Zibaldone Scientifico: 228. Quasi

martedì 4 aprile 2017

228. Quasi

“Fare ricerca significa essere ignoranti per gran parte del tempo e fare spesso errori.”

Yves Meyer

Questo simpatico signore è Yves Meyer, professore emerito all’Ėcole Normale Supérieure Paris-Saclay. In passato è stato insignito del premio Salem (1970) e del premio Gauss (2010); quest’anno l’Accademia norvegese di Scienze e Lettere ha deciso di attribuirgli il Premio Abel per il 2017. Se volete saperne di più, potete leggere qui: http://www.abelprize.no/binfil/download.php?tid=69563

L’interesse di Meyer per quelle che potrebbero essere chiamate le strutture e le regolarità di oggetti matematici complessi lo indusse negli anni Sessanta a elaborare una teoria sui “set di modelli”, ovvero un modo per descrivere sequenze di oggetti che non hanno la regolarità perfetta e la simmetria del reticolo cristallino. Questo lavoro, che prese le mosse dalla teoria dei numeri, fornì la base teorica per i materiali chiamati quasi-cristalli, individuati per la prima volta nel 1982 nelle leghe metalliche, ma prefigurati già nel 1974 dalle tassellature semiregolari identificate dal fisico-matematico Roger Penrose. La scoperta dei quasi cristalli valse nel 2011 a Dan Schechtman, professore di scienze dei materiali, il premio Nobel per la chimica. Meyer continuò a coltivare il suo interesse per i quasi-cristalli, e nel 2010, insieme a Basarab Matei, contribuì a spiegare la loro struttura matematica.

http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1104286996

Ho-Mg-Zn Quasi-cristallo

Potrei proseguire parlando di questi argomenti, ma preferisco concentrarmi sui numeri di Pisot-Vijayaraghavan che possono essere usati per generare quasi-interi e studiare i quasi-cristalli: avendo la proprietà che la potenza n-esima di un numero di Pisot "si avvicina a un intero" al tendere di n ad infinito.

In particolare il numero aureo Φ (phi) possiede questa proprietà e non è difficile dimostrarlo partendo dalla definizione del numero aureo stesso, ottenuto come prima soluzione dell’equazione: X² - X - 1 = 0 , X₁ = 1,6180339887..
La seconda soluzione è invece X₂ = - 0,6180339887.., da cui, per la proprietà delle soluzioni di un’equazione di secondo grado, si ottiene X₁ X₂ = - 1 e X₁ + X₂ = 1 con semplici passaggi algebrici si vede che il generico prodotto (X₁)ⁿ (X₂)ⁿ = (-1)ⁿ mentre la generica somma (X₁)ⁿ + (X₂)ⁿ non è altro che la Sequenza di Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, …) che ha una stretta relazione con la Serie di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Dal fatto che il secondo termine tende a zero, si ha che il numero aureo è un quasi-intero al crescere di n. Nel seguente grafico viene riportata la differenza tra la potenza n-esima del numero aureo e l’intero più vicino:

E non è finita qui. Se mettete i valori assoluti di questi valori in un grafico con ordinate in scala logaritmica:

Per chiarimenti potete consultare il sito di Mauro Fiorentini:

http://www.bitman.name/math/article/791/

La radice quadrata di 5 appare, quasi ovviamente, nei pentagoni e come visto nel numero aureo, ma la cosa matemagica è che le 2 sequenze, che sono messe in relazione dalla radice quadrata di 5 (quindi irrazionale) possano essere entrambe quasi intere e entrambe in stile Fibonacci.