domenica 12 febbraio 2017

226. Moltiplicazioni non convenzionali



“Al mondo ci sono 10 tipi di persone:

quelle che capiscono i numeri binari

e quelle che non li capiscono.”  


Ian Stewart

Tempo fa lessi che certe tribù etiopi per moltiplicare due numeri usano operazioni che permettono solo di addizionare, raddoppiare e dimezzare. Con piccole varianti questo tipo di moltiplicazione viene a volte chiamata moltiplicazione russa, o egiziana. Questo metodo non è di intuizione immediata e potete provare a capire come funziona, prima di leggere la seconda parte del post. Come esempio, proviamo a moltiplicare 12 per 15.
Tracciamo quindi due colonne: nella prima colonna scriviamo il primo numero da moltiplicare e lo dividiamo ogni volta per 2 fino ad arrivare a 1 (ignorando il resto se il numero è dispari). Nella seconda colonna scriviamo il secondo numero e, invece di dividere per 2, lo moltiplichiamo ogni volta per 2, fino ad arrivare in corrispondenza dell’1 posizionato sulla prima colonna.
Infine si deve fare la somma dei numeri sulla colonna di destra, scartando quelli che compaiono in corrispondenza di numeri pari sulla colonna di sinistra.


Il risultato è ovviamente 180. Ma perché funziona? Se si usano le potenze di 2 e si scrive 12 come somma di potenze di 2, si trova:  12 = 8 + 4  = 23 + 22.

Così 120 + 60 = (8 + 4) x 15 = 12 × 15. I numeri 15 e 30  della seconda colonna non vanno conteggiati perché corrispondono alle moltiplicazioni di 15 per 1 e per 2, cioè le potenze di 2 che non compaiono nella scomposizione di 12.

Il fatto che il numero sulla colonna sinistra sia dispari o pari (cioè che la divisione dia resto 1 o 0), ha come conseguenza che il numero sulla colonna di destra debba essere considerato o meno come addendo della sommatoria.






martedì 7 febbraio 2017

225. Spirale di Teodoro


Se ad un segmento di lunghezza unitaria continuate ad aggiungere altri segmenti uguali, otterrete, ovviamente, che la lunghezza totale diventa 2, 3, 4, ecc. Se invece i segmenti uguali vengono aggiunti in modo di formare tanti triangoli rettangoli consecutivi, andranno a comporre la Spirale di Teodoro.
Mentre nel caso precedente ottenevamo la sequenza dei numeri interi, adesso abbiamo la sequenza delle radici quadrate dei numeri interi. Ad eccezione dei quadrati perfetti, come ad esempio 4, 9 e 16, sono una sequenza di numeri irrazionali.





Teodoro di Cirene (quinto secolo AC) verificò che 17 è il massimo numero di triangoli che si possono disegnare senza sovrapposizione; continuando con la costruzione della spirale il numero di triangoli in funzione dei giri per una singola, doppia, ecc. esposizione è il seguente: 17, 54, 110, 186, 281, 396, 532, 686, 861, 1055, 1269, 1503, 1757, 2030, 2323, 2636, 2968, 3320, 3692, 4084, 4495, 4927, 5377, 5848, 6338, ....




Con l’aumentare del numero di triangoli, la spirale di Teodoro può essere approssimata dalla spirale di Archimede, dove la distanza tra 2 bracci successivi tende a pi greco al crescere del numero di giri.





Si possono anche costruire spirali, con sequenze di triangoli rettangoli, dove appaiono numeri interi e irrazionali, ma con ruoli invertiti rispetto alla spirale di Teodoro:



I matematici estremi che volessero approfondire questi argomenti, possono leggere il libro di Julian Havil, The Irrationals: A Story of the Numbers You Can't Count On, dove l’Appendice A è dedicata alla spirale di Teodoro, che viene anche riportata nell’illustrazione di copertina: