domenica 7 febbraio 2016

203. Fattoriale, Fibonacci e Conigli


                                           Al mondo ci sono tre tipi di persone:  
                                           quelli che sanno contare e quelli che non sanno contare.

                Ian Stewart

1 + 2 + 3 + 4 + ... + N, cioè la somma degli interi da 1 ad N è relativamente facile da calcolare (come visto in 163. Gauss & Faulhaber):       





Se invece proviamo a calcolare il prodotto di 1 x 2 x 3 x 4 x ... x N, otteniamo la sequenza 1, 2, 6, 24, ..., N!. Si definisce Fattoriale il prodotto dei numeri interi positivi minori o uguali ad un dato numero N, e viene indicato con N!.

In questo caso però non è possibile ottenere una formula esatta, ma il matematico scozzese James Stirling (1692-1770) riuscì a ricavare una buona approssimazione:



Si può dimostrare che cresce più velocemente di un esponenziale e meno di nn.

an   Fattoriale   nn

La funzione Gamma di Eulero è una funzione continua, che estende il concetto di fattoriale ai numeri reali



o nel campo dei numeri complessi




















Tornando al Fattoriale, riporto la tabella di Wikipedia con i primi elementi: 



Una notevole coincidenza del Fattoriale di 10 risulta essere:

 
10!  =  6 settimane    (in secondi)
 

Cioè in 6 settimane ci sono esattamente 3.628.800 secondi.

In 1 ora ci sono 3600 secondi e in 1 settimana ci sono 168 ore (24 x 7)

3600 = 4 x 9 x 2 x 5 x 10     e    168 = 3 x 8 x 7

Riordinando i vari fattori abbiamo:  2 x 3 x 4 x 5 x 7 x 8 x 9 x 10  (manca solo il 6).

Quindi se prendiamo 6 settimane abbiamo tutti i valori fino a 10.

Continuando con i valori successivi, 11!  secondi sono più di un anno e 20!  secondi sono superiori a 5 volte l’età dell’Universo.

Come si vede il Fattoriale cresce abbastanza in fretta (o forse l’età dell’Universo espressa in secondi non è poi così elevata); ad esempio il Numero di Avogadro è maggiore di qualche ordine di grandezza e comunque niente in confronto a come crescono i Grandi Numeri.

Ma veniamo ora al tema proposto dai Rudi Mathematici o Rudi Matematici per il Carnevale della Matematica del mese di Febbraio.

La Successione di Fibonacci che abbiamo già visto in alcuni post precedenti (ad es. 89. Ottantanove e successivo) cresce asintoticamente come un esponenziale.

Sequenza di Fibonacci   Fattoriale   nn

 




















Nel 1202 Leonardo da Pisa pubblicò il libro Liber Abbaci o “Libro del calcolo”, un testo di aritmetica che si centrava su calcoli finanziari. Sembra che uno degli esercizi fosse un’invenzione dell’autore e poneva questa domanda: 

Quante coppie di conigli discendono in un anno da una coppia

Riporto di seguito la traduzione che potete trovare nel sito: 


Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno:
per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.
 
Poiché la suddetta coppia si riproduce nel primo mese, devi raddoppiarla: nel primo mese le coppie saranno 2.
Di queste, la prima, nel secondo mese ne genera un'altra: quindi nel secondo mese ci sono 3 coppie.
Di queste, durante il mese, due si riproducono e nel terzo mese, generano 2 coppie: quindi, nel terzo mese, ci sono 5 coppie di conigli.
Di queste, durante il mese, 3 si riproducono e nel quarto mese ci sono 8 coppie.
Di queste, al quinto mese, 5 coppie ne generano altre 5 che aggiunte alle 8 coppie esistenti fanno 13 coppie.
Di queste, le 5 generate nel mese precedente non generano nel sesto mese, ma le altre 8 si riproducono, quindi nel sesto mese ci sono 21 coppie.
Aggiungendo a queste altre 13 coppie generate nel settimo mese, ci saranno in quel mese 34 coppie.
Aggiungendo a queste altre 21 coppie generate nell'ottavo mese, ci saranno in quel mese 55 coppie.
Aggiungendo a queste, altre 34 coppie generate nel nono mese, ci saranno in quel mese 89 coppie.
Aggiungendo nuovamente a queste altre 55 coppie generate, nel decimo ci saranno 144 coppie.
Aggiungendo nuovamente a queste altre 89 coppie generate nell' undicesimo mese, ci saranno in quel mese 233 coppie.
Aggiungendo nuovamente a queste anche 144 coppie generate nell'ultimo mese, ci saranno 377 coppie. 

Tante sono le coppie generate dalla coppia iniziale in quel luogo in capo ad un anno.

Puoi inoltre vedere in questo margine (vedi sotto) come abbiamo operato: abbiamo sommato il primo numero con il secondo, cioè 1 e 2; il secondo con il terzo, il terzo con il quarto, il quarto con il quinto e così via finché abbiamo sommato il decimo con l'undicesimo, cioè 144 con 233 ed abbiamo ottenuto la somma dei suddetti conigli, cioè 377; e così si può fare per un numero infinito di mesi.” 


https://it.wikipedia.org/wiki/Discussione:Successione_di_Fibonacci


Qualche secolo dopo la sua morte, a Leonardo da Pisa fu dato il soprannome Fibonacci, “figlio di Bonaccio”.

La successione, che prende il suo nome, è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono per definizione F1 = 1 e F2 = 1. Tale successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la seguente regola:

Fn = Fn-1 + Fn-2          (per ogni n>2)

Gli elementi Fn sono anche detti numeri di Fibonacci.
I primi termini della successione di Fibonacci sono:
 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

 







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