71. Superfici Rigate

In geometria una quadrica è una superficie rappresentata da un'equazione polinomiale del secondo ordine. Come ad esempio sfera, ellissoide, cono, paraboloide, iperboloide e cilindro.

Coni, cilindri, e in modo meno evidente, iperboloidi a una falda e paraboloidi iperbolici, si chiamano superfici rigate, poiché si possono ottenere dallo spostamento di una linea retta nello spazio.

Cono e cilindro sono superfici sviluppabili, cioè possono essere “aperte” con un taglio e trasformate in un piano, conservando angoli e lunghezze.

La loro curvatura gaussiana e’ identicamente nulla.

La curvatura gaussiana in un punto x di una superficie contenuta nello spazio euclideo è definita come il prodotto delle due curvature principali in x. La curvatura gaussiana è una curvatura intrinseca: dipende cioè soltanto dalle distanze fra punti all'interno della superficie, e non da come questa sia contenuta nello spazio tridimensionale. Questo fatto importante è asserito dal teorema egregium di Gauss.

Iperboloide a una falda e paraboloide iperbolico hanno invece curvatura negativa.

In generale una superficie rigata ha curvatura intrinseca zero o negativa, mai positiva.

Le due curvature principali per iperboloide e paraboloide sono negative, perché non nulle e di verso opposto.

Le rette che formano una superficie rigata sono anche geodetiche, ma il fatto che ad una superficie rigata appartengano infinite rette non implica che la curvatura debba essere nulla.


http://www.matematita.it/materiale/?p=cat&im=11349
http://www.matematica-fisica.it/superfici_rigate.html
http://www.mathkb.com/Uwe/Forum.aspx/math/40252/Some-questions-about-the-metric-of-hyperbolic-space
http://it.wikipedia.org/wiki/Curvatura
http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/hyperboloid.html
http://universe-review.ca/I15-84-curvature2.jpg
http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/paraboloid.html
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