sabato 19 luglio 2014

154. I (Noti) Solidi Platonici

In questo blog è già capitato diverse volte di parlare di poliedri (e iperpoliedri) o delle loro sezioni:

    5. Sezioni di Cubo
  19. Ipertetraedro
  21. Dodecaedro e Cubo
  45. Solidi Platonici
  94. Sezioni di ipercubo
131. Tesseratto

Nel post 45 si sono visti brevemente i 5 solidi platonici e qui di seguito verranno viste alcune motivazione del perché proprio 5.
Verranno mostrati inoltre i collegamenti che consentono di mettere in relazione i vari solidi.
Un poliedro è, per definizione, un solido delimitato da un numero finito di facce piane poligonali. E’ possibile costruire un numero infinito di strutture.
I 5 solidi platonici (tetraedro · cubo · ottaedro · dodecaedro · icosaedro), sono composti da poligoni regolari congruenti (cioè sovrapponibili esattamente) e hanno tutti gli spigoli e i vertici equivalenti.



La dualità poliedrale, cioè la trasfigurazione di un poliedro in un secondo poliedro che presenta rispettivamente i vertici, gli spigoli e le facce corrispondenti alle facce, agli spigoli e ai vertici del primo e che presenta le conseguenti relazioni di incidenza fra questi tre tipi di oggetti, è una involuzione che:

-           trasforma tetraedri in tetraedri e
-           scambia cubi con ottaedri e dodecaedri con icosaedri.


Poliedro
Vertici
Spigoli
Facce
 
Facce
per ogni
Vertice
 
  
4
6
4
3
 
8
12
6
3
 

6
12
8
4
 
20
30
12
3
 
12
30
20
 
5


Questa trasfigurazione da un poliedro ad un altro può essere effettuata perché ad esempio cubo e ottaedro hanno lo stesso numero di spigoli, ma hanno il numero di vertici e di facce scambiato.

Più precisamente, ad ogni vertice, spigolo o faccia del primo solido corrisponde rispettivamente una faccia, spigolo o vertice del secondo, in modo che siano preservate adiacenze e incidenze.

Un poliedro regolare può essere costituito da triangoli, quadrati e pentagoni, ma non esagoni, ecc. Questo perché su ogni vertice devono insistere almeno 3 facce e nel caso dell’esagono con 3 poligoni si forma un angolo di 360 gradi, non permettendo di formare un solido convesso.

Lo stesso discorso vale per 4 quadrati e per 6 triangoli.
Quindi l’unico poligono che può avere più di 3 facce per ogni vertice è il triangolo.

Il quadrato, il cubo e gli ipercubi in n dimensioni, sono le forme geometriche più intuitive. Se il lato di ogni faccia ha un valore unitario, ogni superfice, volume, ecc. vale sempre 1. Inoltre tutti gli spigoli sono ortogonali tra di loro.

Gli altri solidi platonici possono essere costruiti partendo dal cubo.
E’ interessante vedere come.


Dal Cubo al Tetraedro         e        Dal Cubo all’Ottaedro

6 sono le facce del cubo e 6 gli spigoli del tetraedro.
Tracciando in modo opportuno le 6 diagonali delle 6 facce, si ottiene un tetraedro.

6 sono le facce del cubo e 6 i vertici dell’ottaedro.
Congiungendo i punti centrali delle 6 facce del cubo (come in figura), si ottiene un ottaedro.

 
 

Dal Cubo al Dodecaedro

12 sono gli spigoli del cubo e 12 le facce del dodecaedro.
Per costruire un dodecaedro partendo dal cubo, cominciamo col mettere un tetto, dove i segmenti di colmo e displuvio sono uguali a 0,618 L (lato del cubo).
Per la precisione il rapporto tra i due segmenti è la ben nota Sezione Aurea.
 

Se ora costruiamo un tetto su ogni faccia del cubo otteniamo il dodecaedro cercato.

 


Dal Cubo all’Icosaedro

Un icosaedro si può costruire partendo dal suo duale dodecaedro, come mostrato nella prima figura. Si può comunque ricavare dal cubo tracciando dei segmenti su ogni faccia come mostrato in figura, unendoli in seguito in modo opportuno.

Anche in questo caso il rapporto tra questi segmenti e il lato del cubo è ancora la Sezione Aurea.

 

 

Come già ricordato nel post 45, in uno spazio a quattro dimensioni esistono 6 politopi regolari, mentre da cinque dimensioni in su ne esistono solamente 3 (gli analoghi di cubo, tetraedro regolare e ottaedro regolare).
Naturalmente nello spazio bidimensionale i poligoni regolari sono invece infiniti.


Dimensione
Numero di Politopi
2
Infiniti                poligoni
3
5             solidi platonici
4
6          policori convessi
5
3      5-politopi convessi
6+
3

 
L’animazione seguente è stata presa da:   http://it.wikipedia.org/wiki/Dodecaedro




http://www.qedcat.com/archive/169.html
http://cage.ugent.be/~hs/polyhedra/dodeicos.html
http://users.belgacom.net/gc169763/Platonic_Compounds/Platonic_Compounds.htm
http://it.wikipedia.org/wiki/Lista_dei_politopi_regolari

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