mercoledì 19 maggio 2021

254. Radice di 3 e radice di 2

 

 L'esotomia, I'IBM-azione,

 declorodefenilchetone,

 essedi-etilizzazione

 han dato vita alla programmazione.

 x1 = A sen (ωt)

 x2 = A sen (ωt + γ)

 

     Fenomenologia – Franco Battiato


Una coincidenza molto curiosa (sembra che fosse già nota a Platone) è che la somma della radice quadrata di 3 e della radice quadrata di 2 si avvicina molto al valore di pi greco:    3.146264 - 3.141592 = 0.004671

Voglio dare qui 2 “quasi dimostrazioni” di questo:

·      la prima è che la media aritmetica delle aree dell'esagono circoscritto e dell'ottagono inscritto è una buona approssimazione dell'area del cerchio;

·      la seconda è che, utilizzando la formula vista nel post precedente, si ottiene circa 3 + 1/7 che è una nota approssimazione di pi greco.

Alla fine di questo post verrà mostrata un’altra approssimazione che può essere facilmente ricavata utilizzando i prodotti notevoli.

Per la prima delle 2 “quasi dimostrazioni” mi limito a mostrare una figura dove il raggio delle circonferenze è uguale a 1:



Per la seconda viene utilizzata la formula del post precedente, dove l’estrazione della radice quadrata del prodotto di 2 numeri può essere approssimata con la somma di 2 frazioni. 

I valori di x e y sono stati scelti in modo di poter ottenere facili approssimazioni:




Utilizzando infine il noto prodotto notevole  (a+b) x (a-b) = a2 – b2

si ottiene un’ulteriore “notevole” coincidenza, cioè che la differenza della radice quadrata di 3 e della radice quadrata di 2 è una buona approssimazione del reciproco di pi greco:


Riporto infine una migliore approssimazione di pi greco:


Approximations of π - Wikipedia


sabato 15 maggio 2021

253. Radici – parte seconda

Il calcolo della radice quadrata di un numero e’ abbastanza laborioso.

Può comunque essere effettuato semplicemente, senza l’utilizzo di una calcolatrice, utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor della radice di 1+x :



Cominciava così il post 84. Qui di seguito viene mostrato un altro modo per estrarre la radice quadrata che a prima vista può lasciare sorpresi.

Dalla definizione delle medie matematiche (vedi post 200):

Media aritmetica - La media aritmetica viene calcolata sommando tutti i valori a disposizione e dividendo il risultato per il numero dei dati.

Media geometrica - La media geometrica di n termini è la radice n-esima del prodotto degli n valori.

Media armonica - La media armonica di n termini è definita come il reciproco della media aritmetica dei reciproci.



In generale si ha:       M aritmetica > M geometrica > M armonica

Per 2 valori la media geometrica è medio proporzionale tra le altre 2

                        M aritmetica :  M geometrica  =  M geometrica :  M armonica

e quindi

                        (M geometrica)2 =  M aritmetica x M armonica

Se poi i 2 valori sono abbastanza simili, media aritmetica e media armonica differiscono di poco e per la loro media vale

                        M geometrica  ≈  (M aritmetica + M armonica) / 2

Ad esempio con 9 e 10 si ha:


M aritmetica =   9.5

M armonica  =  9.47368

(M aritmetica + M armonica) / 2 =  9.48684

M geometrica = 9.48683


In generale, chiamando i 2 valori x e y, vale

Per l’esempio precedente


Una decisa semplificazione del calcolo.

Se ora effettuiamo le sostituzioni:    

otteniamo la semplice formula:     

Basta solo avere l’accortezza di scegliere per z un numero vicino alla radice che pensiamo di ottenere (non deve essere per forza intero).

Ad es. la radice quadrata di 80 = 8.94427 è circa (9 + 80/9)/2 = 8.94444

Iterando il processo 2 o più volte si riesce ad ottenere la precisione voluta, anche partendo da un valore non scelto con particolare cura.