285. Forme armoniche - crinkle crankle wall

Quando pensiamo ad un muro, la prima cosa che ci viene in mente è una costruzione in mattoni più dritta possibile. Si sa che la linea retta è il percorso minimo tra 2 punti; per cui si decidono gli estremi, si piantano 2 paletti, si tira una corda e si comincia a costruire.

Nella contea di Suffolk, UK, è presente anche un altro esempio di muro:

Il muro crinkle crankle o anche muro a serpentina risale all’Antico Egitto e, tra le altre cose, permette di risparmiare mattoni.

Ha una forma sinusoidale che fornisce stabilità alla struttura senza l’utilizzo di pilastri o contrafforti a distanze regolari.

A parità di altezza, il numero di mattoni utilizzati nel muro è proporzionale al prodotto della sua lunghezza per il suo spessore. Supponiamo che il muro abbia una forma sinusoidale e consideriamo una sezione di muro lunga 2π. Se il muro ha la forma della funzione A sen(x), allora la lunghezza di questa curva si trova calcolando il seguente integrale:

Se A = 0 abbiamo una linea retta, cioè un muro piatto con lunghezza 2π = 6,2832, mentre se A = 1 l’integrale vale 7,6404; il loro rapporto vale circa 1,22, cioè il 22% in più.

Ma la forma sinusoidale irrobustisce notevolmente il muro e permette quindi di utilizzare una sola fila di mattoni invece che 2, dimezzandone lo spessore, cioè lungo il 122% e largo il 50%, in totale si usa solo un numero di mattoni pari al 61%.

 

Finché il valore è inferiore al 100% si risparmierà materiale.

Ma per quale valore dell’ampiezza A si ha il 100% (cioè lo stesso numero di mattoni)?

Con A = 2,6 la lunghezza vale circa 6,2822 (quasi 2π)

A = 1  (in rosso)      -      A = 2,6  (in blu)

Se siete interessati, qui sotto potete trovare una bella lista di “crinkle crankle walls” con relative foto:

Crinkle-Crankle Walls Of Suffolk : EDitorial 4-Jan-2016

Crinkle crankle wall - Wikipedia

Il muro Crinkle-Crankle spiegato | Blog | Proprietà ALCO

Crinkle-Crankle Wall, Reclaimed Bricks in Ipswich | RBC – Reclaimed Brick Company

Crinkle crankle wall calculus

Crinkle crankle wall, Fulbourn © Bob Jones :: Geograph Britain and Ireland

L'incrollabile utilità dei serpeggianti muri d'Inghilterra - Il blog di Jacopo Ranieri

Easton - Google Maps

Out and about looking at Crinkle Crankle Walls / Historical Association

Slangenmuur - Wikipedia

Ha-ha - Wikipedia

crinkle crankle wall math - Cerca con Google

This Wall Uses Fewer Bricks Than A Straight Wall

Zibaldone Scientifico: 284. Prologo: Sinusoidi e forme armoniche

 

Grazie a Giorgio per il suggerimento

 

284. Prologo: Sinusoidi e forme armoniche

Viene considerata “armonica” un’oscillazione pura priva di distorsioni, cioè che vibra a una singola frequenza senza armoniche superiori.

Ad esempio la sinusoide, una funzione periodica oscillante, regolare e continua; nella forma più semplice   y = sen(x)

o in generale  y(t) = A sen(ωt + φ) ;  con ampiezza A, velocità angolare 𝜔 e fase φ.

Sen(x) oscilla tra +1 e -1; partendo da 0, cresce fino a 1, torna a 0, scende a –1, per tornare a 0 in 2π; è periodica e si ripete ogni 2π.

Secondo il teorema di Fourier, qualsiasi onda può essere scomposta come somma di funzioni seno e coseno.

L’area di una semionda è semplice da calcolare: l’integrale di sen(x) è -cos(x), da cui si può ricavare che l’area della semionda vale semplicemente 2.

Questa proprietà è degna di nota, una figura con base irrazionale π e altezza 1 ha come area un valore intero.

In quanto integrale ellittico, non è invece immediato calcolare la lunghezza del grafico, ma si può comunque ricavarla approssimando la funzione con una spezzata, ad esempio il segmento da 0 a 60 gradi ha lunghezza 1,36, mentre da 60 a 90 vale 0,54; in totale 1,9. Ottima approssimazione visto che il valore reale è circa 1,9101.

