martedì 25 febbraio 2014

139. Sezione aurea immaginaria

Solo le persone superficiali non giudicano dalle apparenze.
Il mistero del mondo è il visibile, non l’invisibile.
Oscar Wilde    

L’identità diEulero        eix = cos x + i sen x

ha come caso particolare la bella formula              e + 1  =  0

Dalla prima identità si ricava          2i sen x  =  e ix  -  e -ix  

E posto       x  =  i ln Ф         (dove  Ф  è  la  Sezione Aurea)

si ottiene
(*)    2i sen(i ln Ф) = e - ln Ф  -  e ln Ф  1/Ф   Ф  =  -1

e infine
sen ( i  ln Ф)  =  i / 2          

Similmente si potrebbe anche ricavare:

cos ( 2i  ln Ф)  =  3 / 2

Diversamente dall’identità di Eulero, in questo caso,  l’unità immaginaria  i  (con  i2 = -1)  non è messa in relazione con  π , ma con la  Sezione Aurea

                  Ф  =  ½ (1 + √5 )  =  1,6180339887…

 
http://www.johndcook.com/blog/2014/02/17/imaginary-gold/

http://zibalsc.blogspot.it/2011/12/89-ottantanove.html
http://zibalsc.blogspot.fr/2011/01/14-potenze-complesse.html

http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_complesso
http://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_aurea

http://scienzaemusica.blogspot.it/2013/05/la-sublime-sezione-aurea.html


(*)  Per effettuare l'ultimo passaggio della dimostrazione, basta prendere la definizione di sezione aurea e modificarla:
 
 {1  \over \phi} = \phi - 1 \qquad \phi^2 = \phi + 1
 
da dove emerge che il reciproco è uguale alla radice stessa meno l'unità, mentre per il quadrato questa va aggiunta.
Questo vuol dire che sommando e sottraendo il valore 1 a φ, si modifica solo la parte intera e non quella frazionaria, che rimane inalterata.

Dalle precedenti si può ricavare un’altra interessante formula:

ln(Ф) = arcos (3/2)  / 2i


Abstract - Imaginary Golden Ratio
 

venerdì 14 febbraio 2014

138. Semplicità

La prima assegnazione dei premi Nobel risale al 1901, quando furono consegnati il premio per la pace, per la letteratura, per la chimica, per la medicina e per la fisica. Non esiste invece il premio per la matematica, e neanche quello per l'economia, ma dal 1969 si assegna il premio per l'economia in memoria di Alfred Nobel da parte della Banca di Svezia, cosa che crea ancora numerosi fraintendimenti.

Sono quattro le persone che hanno finora ricevuto due premi Nobel:

Nell’Official Web Site of the Nobel Prize  si possono trovare biografie, letture e discorsi dei vincitori. 
Nel 1965 il premio Nobel per la fisica venne assegnato a Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger e Richard P. Feynman, per lo sviluppo dell’elettrodinamica quantistica:

"for their fundamental work in quantum electrodynamics, with deep-ploughing consequences for the physics of elementary particles"
 


 
Un’originale definizione della semplicità viene fornita nell'interessante lettura di Feynman:

The Development of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics
 

“Vorrei un attimo fermarmi a questo punto e fare una osservazione.
Il fatto che l’elettrodinamica possa essere scritta in così tanti modi - le equazioni differenziali di Maxwell, vari principi di minimo con i campi, principi di minimo senza campi, tutti modi di tipo diverso, era qualcosa che sapevo ma che non ho mai capito. Mi è sempre sembrato strano che le leggi fondamentali della fisica, una volta scoperte, possano apparire in così tante diverse forme che a prima vista non sembrano identiche, ma che con un po’ di gioco matematico si riesca a mostrarne le relazioni. Un esempio di questo è l’equazione di Schrödinger e la formulazione di Heisenberg della meccanica quantistica. Non so perché sia così, rimane un mistero, ma era qualcosa che avevo imparato dall’esperienza. C’è sempre un altro modo di dire la stessa cosa che non assomiglia affatto al modo in cui l’hai detta prima.
Di questo fatto non conosco la ragione. Penso sia in qualche modo una rappresentazione della semplicità della natura. Una cosa come la legge dell’inverso del quadrato è proprio giusto quella che deve essere rappresentata dalla soluzione dell’equazione di Poisson, che per questo è un modo assai diverso di dire la stessa cosa che non assomiglia affatto al modo in cui l’hai detta prima. Non so cosa significhi il fatto che la natura scelga queste forme curiose, ma forse questo è un modo per definire la semplicità. Forse una cosa è semplice se si può descriverla pienamente in molti modi diversi senza sapere immediatamente che si sta descrivendo la stessa cosa.”

