domenica 22 maggio 2016

208. Cicloidi ed acqua


 “La storia non si ripete, ma fa rima”

Mark Twain

Il calcolo delle variazioni è un campo dell'analisi matematica che si occupa della ricerca dei punti estremali (massimi e minimi) dei cosiddetti funzionali, ovvero funzioni il cui dominio è a sua volta un insieme di funzioni, e delle loro proprietà. Alcuni problemi classici sulle curve erano posti in questa forma: un esempio è la curva Brachistocrona (dal greco, brachistos - il più breve, chronos - tempo).

Il teorema chiave del calcolo delle variazioni classico è l'equazione di Eulero-Lagrange, che corrisponde ad una condizione di stazionarietà per il funzionale. Come nel caso della ricerca dei massimi e dei minimi di una funzione, l'analisi delle piccole variazioni attorno a una presunta soluzione porta a una condizione del primo ordine. Non è però possibile dire direttamente se è stato trovato un massimo, un minimo, o nessuno dei due. I metodi variazionali sono importanti in fisica teorica: nella meccanica lagrangiana e nell'applicazione del principio di minima azione alla fisica quantistica.

Questa premessa (tratta da Wikipedia, l'enciclopedia libera) fornisce un’idea dell’ambito matematico in cui è possibile risolvere il problema che vedremo ora, di ricavare una curva che soddisfi determinate condizioni; l’effetto Mpemba, che vedremo in seguito, non ha un legame diretto con questa prima parte, ma, parafrasando la citazione di Mark Twain, in qualche modo fa rima.


Problema della Tautocrona: nel 1659 Christiaan Huygens, incoraggiato da Pascal, aveva dimostrato che la Cicloide è la soluzione al problema di trovare una curva per la quale il tempo impiegato da una particella, soggetta alla sola forza di gravità, a scivolare senza attrito lungo la curva sino al suo punto più basso, è indipendente dal punto di partenza.
Basterebbe questa proprietà a rendere la Cicloide, una curva “celebre”.

In geometria, la Cicloide è una curva piana tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola lungo una retta; ad esempio, il disegno composto dalla valvola della camera d’aria di una bicicletta in movimento.



https://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid


Le dimensioni di una Cicloide sono legate a quella della circonferenza generatrice; per vedere le relazioni esatte potete consultare Wikipedia o Wolfram, per semplicità mi limito al caso di una generatrice di raggio 1:

                 x = t – sin t

                 y = 1 – cos t 
  • l'altezza massima dell'arco è pari a 2;
  • la lunghezza di un arco di cicloide è quattro volte il diametro, ovvero 8;
  • la base sottostante l'arco è pari alla circonferenza, ovvero 2 pi (6,28);
  • l'area compresa fra la cicloide e la base è tre volte l'area del cerchio (3 pi).

Quest’ultima proprietà era già stata ricavata da Galileo Galilei, che, non riuscendo a calcolarla, ritagliò una sagoma di metallo e la pesò, confrontandola poi con la sagoma della circonferenza generatrice.

Problema della Brachistocrona: nel 1696, Johann Bernoulli pose una domanda ai lettori degli Acta Erudidorum. Supponiamo di avere 2 punti A e B, con A posizionato ad una altezza maggiore di B (ma non sulla stessa verticale). L’idea è di costruire uno scivolo curvo da A a B e farci scivolare sopra una biglia. Domanda: quale curva dobbiamo utilizzare, se vogliamo raggiungere B nel minor tempo possibile? Molti matematici furono in grado di fornire la risposta corretta, inclusi Newton, Leibniz, Bernoulli stesso e suo fratello Jakob.

La soluzione, anche in questo caso, è la Cicloide.

La curva che permette alla particella di andare dal punto A al punto B nel minor tempo possibile è chiamata Brachistocrona, ossia (curva del) tempo più corto, e, come anticipato nella premessa, la sua determinazione è un esempio classico di problema che si risolve con il calcolo delle variazioni.
Quando Pascal la ripropose ci fu una vera esplosione di interessi e di studi intorno alla curva, spesso così appassionati e accesi che la Cicloide fu definita “la bella Elena” della geometria. Il pendolo cicloidale è un tipo di moto periodico ideato da Christiaan Huygens intorno al 1659 con una interessante proprietà: le sue oscillazioni sono isocrone indipendentemente dalla loro ampiezza. Questo vale nel caso del pendolo semplice solo per ampiezze abbastanza piccole. Huygens dimostrò invece che un punto materiale che oscilla seguendo una traiettoria cicloidale sotto l'azione della gravità ha un periodo costante che dipende unicamente dalle dimensioni della Cicloide.





