260. Mezzo chiuso e mezzo aperto

Pubblicato per la prima volta nel 1971 da Lucio Lombardo Radice, La matematica da Pitagora a Newton, è un'introduzione alle diverse concezioni del numero e alle diverse forme di calcolo numerico.

Nel libro sono riportate anche 19 appendici. Ne riporto 2 particolarmente stimolanti. Nell’introduzione dell’autore si può leggere: “Per comprendere la matematica occorre far funzionare il cervello, e questo costa sempre un certo sforzo.”

-       Una porta mezza-chiusa non è una porta mezza-aperta

(Quando un movimento può essere compiuto in due sensi, o «versi» opposti, occorre misurare gli spostamenti con numeri positivi e negativi, se si vogliono evitare errori e assurdità.)

«Dimostriamo» che: chiuso = aperto.

Infatti: una porta mezza-chiusa è la stessa cosa di una porta mezza-aperta.

Perciò:

mezzo-chiuso = mezzo-aperto

raddoppiando:

chiuso = aperto.

Dove sta l'errore? Chiuso è l'opposto di aperto, e mezzo-chiuso è l'opposto di mezzo-aperto. Infatti, il movimento di aprire (una porta) consiste nel farla ruotare di un angolo retto attorno ai suoi cardini in un dato senso, mentre per chiudere la stessa porta bisogna farla ruotare del medesimo angolo, ma nel senso opposto, e perciò le rotazioni necessarie per chiudere a metà, e per aprire a metà, sono uguali come ampiezza, ma hanno segno opposto: 

1/2 chiuso = - (1/2 aperto)

e quindi:

chiuso = - (aperto)

 al posto del segno “meno” si può anche leggere: “opposto di …”.

 

-       Uno è uguale a due, ovvero l'operazione proibita

Il calcolo letterale è una «macchinetta» preziosa, ma qualche volta può scoppiare in mano a chi la maneggia con poca attenzione. Allora ..., attenzione: dimostreremo che uno è uguale a due. 

Supponiamo che sia a = b; perciò, moltiplicando per a da tutt'e due le parti:

a² = ab

togliendo dalle due parti (da tutt'e due i membri dell'uguaglianza), la stessa quantità, b²

a² - b² = a * b – b²

Ma, per una nota regola di calcolo che del resto sì verifica senza difficoltà, la differenza dei quadrati di due numeri è uguale alla loro somma moltiplicata per la loro differenza; perciò: 

a² - b² = (a * b) (a – b) = b (a - b)

Infatti, «mettendo in evidenza» b; a * b - b² = b (a - b). Ora, nell'uguaglianza: 

(a + b) (a – b) = b (a – b),

parrebbe permesso dividere per a - b il primo e il secondo membro; quindi: 

a + b = b

---

Quest’ultimo esempio è preso dal libro di Paul J. Nahin - In Pursuit of Zeta-3

 

-       Uno è uguale a un mezzo

La nota serie ottenuta dalla serie armonica riscritta con segni alterni converge a ln(2).

Nel 1837 il matematico tedesco Bernhard Riemann osservò che una serie armonica con segni alterni può sempre essere riarrangiata per convergere ad ogni valore, positivo o negativo, desiderato.

Riemann series theorem - Wikipedia

Absolute convergence - Wikipedia

Category:Bernhard Riemann - Wikipedia

Più in generale, mediante un'opportuna riorganizzazione dei termini, una serie condizionatamente convergente può essere fatta convergere a qualunque valore desiderato o divergere.

Riemann Series Theorem -- from Wolfram MathWorld

integr-abile.unito.it/Libri/Analisi2/html/v2/analisi2.html

259. Macchina con calcestruzzo

 Il googol è un “grande numero” pari a 10¹⁰⁰ (cioè 1 seguito da 100 zeri)

10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Il termine è stato coniato nel 1938 da Milton Sirotta, nipote di 9 anni di Edward Kasner che successivamente estese il termine al googolplex, definito come 10^googol.

Come paragone, il numero di atomi stimato nell’Universo è “solo” dell’ordine di 10⁸⁰.

Il 1° marzo 2020, in occasione del suo miliardesimo secondo di vita, il designer olandese Daniel de Bruin ha attivato una macchina di sua progettazione che utilizza il principio delle opere di Arthur Ganson (citate sotto) e che permette di “visualizzare un googol”. Ha infatti un rapporto di riduzione pari a 10¹⁰⁰, grazie ad un sistema composto da cento ruote che raggiungono ciascuna una riduzione di 1/10. Il “più grande riduttore di velocità dell’Universo”.

