139. Sezione aurea immaginaria

Solo le persone superficiali non giudicano dalle apparenze.
Il mistero del mondo è il visibile, non l’invisibile.

Oscar Wilde    

L’identità diEulero        e^ix = cos x + i sen x

ha come caso particolare la bella formula              e^iπ + 1  =  0

Dalla prima identità si ricava          2i sen x  =  e ^ix  -  e ^-ix  

E posto       x  =  i ln Ф         (dove  Ф  è  la  Sezione Aurea)

si ottiene

(*)    2i sen(i ln Ф) = e ^{- ln Ф}  -  e ^{ln Ф}  = 1/Ф  –  Ф  =  -1

e infine

sen ( i  ln Ф)  =  i / 2          

Similmente si potrebbe anche ricavare:

cos ( 2i  ln Ф)  =  3 / 2

Diversamente dall’identità di Eulero, in questo caso,  l’unità immaginaria  i  (con  i² = -1)  non è messa in relazione con  π , ma con la  Sezione Aurea

                  Ф  =  ½ (1 + √5 )  =  1,6180339887…

 

https://plus.google.com/+AndrewStacey/posts/Yvki1GcVywF#+AndrewStacey/posts/Yvki1GcVywF

http://www.johndcook.com/blog/2014/02/17/imaginary-gold/

http://zibalsc.blogspot.it/2011/12/89-ottantanove.html
http://zibalsc.blogspot.fr/2011/01/14-potenze-complesse.html

http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_complesso
http://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_aurea

http://scienzaemusica.blogspot.it/2013/05/la-sublime-sezione-aurea.html

(*)  Per effettuare l'ultimo passaggio della dimostrazione, basta prendere la definizione di sezione aurea e modificarla:

 

 

da dove emerge che il reciproco è uguale alla radice stessa meno l'unità, mentre per il quadrato questa va aggiunta.

Questo vuol dire che sommando e sottraendo il valore 1 a φ, si modifica solo la parte intera e non quella frazionaria, che rimane inalterata.

Dalle precedenti si può ricavare un’altra interessante formula:

ln(Ф) = arcos (3/2)  / 2i

Abstract - Imaginary Golden Ratio