Per un semiperiodo (da 0 a π) vale circa 3,8202.

In tabella vengono mostrati alcuni esempi dei valori delle aree e delle lunghezze comprese tra limiti espressi in gradi:

Di seguito qualche esempio significativo mostrato in figura:

Zibaldone Scientifico: 285. Forme armoniche - crinkle crankle wall

283. Frazioni continue

La "Introductio in Analysin Infinitorum", pubblicata da Leonhard Euler (Eulero) nel 1748, pone al centro del lavoro l’investigazione dell’infinito, facendo ricorso esclusivamente a risorse algebriche e raccoglie diversi lavori su argomenti riguardanti algebra, funzioni trigonometriche e logaritmiche, serie infinite e frazioni continue.

LaVitaFelice.it

In questo post ci concentreremo su queste ultime ed in particolare su alcune delle tante frazioni continue relative a Pi Greco.

In occasione del Pi Day è usanza parlare del Pi Greco e cose da dire ce ne sono sempre molte.

Per cominciare, sappiamo che è un numero irrazionale, quindi non può essere scritto come quoziente di due interi, ed inoltre, è un numero trascendente (ovvero non è un numero algebrico); ciò significa che non ci sono polinomi con coefficienti razionali di cui Pi è radice; quindi, è impossibile esprimere Pi usando un numero finito di interi, di frazioni e di loro radici.

Ma la cosa incredibile è che le formule esposte da Eulero nella sua pubblicazione hanno un aspetto molto semplice.

Dopo aver discusso di serie infinite e di prodotti di infiniti fattori, affronta l’argomento delle frazioni continue, Eulero scrive:

          357. Chiamo ora funzione continua una frazione di tal genere: il suo denominatore consta di un numero intero e di una frazione, il cui denominatore di nuovo è la somma di un intero e di una frazione che a sua volta è realizzata in maniera simile, ovvero questa caratteristica procede all’infinito oppure si ferma da qualche parte. In tal modo quindi frazione continua sarà l’espressione seguente:

nella prima forma i numeratori delle frazioni sono unità, nella seconda forma invece i numeratori sono numeri qualsiasi.

Per comodità si può anche usare questa forma sintetica:

La frazione regolare (prima forma) per Pi comincia così:

dove non si vede una particolare regolarità nel denominatore e i termini vanno calcolati di volta in volta.

Lord Brouncker (1620-1686) fornisce nel 1659 (senza provarla) questa elegante frazione continua, mostrata di seguito insieme al prodotto infinito di Wallis e alla serie di Leibniz:

Nel 1775 Eulero riesce a dare una prova della sua validità.

Come si può notare, queste formule hanno un aspetto semplice e regolare.

 

1655: John Wallis (1616-1703) trova un prodotto infinito razionale per Pi; William Brouncker (1620-1684) lo converte poi in una frazione continua.

1665: Isaac Newton scopre il calcolo infinitesimale e calcola Pi fino alla 16ª cifra decimale.

1671: James Gregory scopre le serie delle arcotangenti.

1674: Gottfried Leibniz (1646-1716) scopre la serie delle arcotangenti per Pi.

1748: Eulero pubblica l'Introductio in Analysin Infinitorum contenente il cosiddetto Teorema di Eulero e molte serie per Pi.

 

Queste 3 formule viste prima (Wallis, Brouncker, Leibniz) sono profondamente collegate.

Connessione Wallis e Brouncker

Nel 1655, John Wallis pubblica nell'Arithmetica Infinitorum il suo prodotto infinito per 4/Pi, Wallis mostra il risultato a Lord Brouncker, il quale, ispirato dal lavoro dell'amico, trasforma il prodotto in una frazione continua generalizzata. Wallis pubblica la formula di Brouncker nel suo libro, pur non conoscendo l'esatto metodo di derivazione usato da quest'ultimo.

 

Connessione Brouncker e Leibniz

Sebbene la serie di Leibniz (scoperta indipendentemente anche da James Gregory) sia apparsa qualche decennio dopo, esiste un legame matematico diretto:

Trasformazione di Eulero: Leonhard Euler dimostra nel XVIII secolo che la frazione continua di Brouncker può essere derivata direttamente dalla serie di Leibniz applicando un metodo di trasformazione che converte una serie infinita in una frazione continua equivalente.

Entrambe le formule condividono la stessa scarsa efficienza computazionale e convergono quindi molto lentamente; per ottenere 10 cifre decimali, sono necessari circa 5 miliardi di termini sia per la serie di Leibniz che per la frazione continua di Brouncker.

Eulero mostra come trasformare serie infinite in frazioni continue:

Ad esempio:

Riporto anche la notevole formula:

Pi history - MacTutor History of Mathematics

Formula della frazione continua di Eulero - Wikipedia

Mauro Fiorentini - Frazioni continue

Rogers–Ramanujan continued fraction - Wikipedia

Serie (matematica) - Wikipedia

Storia della matematica - Wikipedia

Continued Fraction -- from Wolfram MathWorld

Trott Constants -- from Wolfram MathWorld

List of formulae involving π - Wikipedia

Pi - Wikipedia

L'univers de Pi - Méthodes Analytiques

Continued Fractions - An introduction

Le Frazioni Continue e l’Approssimazione dei Numeri Reali - GameLudere

Zibaldone Scientifico: 121. Irrazionale

Zibaldone Scientifico: 175. Prodotti Infiniti

In viaggio con Pi Greco.

Nel bell'articolo di Thomas J. Osler - LORD BROUNCKER’S FORGOTTEN SEQUENCE OF CONTINUED FRACTIONS FOR PI, vengono mostrate alcune formule ricavate da Brouncker:

271. Terne pitagoriche

Una circonferenza può facilmente essere inscritta in un poligono regolare.

Il più semplice è una circonferenza di raggio 1 (con area Pi greco) in un quadrato di lato 2 :

Altri 2 esempi sono il triangolo equilatero e l’esagono:

I triangoli (rettangoli) i cui lati formano una Terna Pitagorica meritano un discorso a parte.

Una terna pitagorica è una sequenza di tre numeri interi positivi (a, b, c) tali che  a² + b² = c². Il nome deriva dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.

Valgono le seguenti condizioni:

•   i tre numeri NON possono essere tutti pari (altrimenti la terna non sarebbe primitiva)

•       i tre numeri NON possono essere tutti dispari (il quadrato di un dispari è dispari ma la somma di due dispari è pari)

•       NON ci possono essere due numeri pari e uno dispari. Quindi una terna pitagorica primitiva DEVE avere due numeri dispari e uno pari

•      l'ipotenusa DEVE essere dispari (altrimenti il suo quadrato sarebbe la somma di due dispari e quindi divisibile per 2 ma non per 4)

•         dai punti precedenti segue che a+b+c e a+b-c DEVONO essere pari

Prima di proseguire introduco alcune importanti formule.

La formula di Erone consente di calcolare l’area di un triangolo conoscendo solamente la lunghezza dei suoi tre lati:

dove p è il semiperimetro  p = ( a + b + c ) / 2

La misura del Raggio del cerchio inscritto in un triangolo qualsiasi è pari al rapporto tra il doppio dell'area del triangolo e la misura del suo perimetro:  

R = 2A / P

Quindi, per calcolare Perimetro e Area del triangolo e successivamente il Raggio della circonferenza inscritta, bastano i 3 lati del triangolo.

Per un triangolo rettangolo la formula precedente diventa:

R = 2A / P = ab / (a+b+c) o più semplicemente: 

R = ½ (a+b–c)

Elenco qui sotto le terne pitagoriche con ipotenusa minore di 100; in tabella vengono anche riportati il perimetro P e l’area A del triangolo, con il rapporto R = 2A / P                        A014498 - OEIS 

Questo rapporto è un numero naturale, per cui l’area della circonferenza inscritta nel triangolo è un multiplo intero di Pi greco.

Più in generale vale: in ogni triangolo rettangolo il raggio della circonferenza inscritta e i 3 ex-raggi delle 3 circonferenze ex-inscritte sono numeri naturali

R = ½ (a+b–c);   R_a = ½ (a+c–b);   R_b = ½ (b+c–a);   R_c = ½ (a+b+c)

Pitagora   (tra il 580 a.C. e il 570 a.C. – 495 a.C.)

Euclide      (IV secolo a.C. – III secolo a.C.)

Erone        (I secolo d.C.)

