mercoledì 28 maggio 2014

150. Rottura della Simmetria

“Una cosa è simmetrica se c’è qualcosa che puoi farle in modo che, quando hai finito di farlo, sembra uguale a prima”  
                                                                                         Hermann Weyl


Mordillo

 
"Ad ogni simmetria continua che lascia invariata la densità di lagrangiana corrisponde una corrente conservata"  
                                                                                       Teorema di Noether
 

Il concetto di simmetria ha un’origine antica, risale ai greci che con esso indicavano una nozione legata a quelle di proporzione e armonia.
La seconda accezione, la simmetria come relazione di uguaglianza tra elementi in qualche modo “opposti” corrisponde a una nozione moderna del concetto.
La simmetria può essere formulata in termine d’invarianza di una figura sotto l’azione di operazioni di scambio o trasformazioni. Le operazioni che lasciano invariata una figura soddisfano a condizioni che permettono di definire un gruppo di trasformazioni.
Per oggetti di carattere più astratto, e in particolare alle relazioni matematiche tra grandezze fisiche, la simmetria ha acquistato un ruolo fondamentale.

Ma perché una simmetria a volte si spezza?

Uno spillo posto in verticale su un tavolo è un sistema simmetrico anche se instabile; e quando uno stato è instabile, il sistema degenera verso un altro più stabile e non simmetrico.

In fisica si utilizzano simmetrie “globali” (dove accade in tutti i punti contemporaneamente) e “locali” (nelle quali si può decidere una convenzione per ogni punto dello spazio e per ogni istante di tempo). Il termine “locale” può far pensare a un dominio modesto, ma in realtà il requisito indica un vincolo ben più rigoroso. Le teorie di gauge sono una classe di teorie fisiche di campo basate sull'idea che alcune trasformazioni che lasciano invariata la lagrangiana del sistema (simmetrie) siano possibili anche localmente e non solo globalmente, ma sono le teorie con simmetria “locale” che presentano il maggiore interesse. Il motivo di questo è che per rendere invariante una teoria rispetto a una trasformazione “locale”, si deve aggiungere un nuovo elemento:  una forza.

Le 4 forze fondamentali della natura vengono descritte da teorie di gauge e le loro proprietà da simmetrie che compaiono nelle leggi fisiche.

Tra i princìpi della dinamica e le leggi di conservazione esiste un’importante differenza. Le leggi della dinamica ci danno una descrizione dettagliata dell'evolvere dei processi. Per esempio, se viene assegnata la forza applicata ad un punto materiale e sono note le condizioni iniziali è possibile determinare la traiettoria, l'equazione del moto, velocità, posizione, ecc. in funzione del tempo. Le leggi di conservazione, invece, si “limitano” a precisare quali processi siano possibili in natura.
L’idea di rottura spontanea della simmetria ha rappresentato un cambiamento fondamentale nella fisica teorica ed è alla base dei suoi sviluppi dell’ultimo mezzo secolo (ferromagnetismo, superfluidità, transizioni di fase, superconduttività, unificazione delle interazioni delle particelle elementari, ecc.).
 
In physics, gauge invariance (also called gauge symmetry) is the property of a field theory in which different configurations of the underlying fields — which are not themselves directly observable — result in identical observable quantities. A theory with such a property is called a gauge theory. A transformation from one such field configuration to another is called a gauge transformation.
Modern physical theories describe reality in terms of fields, e.g., the electromagnetic field, the gravitational field, and fields for the electron and all other elementary particles.
A general feature of these theories is that none of these fundamental fields, which are the fields that change under a gauge transformation, can be directly measured. On the other hand, the observable quantities, namely the ones that can be measured experimentally — charges, energies, velocities, etc. — do not change under a gauge transformation, even though they are derived from the fields that do change.

This (and any) kind of invariance under a transformation is called a symmetry.
 
'Introduction to gauge theory', Wikipedia, The Free Encyclopedia





 

mercoledì 21 maggio 2014

149. Scacchi e chicchi di grano

L'incendio suo seguiva ogne scintilla
ed eran tante, che 'l numero loro
più che 'l doppiar de li scacchi s'inmilla.
 
Paradiso, XXVIII, 91-93
Divina Commedia, Dante Alighieri
 

“C'era una volta un ricchissimo Principe indiano.”  Comincia così una vecchia storia sull’origine degli scacchi e in sintesi racconta di come, per noia, lui continuasse a cercare nuovi passatempi, finche’ un mercante, gli consegnò  una tavola con disegnate alternatamente 64 caselle bianche e nere, vi appoggiò sopra 32 figure di legno variamente intagliate e si rivolse al reggente: “O potentissimo Signore, questo gioco di mia modesta invenzione, l'ho chiamato il gioco degli scacchi”".
Entusiasta del regalo, domandò all'inventore di tale sublime gioco quale ricompensa desiderasse.
Il mercante chiese un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, due chicchi per la seconda, quattro chicchi per la terza, e così via fino all'ultima casella (come nella terzina di Dante riportata all’inizio).
Il Principe ordinò che la richiesta fosse esaudita, ma dopo qualche calcolo la meraviglia prese il sopravvento. Il risultato finale, infatti, era uguale alla quantità di grano ottenibile coltivando una superficie più grande della stessa Terra!
La storia ha un epilogo tragico, perché non potendo esaudire la richiesta dell'esoso mercante e per non sottrarsi alla parola data, il Principe diede ordine di giustiziare immediatamente l'inventore degli scacchi.
 

Ma quanti chicchi aveva chiesto il mercante?

1 + 2 + 4 + 8 +…+ 263  =  264 – 1  =  18.446.744.073.709.551.615

Questo numero esprimibile anche come 1,8 x 1019 è un numero molto grande, ma piccolo in confronto al numero di Avogadro (6,022 x 1023).

 
Se una persona avesse cominciato a contare nel momento del Big Bang al ritmo di un numero al secondo a quanto sarebbe arrivato?

In un anno ci sono circa:

60 x 60 x 24 x 365,25  =  31.557.600 secondi   π . 107 sec

In 13,72 miliardi di anni (età dell’Universo stimata) il conteggio sarebbe arrivato a 4,33 x 1017 cioè 1/25 del numero di chicchi della storia precedente. Perché i numeri siano paragonabili, ci si deve accontentare di 59 caselle (5 in meno).
 

Quanto tempo serve per produrre il grano richiesto?

Secondo Wikipedia il 2009 è stato uno dei migliori anni con una produzione di:

680 milioni di tonnellate di grano  =  6,8 x 1014 grammi

Ipotizzando che siano necessari 15 o 20 chicchi per fare un grammo, servono circa 1.500 anni di raccolti.
 

E se mettessimo in fila 18.446.744.073.709.551.615 chicchi di grano?

Riusciremmo a fare andata e ritorno dalla Terra sino a Proxima Centauri (la stella più prossima al sistema solare).

 

http://it.wikipedia.org/wiki/Statistiche_sulla_produzione_mondiale_di_frumento
http://www.francobampi.it/franco/ditutto/scacchi_e_faraone.htm
http://zibalsc.blogspot.it/2010/12/8-anni-luce.html

 

sabato 3 maggio 2014

148. Targa e Provincia

Fino ad una ventina di anni fa era molto semplice capire la provincia di immatricolazione di un autovettura e in ogni agenda veniva riportato l’elenco con le relative sigle.

Oggi la provincia non è più indicata, ma è ancora possibile ricavarla dalla targa?

Infatti dal 2 marzo 1994 scompare la sigla della provincia e la targa si compone di una combinazione di 2 lettere, 3 cifre e altre 2 lettere (Esempio: EM 700 TV).
Sia le lettere sia le cifre seguono un ordine seriale.

Sono utilizzate in totale 22 lettere (quelle dell'alfabeto inglese ad esclusione di I, O, Q e U, che potrebbero creare equivoci) per un totale di:

22 x 22 x 22 x 22 x 1000  =  234.256.000       combinazioni.

In realtà sussiste il rischio che alcune categorie di targhe automobilistiche replichino combinazioni alfanumeriche delle targhe ordinarie. Ad esempio sono state saltate quelle che cominciano con la combinazione EE (targhe dei veicoli degli Escursionisti Esteri); mentre sono state regolarmente sfruttate, generando non pochi problemi per via dell'ambiguità, le targhe con CC (veicoli del Corpo Consolare) o con CD (veicoli dei Corpi Diplomatici).
Si stima che la prima lettera avanzi di 1 unità ogni 4 anni circa, pari a 10.648.000  (22 x 22 x 22 x 1000)  combinazioni:

“AA000AA" uscita nel mese di maggio 1994;
"BA000AA" uscita nel mese di febbraio 1998;
"CA000AA" uscita nel mese di marzo 2002;
"DA000AA" uscita nel mese di febbraio 2006;
"EA000AA" uscita nel mese di gennaio 2010.
"FA000AA" è prevista (un po’ in ritardo) entro il 2014.

L’inizio dell’ultima lettera "WA000AA" è atteso per il 2066.

"XA000AA" è stata dedicata ai rimorchi dal 2013, "YA000AA" alle targhe di polizia locale (2009) e "ZA000AA" alle targhe quadrate sin dall'origine. Sino a 2 mesi fa sono state rilasciate circa 51 milioni di combinazioni numeriche (da AA000AA a ET999ZZ).

Tornando alla domanda iniziale, per ogni combinazione delle 4 lettere viene assegnata una provincia. Ad esempio le 1000 targhe che iniziano per EM e finiscono per GR sono state assegnate a targhe di automobili immatricolate nella provincia di Roma.
 





 

147. Terra-Luna

La massa della Terra è:                 5,9742 × 1024 kg                       (R = 6.373 km),
mentre quella della Luna è:           7,3476 × 1022 kg                       (R = 1.738 km).

La massa della Terra è circa 81,3 volte quella della Luna.

Il Centro di Massa del sistema Terra-Luna si trova a circa 4.670 km dal centro del nostro pianeta, cioè Terra e Luna ruotano intorno ad un punto situato all’interno della Terra (1.700 km al di sotto della superficie terrestre).

Il Centro di Massa è la media pesata sulle masse dei corpi;  per 2 corpi:

XCM = ( XT * MT + XL * ML ) / (MT + ML )

dove:

XCM     = posizione del Centro di Massa
XT        = posizione della Terra
XL        = posizione della Luna
MT       = massa della Terra
ML       = massa della Luna

Prendendo come origine del sistema di coordinate il centro della Terra,   XT = 0
e quindi:

XCM =  ( XL * ML )  /  ( MT + ML )

        =  ( 384.400km * 7,35e22 )  /  ( 5,97e24 + 7,35e22 )

        = 4.670 km        dal centro della Terra.



http://www.ac-ilsestante.it/ASTRONOMIA/i_grandi_astronomi/Newton/animazioni_newton/baricentro/baricentro_newton/baricentro_newton_01_blocco_popup.html

Rispetto agli altri satelliti naturali del sistema solare la Luna è eccezionalmente grande confrontato con il pianeta attorno a cui orbita. Infatti ha un diametro pari a un quarto. Questi valori ne fanno il secondo satellite naturale per le dimensioni relative a quelle del suo pianeta.

Solo Caronte, il satellite del pianeta nano Plutone, ha dimensioni proporzionalmente maggiori, con una massa pari all'11,6% di quella di Plutone.

Il sistema Terra-Luna non può essere considerato un pianeta doppio perché il suo Centro di Massa è interno al pianeta.