lunedì 28 aprile 2014

146. Argomenti Complessi

L’estrazione della radice quadrata o il logaritmo di un numero negativo, come anche trovare un angolo il cui coseno sia ad esempio uguale a 2, è impossibile restando nell’ambito dei numeri reali, ma ampliando al campo dei numeri complessi si riesce ad ottenere un risultato.
Un numero complesso è della forma a + i b  (con a parte reale e i b parte immaginaria). Dove  i  (unità immaginaria) è  definita come:    i 2  =  -1.
Nel XVI secolo Girolamo Cardano(1501-1576) e in seguito Rafael Bombelli(1526-1572) utilizzarono i numeri fittizi per le soluzioni di equazioni di terzo e quarto grado.
Come i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, quelli complessi sono in corrispondenza con i punti del piano,   detto piano complesso
(o di Argand-Gauss): al numero complesso  a + i b  si associa il punto di coordinate cartesiane (a,b).
 
Nel post: “14. Potenze Complesse”, sono state riportate le parole di Roger Penrose per ricordare come i i  “la cosa più immaginaria che si potesse ottenere” sia tuttavia un numero reale.
                                  i i  =  0.2078795763507619…

E se questo numero reale lo elevassimo ulteriormente a  i  ?

Per ricavare il valore di ( i i )i  bastano pochi semplici passaggi:


(0.20787957…)i   =   ( i i )i   =   i i x i  =  i -1  =  1 / i  =  - i

cioè siamo tornati al valore iniziale i cambiato di segno.

L’angolo (espresso in radianti) il cui coseno ha il valore 2  è  1,3169579 i.

Qui sotto vengono elencati alcuni altri esempi:

sin (i) = 1.1752012i                         arcsin (i) = 0.8814i
sinh (i) = 0.8415i                             arcsinh (i) = 1.5708i
cos (i) = 1.5430806                         arccos (i) = 1.5708 - 0.8814i
cosh (i) = 0.5403                             arccosh (i) = 0.8814 + 1.5708i
tan (i) = 0.7616i                               arctan (i) = indefinito
tanh (i) = 1.5574i                             arctanh (i) = 0.7854i
csc (i)  = -0.8509i                            arccsc (i) = -0.8814i
csch (i) = -1.1884i                           arccsch (i) = -1.5708i
sec (i) = 0.6481                               arcsec (i) = 1.5708 + 0.8814i
sech (i) = 1.8508                             arcsech (i) = -0.8814 + 1.5708i
cot (i) = -1.3130i                              arccot (i) = indefinito
coth (i) = -0.6421i                            arccoth (i) = -0.7854i

 
ln (-1)  =  3.1415927i  =  (Pi)i          (*)

ln (i)  =  1.5707963i  =  (Pi/2)i         (**)

log (i) = 0.68218818i

i^e = -0.42821977 - 0.90367462i
e^i = 0.54030231 + 0.84147098i

i^(Pi) = 0.22058404 - 0.97536797i
(Pi)^i = 0.41329212 + 0.91059841i

(*) Per chi non l’avesse riconosciuta, l’equazione contenente il  ln(-1)  è ancora   l'Identità di Eulero:
e iπ = -1

I numeri complessi si possono trovare nel teorema dei numeri primi e nella collegata ipotesi di Riemann.
Alcuni frattali sono definiti tramite i numeri complessi, per esempio l'insieme di Mandelbrot e l'insieme di Julia.

In meccanica quantistica il campo dei numeri complessi è una componente essenziale, dato che la teoria è sviluppata in uno spazio di Hilbert a dimensione infinita derivato da C.
L'unità immaginaria compare anche nell'equazione di Schrödinger e nell'equazione di Dirac.

In relatività generale e relatività speciale alcune formule dello spazio metrico diventano più semplici se si suppone la variabile temporale come una variabile immaginaria.

I numeri complessi rendono possibile anche l'analisi di Fourier, che consente di scomporre un generico segnale in una somma di infinite sinusoidi.
 

Calcolatrice x numeri complessi:      http://www.calcinator.com/scicalc.html
 

Per approfondire si possono consultare i link di Wikipedia:

 














http://zibalsc.blogspot.fr/2013/02/115-somma-di-ipersfere.html


Abstract -  Complex numbers

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