domenica 21 febbraio 2016

204. Onde gravitazionali


Siamo tutti nei bassifondi, ma qualcuno di noi guarda le stelle

Oscar Wilde, Lady Windermere's Fan


Le onde gravitazionali sono piccole increspature nello spazio-tempo prodotte da oggetti astronomici, con grandi masse che subiscono accelerazioni, e queste increspature si propagano nell’Universo.
Ma quanto piccole sono queste increspature?

Ci sono molte similarità tra elettromagnetismo e gravitazione. Non è quindi sorprendente che, come le equazioni di Maxwell, anche le equazioni di Einstein della teoria della Relatività Generale abbiano una soluzione radiativa.

In questi giorni si parla ovunque, della conferenza stampa congiunta con LIGO ed EGO-VIRGO, dell'11 febbraio 2016





dove è stata confermata l'esistenza delle onde gravitazionali grazie allo studio condotto sull'impatto di 2 buchi neri.

La ragione per cui non è semplice rilevarle nei normali processi atomici è che, secondo la teoria di Einstein, la radiazione gravitazionale viene prodotta in quantità estremamente ridotte. Ad esempio la probabilità che in una transizione tra 2 stati atomici venga emessa radiazione gravitazionale piuttosto che elettromagnetica, è dell’ordine di  GE2/e2  dove G è la costante di gravitazione universale, E è l’energia rilasciata ed e la carica dell’elettrone.

Per E = 1 eV (che corrisponde all’energia di un fotone nel vicino infrarosso) la probabilità è circa 3 x 10-54.

Giusto per farsi un’idea, il numero di atomi nel Sole è circa 1057.

Nelle moderne teorie fisiche, le equazioni di Maxwell ci portano in modo naturale ad un’interpretazione in termini di particelle: il fotone.

In modo analogo le equazioni di Einstein portano al concetto di una particella del campo gravitazionale: il gravitone.

Non linearità - L’analogia, però, non è completa, in quanto ogni onda gravitazionale è essa stessa una distribuzione di energia e momento che contribuisce al campo gravitazionale dell’onda.

Torniamo all’analogia con il campo elettromagnetico: un campo elettrico variabile (ad esempio oscillante) genera un campo magnetico variabile (teorema di Ampere generalizzato), il quale a sua volta genera un campo elettrico variabile (legge di Faraday-Neumann-Lenz) e così via. L’oscillazione si propaga nello spazio.

Questo fu il ragionamento di Maxwell (attorno al 1870) che lo portò a prevedere l’esistenza di un fenomeno allora sconosciuto: le onde elettromagnetiche.

Oltre a prevederne l’esistenza, Maxwell dimostrò che queste onde si propagano nel vuoto con una velocità pari a 300.000 km/s.

In modo analogo, 2 stelle che orbitano intorno al loro comune centro di massa (e che quindi vengono sottoposte ad una continua accelerazione), hanno come risultato di produrre un’onda gravitazionale.

 





La formula derivata dalla Teoria della Relatività Generale per il calcolo della potenza di queste onde è la seguente:

Più in generale, anche un pianeta nella sua rivoluzione intorno ad una stella emette onde gravitazionali, ad esempio sostituendo i valori relativi a Sole e Terra:

M Sole  =  2 x 1030 kg        M Terra  =  6 x 1024 kg        R  =  150,000,000 km

si ottiene il valore di 200 watt. Praticamente niente.

Nel caso rilevato da LIGO l’ipotesi è che si tratti di 2 Buchi Neri, rispettivamente di 29 e 36 masse solari.

 








 

 
Un Buco Nero è definito come l'oggetto le cui dimensioni siano inferiori rispetto al suo raggio di Schwarzschild. La superficie individuata da tale raggio funge per un corpo statico da orizzonte degli eventi. Le onde elettromagnetiche e la materia non possono superare l'orizzonte degli eventi provenendo dall'interno del corpo - da qui il nome di "Buco Nero".
Il raggio di Schwarzschild è un raggio caratteristico utilizzato in fisica per designare la distanza dal centro della distribuzione di massa a simmetria sferica che dà origine alla metrica di Schwarzschild, alla quale si trova, secondo la Relatività Generale, l'orizzonte degli eventi. Il raggio di Schwarschild è proporzionale alla massa del corpo: il Sole ha un raggio di Schwarzschild di circa 3 km, mentre quello della Terra misura 8.87 mm.
Il raggio di Schwarzschild fu introdotto nel 1916 da Karl Schwarzschild, quando scoprì la soluzione esatta per il campo gravitazionale al di fuori di una stella dotata di simmetria sferica (vedi metrica di Schwarzschild, che è una soluzione delle equazioni di campo di Einstein).
 