Esercizio: per le terne pitagoriche, dimostrare: ab/(a+b+c) = ½ (a+b–c)

Pythagorean Triple -- from Wolfram MathWorld

Pythagorean triple - Wikipedia

Formula di Erone - Wikipedia

Pythagorean Triangles di Waclaw Sierpinski, DOVER

270. Esponenziali complessi

 Nel post 146. Argomenti Complessi sono state riportate alcune formule notevoli che utilizzano i numeri complessi dove l’unità immaginaria i è definita come:    i ²  =  -1

Si è visto anche che elevando i ad i si ottiene:

                                  i ⁱ  =  0.2078795763507619…

E se questo numero reale lo elevassimo ulteriormente a i, con pochi passaggi potremmo ottenere il valore iniziale i cambiato di segno:

(0.20787957…)ⁱ   =   ( i ⁱ )ⁱ   =   i ^i . i  =  i ^-1  =  1 / i  =  - i

Continuando con l’elevamento a potenza avremmo un ciclo di 4 valori che si ripetono:

i         0,2078796…       -i         4,8104773…       e di nuovo     i

Piano complesso di Argand-Gauss

L'elevamento a potenza non è commutativo, ad esempio 2³ è differente da 3²; inoltre, a differenza dell'addizione e della moltiplicazione, non è associativo: 

ad esempio, (2³)² = 8² = 64, mentre 2^{(3^2)} = 2⁹ = 512. 

Cioè, quello che abbiamo detto prima, vale se (((((i^i)^i)^i)^i)^…), ma se invece volessimo calcolare i^(i^(i^(i^(i^…)))), il risultato sarebbe:

0,207879

0,947159 + 0,320764 i

0,050092 + 0,602116 i

0,387166 + 0,030527 i

0,782276 + 0,544607 i

0,142562 + 0,400467 i

0,519786 + 0,118384 i

0,568589 + 0,605078 i

0,242365 + 0,301151 i

0,578489 + 0,231530 i

0,427340 + 0,548231 i

0,330967 + 0,262892 i

0,574271 + 0,328716 i

0,369948 + 0,468173 i

0,400633 + 0,263120 i

…………

Piano complesso di Argand-Gauss

Si può dimostrare che questa serie converge alla soluzione complessa di

z  =  i ^z       con   z  =  0,4382829 + 0,3605924 i  =  re^iϑ

                      r = 0,5675551,   ϑ = 0,6884532

A077589 (parte reale di z)               A077590 (parte immaginaria)

A212479 (valore assoluto di z)        A212480 (argomento di z)

 

Per festeggiare il Pi-day, comincio con ricordare che molte formule contengono sia Pi greco che l’unità immaginaria, l’esempio più noto è l'Identità di Eulero:

e ^iπ  =  -1

e da questa si può subito ricavare          ln (-1)  =  i π

Continuando si ottengono altre interessanti relazioni:

e queste ci aiutano a comprendere perché elevare l’unità immaginaria a sé stessa fornisca un numero reale.

Iterating complex powers

sequences and series - Infinite exponentiation - Mathematics Stack Exchange

Imaginary Powers | Math in Matter

Qui sotto vengono elencati alcuni altri esempi:

sin (i) = 1.1752012i               arcsin (i) = 0.8814i
sinh (i) = 0.8415i                   arcsinh (i) = 1.5708i
cos (i) = 1.5430806                arccos (i) = 1.5708 - 0.8814i
cosh (i) = 0.5403                    arccosh (i) = 0.8814 + 1.5708i
tan (i) = 0.7616i                     arctan (i) = indefinito
tanh (i) = 1.5574i                   arctanh (i) = 0.7854i
csc (i)  = -0.8509i                   arccsc (i) = -0.8814i
csch (i) = -1.1884i                  arccsch (i) = -1.5708i
sec (i) = 0.6481                      arcsec (i) = 1.5708 + 0.8814i
sech (i) = 1.8508                    arcsech (i) = -0.8814 + 1.5708i
cot (i) = -1.3130i                    arccot (i) = indefinito
coth (i) = -0.6421i                  arccoth (i) = -0.7854i

Calcolatrici x numeri complessi:   

http://www.calcinator.com/scicalc.html

Complex number calculator

Per approfondire si possono consultare i link:

• Exponentiation - Wikipedia
• Formula di De Moivre
• Identità di Eulero
• Piano complesso
• Radice dell'unità
• Rappresentazione dei numeri complessi
• Storia dei numeri complessi
• Teorema fondamentale dell'algebra
• Leonhard Euler
• Caspar Wessel
• Jean-Robert Argand
• Carl Friedrich Gauss
• http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html

Abstract -  Complex numbers