La macchina con riduzione a ingranaggi di Daniel de Bruin è composta da 100 ingranaggi con ciascuna coppia di ingranaggi che ha una riduzione di 1 a 10, quindi per ogni 10 giri del primo, l'ingranaggio successivo fa una sola rotazione e così via. Quindi, affinché l'ultimo ingranaggio possa girare una volta, il primo deve ruotare un numero googol di volte.

La macchina con calcestruzzo (Machine with concrete) di Arthur Ganson è costituita da un treno di ingranaggi azionato da un motore elettrico che finisce in un blocco di cemento. Il treno è composto da 12 viti senza fine e successive ruote dentate, ciascuna vite senza fine fa girare una ruota dentata, l'asse di quest'ultima è collegato alla vite senza fine successiva. L'albero motore porta il primo ingranaggio a vite senza fine, mentre l'albero dell'ultimo ingranaggio è fisicamente incastrato nel blocco di cemento, impedendone la rotazione.

Il rapporto di trasmissione da una ruota dentata alla successiva è 1/50, cioè la successiva gira 50 volte più lentamente della ruota precedente. Con 12 ruote, il rapporto finale è quindi (1/50)¹² = 1/244 140 625 000 000 000 000.

Nella tabella appesa vicino alla macchina viene spiegato come questa riduzione avvenga ingranaggio dopo ingranaggio.

Successivamente Arthur Ganson riprese il concetto di Machine with concrete per progettare Beholding the Big Bang, un treno di ingranaggi azionato da un motore e il cui ultimo elemento, anch'esso congelato nel cemento, impiegherebbe teoricamente 13,7 miliardi di anni per completare una rivoluzione, ovvero l'età dell'Universo. L'opera faceva parte della mostra Imagining Deep Time nel 2014 presso l'American National Academy of Sciences ed è esposta al Museo del MIT.

Nella tabella seguente si vede che per la macchina con riduzione a ingranaggi di Daniel de Bruin se il primo ingranaggio compie un giro ogni 3.16 secondi, possiamo apprezzare la rotazione dei 4 ingranaggi successivi e anche del quinto che compie circa 3 rotazioni in un giorno. Ma dall’ottavo ingranaggio si comincia a parlare di anni, arriviamo al secolo al decimo e a un milione di anni al quattordicesimo! Al diciottesimo abbiamo raggiunto l’ordine di grandezza dell’età dell’Universo. Non è facile, ma potete provare ad immaginare di cosa possa succedere al centesimo ingranaggio …

  ingranaggio           un giro ogni             

1                        3.16                          sec     

2                      31.56                          sec     

3                        5.26                          min    

4                      52.60                          min                 Ora

5                        8.77                          ore     

6                        3.65                          giorni

7                        1.18                          mesi               Mese

8                                               1        anno               Anno

10                                         100        anni                Secolo

11                                      1,000        anni                Millennio

14                               1,000,000        anni                Milione

17                        1,000,000,000        anni                Miliardo

18                      10,000,000,000        anni                Universo

Vediamo ora qualche esempio di Grandi numeri.

Utilizzando questa notazione:

a{1}b = a+b

a{2}b = a*b

a{3}b = a^b

a{4}b = a^^b

a{5}b = a^^^b

a{6}b = a^^^^b

 

Possiamo definire questi Grandi numeri:

googol = 10{3}100

googolplex = 10{3}10{3}100

googolduplex = 10{3}10{3}10{3}100

giggol = 10{4}100

giggolplex = 10{4}10{4}100

giggolduplex = 10{4}10{4}10{4}100

tripent = 5{5}5

trisept = 7{7}7

tridecal = 10{10}10

boogol = 10{100}10

 

 Alcune curiosità

In un anno ci sono circa pi greco x 10⁷ secondi (o anche 75⁴ secondi).

L'età dell'Universo è di circa 15¹⁵ secondi.