Nelle 3 figure (tratte dal video https://www.youtube.com/watch?v=qtpaauuGx-Y) sono presenti 6 curve: 3 di queste (curve 3, 4 e 5) sono archi di Cicloide, mentre le prime 2 hanno una pendenza iniziale maggiore e l’ultima ha pendenza costante (piano inclinato). Inoltre, le palline poste sulle Cicloidi partono da posizioni differenti. Quello che si verifica è che le palline poste sulle 3 Cicloidi arrivano prima (Brachistocrona) e contemporaneamente (Tautocrona).

Non so voi, ma a me il fatto che esista una curva con queste caratteristiche e che si possa ricavarla partendo da semplici presupposti a cui deve soddisfare, riesce sempre a stupirmi; cioè mi sembra controintuitivo il fatto che l’istante di arrivo sia indipendente dal punto di partenza sulla curva. Lo stesso stupore lo provo nel caso dell'effetto Mpemba, riscoperto casualmente nel 1969 dallo studente tanzaniano Erasto Mpemba (in realtà questo effetto venne già descritto nel IV secolo a.C. da Aristotele). E la rima è che, anche qui, si ottiene una cosa poco intuitiva, perché arriva prima chi parte da più lontano (con la distanza misurata dalla differenza di temperatura).

Nel 1963 il tredicenne Mpemba frequentava le scuole medie di Magambe, in Tanzania, quando si accorse di un fenomeno bizzarro, un’anomalia che ancora oggi non è possibile spiegare con certezza: a lui e ai suoi compagni di classe piaceva il gelato, che preparavano in casa con latte portato a bollore, zuccherato e messo poi in freezer dopo averlo fatto raffreddare fino a temperatura ambiente. Nel frigo c’era poco spazio e ogni volta che si faceva il gelato c’era la corsa per infilare i recipienti per primi. Un giorno, mentre aspettava con il pentolino sul fuoco, Mpemba si accorse che un suo compagno stava miscelando lo zucchero nel latte freddo per fare prima. Era rimasto un solo spazio nel freezer e non poteva aspettare. Decise quindi di mettere il latte zuccherato ancora bollente nel frigo, rischiando inoltre di danneggiare l’elettrodomestico. Un’ora e mezzo dopo, i ragazzi trovarono qualcosa di strano: il gelato di Mpemba era pronto, mentre gli altri preparati regolarmente, il liquido non era ancora completamente solidificato.

Effetto Mpemba: si osserva sperimentalmente che, a parità di condizioni, l’acqua calda congela prima di quella fredda.

Attenzione: il fatto che serva meno tempo, non implica che serva meno energia, ma solo che il trasferimento di calore è più efficiente.

Esiste anche l’effetto opposto: effetto Leidenfrost, un fenomeno fisico che si può osservare quando una sostanza liquida entra in contatto con una superficie avente temperatura significativamente più alta del suo punto di ebollizione. Lo strato più esterno del liquido evapora, producendo uno strato gassoso isolante che impedisce al resto di raggiungere rapidamente la temperatura di ebollizione. Se invece la temperatura è elevata ma resta un po' al di sotto del punto di Leidenfrost l'evaporazione avviene quasi istantaneamente. Un effetto simile si ottiene versando dell'azoto liquido su un pavimento a temperatura ambiente.


Sto leggendo l’interessante “Il libro dell’acqua” di Alok Jha che parla di questo effetto e di molte altre cose. Lo citerò ancora in un prossimo post, per ora mi limito a commentare un’altra particolare e fondamentale caratteristica dell’acqua.

Di norma quando si passa dallo stato liquido a quello solido, si ha un aumento del peso specifico. Per l’acqua questo non vale: in altre parole il ghiaccio galleggia.


Cosa accadrebbe se il ghiaccio non galleggiasse?

La risposta è che questa caratteristica unica risulta indispensabile affinché la vita possa evolversi. Se l'acqua fosse come tutte le altre sostanze, il ghiaccio sarebbe più denso dell'acqua liquida e formandosi nei mari e nei laghi affonderebbe. La pressione sui fondali, dove il ghiaccio si andrebbe raccogliendo, contribuirebbe a mantenere allo stato solido quest'acqua e anno dopo anno se ne formerebbe di nuovo in superficie per poi affondare ancora. Il risultato sarebbe un progressivo congelamento dell'acqua presente in molte zone della Terra, con la conseguente distruzione di tutte le forme di vita presenti sui fondali marini. Inoltre, lo strato di ghiaccio superficiale galleggiante, quando si forma, isola l'oceano sottostante prevenendone il congelamento e la grande pressione degli abissi mantiene liquida anche la freddissima acqua sui fondali. In tale modo essa è disponibile come indispensabile solvente per le creature che vi abitano, e la vita che nell’acqua ha avuto origine, nel cosiddetto brodo primordiale, ha potuto proliferare giungendo sino a creature complesse quali siamo noi. La risposta alla domanda iniziale è quindi che se il ghiaccio non galleggiasse, probabilmente non saremmo qui a parlarne.