domenica 30 dicembre 2012

107. L’Ombra di Mezzogiorno

In astronomia il solstizio invernale è definito come il momento in cui il Sole raggiunge il punto di declinazione minima. Il fenomeno è dovuto all’inclinazione dell'asse di rotazione terrestre rispetto all'eclittica (percorso apparente che il Sole compie in un anno); il valore di declinazione raggiunta coincide con l'angolo d’inclinazione terrestre che attualmente è di 23°27'.  Nel 2012 è stato il 21 Dicembre alle 11:11.
 

Solstizio Invernale

 
L'altezza, o elevazione, è la distanza angolare dall'orizzonte di un oggetto sulla sfera celeste  e in occasione del solstizio invernale all'ora di pranzo il Sole raggiunge l’altezza minima.

A Milano (45°27′51″Nord,  9°11′25″Est; 122 m s.l.m.) il 21 Dicembre l’altezza all’ora del culmine del Sole (12:22) era di:
 
90° -  23°27'  -  45°28'    21°
 
Con un semplice calcolo trigonometrico si vede che una persona che in questo periodo si trovasse a passeggiare a mezzogiorno in una giornata soleggiata, vedrebbe le ombre degli oggetti, posti in posizione verticale, allungarsi di 2,6 volte circa; ad esempio una persona alta 1 metro e 75 cm avrebbe un’ombra di 4,5 metri.

A Giugno (solstizio estivo) l'angolo d’inclinazione non deve essere sottratto, ma sommato; per cui l’altezza all’ora del culmine è circa 68°. In questo caso l’ombra sarebbe più corta dell’oggetto (0,4 volte)
 
A Roma (41°55′N) l’altezza all’ora del culmine del Sole è rispettivamente 24,6° e 71,5°, mentre a Catania (37°30′N)   29° e 76°.

Alcune interessanti simulazioni si possono trovare nel sito:

The Nebraska Astronomy Applet Project
Online Labs for Introductory Level Astronomy

alle pagine “Basic Coordinates and Seasons” e “Lunar Phase Simulator”:

http://www.astrosurf.com/cosmoweb/cielo/coordinate.html
http://www.ilpaesedellemeridiane.com/simulatori/04noz/11lunghezzaOmbre.htm
http://www.marcomenichelli.it/sole.asp

Abstract - Winter Solstice

martedì 18 dicembre 2012

106. Congetture

In matematica una congettura è un'affermazione fondata su dati conosciuti, ritenuta plausibilmente vera, ma non dimostrata ( confutata).

Wikipedia riporta un elenco esaustivo di congetture matematiche all'indirizzo


In particolare ai numeri primi (divisibili solo per 1 e per se stessi), sono legate molte ipotesi di questo tipo ritenute verosimili e verificate per numeri molto grandi al limite delle potenzialità di calcolo dei più potenti computer.

I numeri primi sono infiniti, come mostrato per la prima volta da Euclide nei suoi Elementi (libro IX, proposizione 20), ma esistono molte altre dimostrazioni che usano una gran varietà di tecniche diverse: ad esempio Eulero lo ricavò dalla divergenza della
 
serie armonica:  1+1/2+1/3+1/4+1/5+…

Si può anche dimostrare la divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi:  1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+…, che può essere ricavata dalla serie armonica eliminando una gran quantità di termini o come si usa dire in questi casi utilizzando il cosiddetto metodo del crivello.
 
 
Si definiscono numeri primi gemelli le coppie di numeri primi che differiscono tra loro di due. Fatta eccezione per la coppia (2, 3), questa è la più piccola differenza possibile fra due primi. Alcuni esempi di coppie di primi gemelli sono 5 e 7, 11 e 13, e 821 e 823.
La congettura dei numeri primi gemelli è un famoso problema irrisolto della teoria dei numeri. Essa fu proposta per la prima volta da Euclide intorno al 300 a.C. e afferma che:

Esistono infiniti numeri primi p tali che anche p+2 sia un numero primo. 

 

Due numeri primi cugini sono una coppia di numeri primi che differiscono di quattro (3, 7), (7, 11), (13, 17),…;  mentre i numeri primi sexy  sono così chiamati dal fatto che "sex" in Latino significa "sei".  Le prime coppie sexy sono (5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37), (37, 43), (41, 47), (47, 53), ...
 

Nel 1849 de Polignac enunciò una congettura più generale la quale ipotizza che, per ogni numero naturale k, esistano infinite coppie di numeri primi che differiscono di un termine pari a 2k. Il caso k = 1 è equivalente alla congettura dei primi gemelli.
 

Nel 1915 Viggo Brun dimostrò che la somma dei reciproci dei primi gemelli converge ad una costante matematica ora chiamata costante di Brun (B2), la cui miglior stima ha un valore pari a  1,902160583104.

B2 = (1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+(1/17+1/19)+...

Questa convergenza è in forte contrasto con il fatto che la somma dei reciproci di tutti i numeri primi sia divergente. Se questa serie fosse divergenteciò implicherebbe una dimostrazione della congettura dei numeri primi gemelli. Poiché invece converge, resta ancora da dimostrare se il numero di primi gemelli sia finito o infinito.
 

Nel 1742, il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse una lettera a Eulero in cui propose la seguente congettura:

 Ogni intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi.

Eulero, interessandosi al problema, rispose riformulando il problema nella seguente versione equivalente:

 Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.

La versione di Eulero è la forma nella quale la congettura è formulata attualmente e viene talvolta chiamata anche congettura forte di Goldbach per distinguerla dalla formulazione originale di Goldbach, nota oggi come congettura debole di Goldbach.

 
Se si costruisce una tabella dove la prima riga elenca i numeri primi nj, nj+1, nj+2, la seconda riga le differenze tra due primi consecutivi dj = nj+1 – nj, dj+1 = nj+2 – nj+1, e nelle righe successive le differenze tra i termini della riga precedente, si mette in evidenza la
congettura di Gilbreath, la quale afferma che il primo valore di queste sequenze sarà sempre uguale a 1, eccetto per la sequenza originale dei numeri primi. La congettura è stata verificata per i numeri primi fino al valore di 1013.

  2,  3,  5,  7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

  1,  2,  2,  4,   2,   4,   2,   4,   6,   2, ...

  1,  0,  2,  2,   2,   2,   2,   2,   4,  ...

  1,  2,  0,  0,   0,   0,   0,   2,  ...

  1,  2,  0,  0,   0,   0,   2,  ...

  1,  2,  0,  0,   0,   2,  ...

  1,  2,  0,  0,   2, ...

 
La congettura di Andrica riguarda gli intervalli tra due successivi numeri primi, ed è stata formulata dal matematico romeno Dorin Andrica nel 1986.

Questa congettura afferma che, per ogni coppia di numeri primi consecutivi pn e pn+1, si ha:

                             __        _
Esempio:   A4 = √ 11  -  √ 7   0,670873

In altri termini, la differenza tra due numeri primi consecutivi è sempre inferiore alla somma delle loro radici.

http://www.uni-service.it/il-fantastico-mondo-dei-numeri-primi.html
http://www.primepuzzles.net/conjectures/conj_008.htm
http://ilportaledigiammond.wordpress.com/matematica/curiosita-sui-numeri-primi/
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Ott_02/Cap7.html
http://zibalsc.blogspot.it/2011/02/34-formula-prodotto-di-eulero.html

Abstract - Andrica, Gilbreath, Goldbach  and de Polignac's Conjectures