al cerchio, basta avere pazienza e il tempo necessario … se non è esattamente una quadratura, in qualche modo ci assomiglia.

Un altro modo potrebbe essere il seguente: prendete un quadrato di lato 2, togliete un quadrato concentrico di area 4/3, aggiungetene uno di area 4/5 e continuate così all’infinito … avrete così ottenuto la serie di Gregory–Leibniz moltiplicata per 4,  cioè  pi greco.

L'area colorata di giallo ha una misura pari a pi greco





Poniamoci ora questa domanda :

esiste una spugna di Menger equivalente al setaccio di Wallis?

Si parte da un cubo di lato 1 e si divide il lato in 3 parti (27 cubi come per il cubo di Rubik), si rimuove il cubo centrale e i 6 cubi centrali ad ogni faccia (restano così 20 cubi), nel passo successivo si divide il lato di ogni nuovo cubo per 5 rimuovendo il cubo centrale e i cubi che si estendono dal centro, poi si ripete lo stesso procedimento con 7, 9, 11 e i numeri dispari successivi.

Meraviglia delle meraviglie, 8 di questi cubi hanno lo stesso volume di una sfera di raggio unitario

oppure in modo equivalente

il cubo di lato 1 ha lo stesso volume della sfera di diametro unitario