 

La massa stimata del Buco Nero presente al centro della Via Lattea è di 4,1 milioni di masse solari. Quelli più massicci arrivano a decine di miliardi di masse solari.

I 2 Buchi Neri di 29 e 36 masse solari sono quindi da considerarsi relativamente piccoli.

Le caratteristiche dei 2 Buchi Neri sono:


 M BN1  =  5.8 x 1031 kg              R Schwarzschild =   85.5 km

  M BN2  =  7.2 x 1031 kg              R Schwarzschild =  106.2 km

Nella fase finale della loro vita, quando i 2 Buchi Neri arrivano a distare meno di 5 km, il periodo di rivoluzione è inferiore ad 1 secondo e la potenza emessa, a questa distanza, supera il valore di 1044 watt. In questa fase, di breve periodo, la potenza è in continuo aumento e l’energia liberata è equivalente a quella di circa 3 masse solari (E=mc2), lascio il calcolo per esercizio.

Ricordo solo che l’energia irradiata dal Sole al secondo è:  

E =  3.8 x 1026 J   (mille miliardi di miliardi di volte inferiore).

Le onde gravitazionali sono state rilevate il ​​14 settembre 2015,  da entrambi i rilevatori LIGO (Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory), che si trovano a Livingston (Louisiana) e Hanford  (Washington).  I 2 osservatori sono finanziati dalla National Science Foundation (NSF). Sono stati concepiti, costruiti e sono gestiti da Caltech e MIT. 
La scoperta è stata pubblicata sulla rivista “Physical Review Letters”.
Osservando che la registrazione del segnale a Livingston è avvenuta 7 millisecondi prima di quella a Hanford, si può ipotizzare che la fonte fosse situata nel sud del mondo.



Tutta questa energia emessa, ha permesso di rilevare le onde gravitazionali dopo un viaggio di 1.3 miliardi di anni alla velocità della luce.


L. D. Landau, E. M. Lifsits, Teoria dei Campi, Editori Riuniti, Edizioni Mir, 1976 

Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology, J.Wiley, 1972

 

domenica 7 febbraio 2016

203. Fattoriale, Fibonacci e Conigli


                                           Al mondo ci sono tre tipi di persone:  
                                           quelli che sanno contare e quelli che non sanno contare.

                Ian Stewart

1 + 2 + 3 + 4 + ... + N, cioè la somma degli interi da 1 ad N è relativamente facile da calcolare (come visto in 163. Gauss & Faulhaber):       





Se invece proviamo a calcolare il prodotto di 1 x 2 x 3 x 4 x ... x N, otteniamo la sequenza 1, 2, 6, 24, ..., N!. Si definisce Fattoriale il prodotto dei numeri interi positivi minori o uguali ad un dato numero N, e viene indicato con N!.

In questo caso però non è possibile ottenere una formula esatta, ma il matematico scozzese James Stirling (1692-1770) riuscì a ricavare una buona approssimazione:



Si può dimostrare che cresce più velocemente di un esponenziale e meno di nn.

an   Fattoriale   nn

La funzione Gamma di Eulero è una funzione continua, che estende il concetto di fattoriale ai numeri reali



o nel campo dei numeri complessi




















Tornando al Fattoriale, riporto la tabella di Wikipedia con i primi elementi: 



Una notevole coincidenza del Fattoriale di 10 risulta essere:

 
10!  =  6 settimane    (in secondi)
 

Cioè in 6 settimane ci sono esattamente 3.628.800 secondi.