Entro il compimento di 84 anni riuscirete a festeggiare:

      1.000 mesi o 4.000 settimane o 30.000 giorni o 2.600.000.000 secondi

                      10! secondi  =  6 settimane

Largest Gear Reduction Machine Features 100 Gears and Takes Eons to Complete One Rotation - Hackster.io

De (très) grands et petits nombres - De la Vie du Monde (histochronum.com)

https://arthur.io/art/arthur-ganson/machine-with-concrete

Beholding the Big Bang - YouTube

https://www.arthurganson.com/concrete-1

https://sites.google.com/site/largenumbers/home/4-1/4-1-2-extended_operators?authuser=0

Zibaldone Scientifico: 162. Grandi Numeri (zibalsc.blogspot.com)

 

258. Pizza al taglio

Come detto nel post 191. La Curvatura degli Ombrelloni, la spiaggia è un buon posto dove riflettere. Questa volta un altro ombrellone mi ha fatto venire in mente un teorema di geometria elementare che dimostra l'uguaglianza di due aree ottenute partizionando opportunamente un cerchio: il teorema della pizza, se una pizza circolare è divisa in 8, 12, 16, ... fette facendo tagli equiangolari, la somma delle aree delle fette pari è uguale a quella delle fette dispari rimanenti.

Primo Teorema. Se due persone tagliano una pizza in 4n + 4 settori equiangolari (con n intero maggiore di zero), centrati in un punto qualsiasi, e si alternano prendendo una fetta a testa, percorrendo la pizza in senso orario o antiorario, entrambi ne mangeranno la stessa quantità.

Inoltre, i settori possono essere raggruppati anche in n + 1 insiemi equiestesi.

Quindi, ad esempio, una pizza tagliata in 8 fette potrà essere suddivisa equamente fra 2 persone, una divisa in 12 fette tra 3 e una divisa in 20 tra 5.

 

Vediamo ora qualche altro teorema (da prendere più o meno sul serio …).

 

Secondo Teorema. L’area totale delle fette verdi è uguale a quella delle fette rosse (a prescindere da dove sia posizionata P). In questo caso non è l’angolo al centro, ma è il bordo di ogni fetta ad essere mantenuto costante.

Nota: è facile verificare che per la figura di destra, che mostra un poligono regolare invece che un cerchio, vale lo stesso teorema, ma in questo caso la dimostrazione è più semplice.

Terzo Teorema. Se si divide la pizza in 6 parti (angoli di 60 gradi), vale sempre la seguente uguaglianza:

Quarto Teorema. Anche per la pizza vale il teorema di Pitagora: l’area della pizza costruita sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree delle pizze costruite sui cateti:

Quinto Teorema. Indicando con Pi il noto 3.14, il volume di una pizza di raggio z e spessore a è dato dall'espressione:

Pi x z x z x a

Sesto Teorema. Si può dividere equamente una pizza quadrata tra due persone tagliandola quattro volte: taglio verticale, orizzontale e diagonale (a 45 gradi) posizionando il punto di incrocio ovunque all'interno del quadrato:

Oltre a questi teoremi, valgono altre considerazioni che potete trovare nei riferimenti riportati sotto.

Teorema della pizza - Wikipedia

Il teorema della pizza - Maurizio Codogno (ilpost.it)

Il teorema della pizza - figlidelvesuvio.blog

La geometria della pizza | matematica & oltre (matematicaoltre.altervista.org)

Square Pizza (maths.org)

http://static.nsta.org/pdfs/QuantumV4N3.pdf

https://mathworld.wolfram.com/PizzaTheorem.html

The Pizza Theorem

proof-of-the-pizza-theorem

257. Biomassa

 Nel 2011 la popolazione mondiale era di 7 miliardi di persone Zibaldone Scientifico: 63. Demografia (zibalsc.blogspot.com), era 6 miliardi nel 2000 e 4 miliardi nel 1975.

Quest’anno si sono superati gli 8 miliardi.

Sulla Terra vivono almeno venti milioni di miliardi di formiche (il numero venti seguito da quindici zeri). La biomassa delle formiche supera quella dei mammiferi e degli uccelli selvatici messi insieme, anche se i ricercatori sottolineano che mentre le formiche che vivono in superficie sono ben rappresentate negli studi, non ci sono molti dati su quelle che vivono nel sottosuolo e sugli alberi. Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS)

Vedi anche formiche - Internazionale 1480 | 30 settembre 2022 – pag.109

Questa stima e quelle che seguono sono spesso indicative, ma possono servire per farsi un’idea.

