domenica 12 novembre 2017

237. Kaprekar


Nel 1949 il matematico indiano Dattaraya Ramchandra Kaprekar mise a punto un processo oggi noto come operazione di Kaprekar, che venne pubblicato su Scripta Mathematica (n. 15, 1949).  
Si sceglie un numero di 4 cifre dove le cifre non siano tutte uguali (come 1111, 2222, ecc.) e neanche che 3 siano uguali tra loro e la quarta differisca di un’unità; quindi si ridispongono le cifre per ottenere il numero più grande e quello più piccolo che si possono comporre con queste 4 cifre. Infine, si sottrarre il numero più piccolo dal più grande per ottenere un nuovo numero e si continua ripetendo l'operazione per ogni nuovo numero.
Ad esempio, se si parte da 2017 si ottiene:


7210  -  0127  =  7083

8730  -  0378  =  8352

8532  -  2358  =  6174

7641  -  1467  =  6174


e per ogni numero di 4 cifre si arriva a 6174; tutti i numeri raggiungono 6174 in un massimo di 7 passaggi. La maggior parte dei numeri converge con 3 passaggi:







Deutsch e Goldman (nel 2004) hanno fornito questa interessante rappresentazione grafica:




Una situazione simile si ottiene con 3 cifre, ma in questo caso la chiave a cui si arriva è 495. In funzione del numero di cifre, si possono avere 1, nessuna o più chiavi:



Ma cosa si ottiene cambiando la base del sistema numerico?

Una bella trattazione la potete trovare qui.
Nella seguente tabella vengono riportati alcuni esempi con numeri fino a 5 cifre:



 







 

domenica 5 novembre 2017

236. Lenti sottili


Da Wikipedia, l'enciclopedia libera: “La rifrazione è la deviazione subita da un'onda che ha luogo quando questa passa da un mezzo a un altro nel quale la sua velocità di propagazione cambia. La rifrazione della luce è l'esempio più comunemente osservato, ma ogni tipo di onda può essere rifratta, per esempio quando le onde sonore passano da un mezzo a un altro o quando le onde dell'acqua si spostano a zone con diversa profondità.



Ma perché il raggio non percorre il cammino più corto, cioè la linea retta?

La risposta è semplice: perché così fa prima.

Questo è uno degli aspetti del principio di Fermat. Nel 1650 Pierre Fermat scoprì questo importante principio: Un raggio di luce propagandosi da un punto all’altro segue un percorso tale che il tempo impiegato a percorrerlo confrontato con quello dei percorsi vicini è minimo o massimo o stazionario.



Esistono molti principi variazionali utilizzati per risolvere i problemi scientifici con gli strumenti del calcolo delle variazioni. Ad esempio, il principio di Maupertuis generalizza il principio di Fermat, ma in generale in fisica si possono ricavare dal principio di minima azione, che, a sua volta, ha come formulazione maggiormente significativa il principio variazionale di Hamilton. Provate a cercarli su Wikipedia e vedrete come da poche semplici ipotesi si possano ricavare le leggi della fisica (come richiesto dal principio metodologico noto come Rasoio di Occam).

Tra i tanti, mi piace ricordare questo: Principio di minima curvatura di Hertz - una particella non soggetta a forze esterne si muove lungo la traiettoria di curvatura minima; in altre parole deve essere una geodetica.

Nel caso di una lente ottica, il raggio di luce che l’attraversa subisce una doppia rifrazione, che permette ai raggi che partono da una sorgente puntiforme di focalizzarsi in un secondo punto dalla parte opposta della lente.



Questo è alla base dell’ottica geometrica. Spesso si ha a che fare con sistemi formati da più di una superficie rifrangente: attraverso una lente da occhiali, la luce passa dall’aria al vetro e dal vetro all’aria; in strumenti come il microscopio, il telescopio o la macchina fotografica, esistono quasi sempre più di 2 superfici, che consentono di correggere le aberrazioni cromatiche.

Ma veniamo ora ad un aspetto mai sottolineato abbastanza, cioè che nel caso rappresentato nella figura riportata sopra esistono infiniti percorsi che la luce percorre per andare dalla sorgente al secondo punto.

La luce che percorre la linea retta che passa per i 2 punti, nel percorso all’interno della lente si muove più lentamente, mentre quella che transita vicino al bordo percorre un cammino maggiore. Ebbene, si può verificare che il tempo di percorrenza è lo stesso per tutti i percorsi.

Qui di seguito la dimostrazione che si può trovare nel capitolo 16 del libro:

James Nearing, Mathematical Tools for Physics, Dover ed.