In 1 ora ci sono 3600 secondi e in 1 settimana ci sono 168 ore (24 x 7)

3600 = 4 x 9 x 2 x 5 x 10     e    168 = 3 x 8 x 7

Riordinando i vari fattori abbiamo:  2 x 3 x 4 x 5 x 7 x 8 x 9 x 10  (manca solo il 6).

Quindi se prendiamo 6 settimane abbiamo tutti i valori fino a 10.

Continuando con i valori successivi, 11!  secondi sono più di un anno e 20!  secondi sono superiori a 5 volte l’età dell’Universo.

Come si vede il Fattoriale cresce abbastanza in fretta (o forse l’età dell’Universo espressa in secondi non è poi così elevata); ad esempio il Numero di Avogadro è maggiore di qualche ordine di grandezza e comunque niente in confronto a come crescono i Grandi Numeri.

Ma veniamo ora al tema proposto dai Rudi Mathematici o Rudi Matematici per il Carnevale della Matematica del mese di Febbraio.

La Successione di Fibonacci che abbiamo già visto in alcuni post precedenti (ad es. 89. Ottantanove e successivo) cresce asintoticamente come un esponenziale.

Sequenza di Fibonacci   Fattoriale   nn

 




















Nel 1202 Leonardo da Pisa pubblicò il libro Liber Abbaci o “Libro del calcolo”, un testo di aritmetica che si centrava su calcoli finanziari. Sembra che uno degli esercizi fosse un’invenzione dell’autore e poneva questa domanda: 

Quante coppie di conigli discendono in un anno da una coppia

Riporto di seguito la traduzione che potete trovare nel sito: 


Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno:
per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.
 
Poiché la suddetta coppia si riproduce nel primo mese, devi raddoppiarla: nel primo mese le coppie saranno 2.
Di queste, la prima, nel secondo mese ne genera un'altra: quindi nel secondo mese ci sono 3 coppie.
Di queste, durante il mese, due si riproducono e nel terzo mese, generano 2 coppie: quindi, nel terzo mese, ci sono 5 coppie di conigli.
Di queste, durante il mese, 3 si riproducono e nel quarto mese ci sono 8 coppie.
Di queste, al quinto mese, 5 coppie ne generano altre 5 che aggiunte alle 8 coppie esistenti fanno 13 coppie.
Di queste, le 5 generate nel mese precedente non generano nel sesto mese, ma le altre 8 si riproducono, quindi nel sesto mese ci sono 21 coppie.
Aggiungendo a queste altre 13 coppie generate nel settimo mese, ci saranno in quel mese 34 coppie.
Aggiungendo a queste altre 21 coppie generate nell'ottavo mese, ci saranno in quel mese 55 coppie.
Aggiungendo a queste, altre 34 coppie generate nel nono mese, ci saranno in quel mese 89 coppie.
Aggiungendo nuovamente a queste altre 55 coppie generate, nel decimo ci saranno 144 coppie.
Aggiungendo nuovamente a queste altre 89 coppie generate nell' undicesimo mese, ci saranno in quel mese 233 coppie.
Aggiungendo nuovamente a queste anche 144 coppie generate nell'ultimo mese, ci saranno 377 coppie. 

Tante sono le coppie generate dalla coppia iniziale in quel luogo in capo ad un anno.

Puoi inoltre vedere in questo margine (vedi sotto) come abbiamo operato: abbiamo sommato il primo numero con il secondo, cioè 1 e 2; il secondo con il terzo, il terzo con il quarto, il quarto con il quinto e così via finché abbiamo sommato il decimo con l'undicesimo, cioè 144 con 233 ed abbiamo ottenuto la somma dei suddetti conigli, cioè 377; e così si può fare per un numero infinito di mesi.” 


https://it.wikipedia.org/wiki/Discussione:Successione_di_Fibonacci


Qualche secolo dopo la sua morte, a Leonardo da Pisa fu dato il soprannome Fibonacci, “figlio di Bonaccio”.

La successione, che prende il suo nome, è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono per definizione F1 = 1 e F2 = 1. Tale successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la seguente regola:

Fn = Fn-1 + Fn-2          (per ogni n>2)

Gli elementi Fn sono anche detti numeri di Fibonacci.
I primi termini della successione di Fibonacci sono:
 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...