La massa totale di vita sulla Terra (biomassa) è circa 550 miliardi di tonnellate di carbone; misurare solo la massa di carbone, elemento più abbondante della vita, permette di escludere la massa di acqua, che può variare fortemente da un individuo all’altro.

Contrariamente a ciò che si potrebbe credere, la stragrande maggioranza di questa massa è nel regno vegetale.

I vegetali rappresentano l’82% della massa totale con 450 miliardi di tonnellate di carbone (GtC).

I batteri rappresentano il secondo gruppo di organismi più massiccio: poco meno di 70 GtC.

A seguire i funghi con una massa stimata a 12 GtC.

Infine, archeobatteri e protisti (dei microrganismi) con masse stimate rispettivamente di 7 e 4 GtC.

E gli animali? Solo 2 GtC.

Gli umani rappresentano solo 60 milioni di tonnellate di carbone, cioè circa 1.166 volte meno che i batteri!

Gary Dagorn, Le Monde - 04/01/2018

Qui sotto la ripartizione della biomassa per grandi famiglie di viventi.

Se fossimo in un libro di fantascienza potremmo immaginare un racconto dove i batteri sono i veri dominatori del nostro Pianeta e utilizzano gli esseri umani e gli altri animali per i loro spostamenti.

L’interessante libro di Bill Bryson dedica un capitolo a questi argomenti.

 

Breve storia di (quasi) tutto    -    BILL BRYSON

20. Com’è piccolo il mondo

 

(di batteri) Ne sono stati trovati alcuni in pozze di fango bollente, nella soda caustica, all’interno delle rocce, sui fondali marini, nelle pozze di acqua ghiacciata nelle McMurdo Dry Valleys dell’Antartide, nonché a 11 chilometri di profondità nell’oceano Pacifico, dove la pressione è più di 1000 volte superiore rispetto a quella di superficie: qualcosa che equivale, più o meno, a rimanere schiacciati sotto il peso di 50 jumbo jet. Alcune di queste creature sembrano praticamente indistruttibili. Deinococcus radiodurans è, secondo l’Economist, «quasi immune dalla radioattività». Se si bombarda di radiazioni il suo DNA, i frammenti immediatamente torneranno a ricongiungersi, «come le membra ancora pulsanti di vita di uno zombie da film dell’orrore».

Forse, il caso di sopravvivenza più straordinario trovato finora è quello del batterio Streptococcus rinvenuto sulle lenti sigillate di una macchina fotografica rimasta sulla Luna per due anni. Per farla breve, gli ambienti in cui i batteri non sono preparati a vivere sono ben pochi. «Quando hanno calato delle sonde dentro le bocche idrotermali sui fondali oceanici – luoghi dove la temperatura è così elevata che le sonde stesse cominciano a sciogliersi – hanno scoperto che ci sono batteri anche lì» mi spiegò Victoria Bennett.

Negli anni Venti due scienziati della University of Chicago, Edson Bastin e Frank Greer, annunciarono di aver isolato da pozzi di petrolio alcuni ceppi di batteri che vivevano a una profondità di 600 metri. La notizia fu liquidata come fondamentalmente assurda: non c’era niente di cui vivere a 600 metri – e per cinquant’anni si diede per scontato che i campioni fossero stati contaminati da microbi di superficie. Oggi sappiamo che molti microbi vivono nelle viscere della Terra, e la maggior parte di essi non ha niente a che fare con il mondo organico convenzionale.

Mangiano rocce o, più precisamente, ciò che si trova nelle rocce: ferro, zolfo, manganese eccetera. E respirano sostanze altrettanto strane: ferro, cromo, cobalto e perfino uranio. I loro processi metabolici possono contribuire alla concentrazione di oro, rame e altri metalli preziosi, e forse di giacimenti di petrolio e gas naturale. È stato suggerito che siano state proprio queste creature, con il loro insaziabile appetito, a creare la crosta terrestre.

Oggi alcuni scienziati pensano che sotto i nostri piedi, negli ecosistemi ipogei popolati dai microrganismi litotrofi, possano esserci fino a 200.000 miliardi di tonnellate di batteri. Thomas Gold della Cornell University ha stimato che potrebbe esserci più vita sottoterra che non sopra.

A grandi profondità i microbi diventano più piccoli ed estremamente pigri. I più vivaci si dividono non più di una volta ogni secolo, alcuni addirittura non più di una volta ogni cinque.

 

Qui di seguito un estratto dall’articolo di Thomas Gold

https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC49434/?page=2

 

Lo spazio poroso totale disponibile nelle aree terrestri della Terra fino a 5 km di profondità può essere stimato in 2 x 10²² cm³ (prendendo il 3% di porosità come valore medio). Se materiale della densità dell'acqua riempisse questi spazi porosi, ciò rappresenterebbe una massa di 2 x 10¹⁶ tonnellate. Quale frazione di questo potrebbe essere la massa batterica? Se fosse dell'1% o 2 x 10¹⁴ tonnellate, sarebbe comunque equivalente a uno strato dell'ordine di 1,5 m di spessore di materiale vivente distribuito su tutta la superficie terrestre. Non sappiamo al momento come fare una stima realistica della massa sotterranea di materia vivente, ma tutto ciò che si può dire è che si deve ritenere possibile che essa sia paragonabile a tutta la massa vivente in superficie.

https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC49434/?page=2

Thomas Gold (Vienna 1920 – Ithaca 2004) è stato un astrofisico austriaco, uno dei tre giovani scienziati di Cambridge (Fred Hoyle, Hermann Bondi e Thomas Gold) che nel 1950 proposero la tesi, ora abbandonata, sullo stato stazionario dell'universo. Il suo lavoro ha riguardato sia l'ambito accademico che scientifico, nei campi della biofisica, dell'astronomia, dell'ingegneria aerospaziale e della geofisica.

"Gli idrocarburi non sono biologia rielaborata dalla geologia (come la visione tradizionale imporrebbe) ma geologia rielaborata dalla biologia"

Origine del petrolio

Gold ha raggiunto la fama nel 1992 con l'articolo "The Deep Hot Biosphere" pubblicato in un numero della rivista Proceedings of the National Academy of Sciences, e nel quale ha proposto una controversa teoria sull'origine del petrolio, del carbone e del gas naturale, e viene da alcuni considerato come uno dei più importanti contributi alla teoria del petrolio di origine inorganica. La teoria esposta nell'articolo suggerisce che i giacimenti di idrocarburi (petrolio e gas) e il carbone siano originati dal flusso di gas presente ad estreme profondità, al di sotto della superficie e, quindi, non da combustibili fossili.

Si tratterebbe di materiale primordiale (metano) che viene contaminato da una "biosfera" in profondità fornita da batteri.

Gold ha pubblicato il libro "The Deep Hot Biosphere" nel 1999.

New York sprofonda sotto il suo stesso peso

Modelli geologici della superficie di New York, intrecciati con dati satellitari, suggeriscono che la città sta sprofondando a un ritmo crescente, con alcune aree che affondano in modo ancor più rapido di altre. «Le misurazioni geodetiche mostrano un tasso medio di subsidenza di 1-2 millimetri per anno in tutta la città», spiega Tom Parsons, geofisico della US Geological Survey a capo dello studio pubblicato su «Earth’s Future».

Il gruppo ha calcolato che la massa degli edifici di New York è di 764 miliardi di chilogrammi, con i grattacieli più alti che esercitano la pressione maggiore sul terreno sottostante, ricco di argilla e riempimenti artificiali. Gli scienziati avvertono che la ripetuta esposizione delle fondamenta degli edifici all’acqua di mare, per esempio nel corso di eventi estremi come gli uragani, può compromettere la struttura dei grattacieli, corrodendone l’acciaio e indebolendo il cemento. La subsidenza del terreno col tempo sarà aggravata dalla crisi climatica e dall’urbanizzazione, per via di un incremento dell’estrazione delle acque sotterranee, della crescita della densità edilizia e dell’aumento del livello del mare che implica un crescente rischio di inondazione della zona costiera. (MaMa)

le Scienze - Luglio 2023

Nota: la massa degli edifici di New York è circa il doppio di quella degli umani sulla Terra.

ADUC- Articolo - Nella bilancia del vivente, la scarsa presenza dell’umano.Indagine sulle biomasse

Quanto pesano l’uomo e gli altri esseri sulla Terra - Greenreport: economia ecologica e sviluppo sostenibile

amount of bacteria in the world - Google Search

mass of bacteria on earth - Google Search

https://en.wikipedia.org/wiki/Biomass_(ecology)

https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC49434/