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lunedì 10 febbraio 2014

137. Struttura fine

Nel modello atomico di Bohr (1913) il nucleo, posto al centro dell’atomo, ospita protoni carichi positivamente e neutroni, mentre gli elettroni, carichi negativamente, ruotano intorno a esso entro determinati orbitali in dipendenza dal livello di energia.
Il modello, applicato all'atomo di idrogeno, ottenne risultati coincidenti, entro il margine degli errori, con lo spettro sperimentale.
Il perfezionamento del modello di Bohr, proposto da Sommerfeld e Wilson, contiene tuttavia un aspetto fondamentale, cioè la valutazione degli effetti relativistici.
In particolare, Sommerfeld, valutando il rapporto tra la velocità dell’elettrone sulla prima orbita dell’atomo di Bohr e la velocità della luce nel vuoto introdusse la costante di struttura fine” definita come:

 
Considerazioni dimensionali mostrano che essa è un numero puro, la sola quantità adimensionale che può essere formata con le tre costanti e, h e c (rispettivamente: carica dell’elettrone, costante di Planck e velocità della luce nel vuoto).
Il nome deriva dal fatto che determina la misura della separazione di struttura fine negli spettri atomici.
 
 
 
 
La formula di Sommerfeld è stata ben confermata non solo negli spettri ottici, ma anche nella regione dei raggi X. Poiché la successiva equazione di Dirac per l’elettrone porta esattamente al medesimo risultato, essa fu considerata come una delle poche acquisizioni definitive della fisica. Tuttavia in seguito furono scoperte nuove deviazioni. La tecnica usata in questo caso fu quella delle onde radar, la stessa utilizzata nella risonanza magnetica.
La non spiegata “costante di struttura fine” alfa, caratterizza l’intensità delle interazioni elettromagnetiche nel “Modello standard”, in quanto ne esprime la costante di accoppiamento,

cioè una delle costanti che in fisica sono proprie di ciascuna delle quattro forze o interazioni fondamentali della natura: la forza elettromagnetica, la forza nucleare debole, la forza nucleare forte e la forza di gravità.


Il più noto tentativo fatto per trovare una spiegazione al valore di alfa, fu quello di Arthur Eddington, secondo cui il reciproco di questa costante ha il valore di:
       ½ n2 (n2 + 1) + 1    per  n=4,   cioè esattamente 137.

A dire il vero, partendo da argomenti di estetica e numerologia, Eddington asserì che la costante di struttura fine (che all’epoca era stata stimata avere un valore di circa 1/136) valesse esattamente 1/136. Quando nel 1938 le misure dimostrarono che il valore di questa costante si avvicinava a 1/137, Eddington cercò di spiegarlo collegando 137 al cosiddetto numero di Eddington, una sua stima del numero esatto di elettroni nell'Universo.

La costante di struttura fine ha grande importanza nella teoria filosofico-scientifica del principio antropico; difatti questo parametro adimensionale ha una influenza fondamentale sull'universo. Se il suo valore fosse diverso anche di poco (circa il 10-20%) dal valore noto, l'universo sarebbe diverso da come lo vediamo, e le leggi fisiche non sarebbero come le conosciamo. Per esempio i rapporti tra le forze attrattive e repulsive tra le particelle elementari sarebbero diversi, con conseguenze sulla costituzione della materia e l'attività delle stelle. In un universo con alfa differente noi stessi non potremmo esistere.

La costante di struttura fine sta sempre più acquistando visibilità in cosmologia, in quanto ha un ruolo importante nella teoria delle stringhe e del multiverso.


http://it.wikipedia.org/wiki/Costanti_di_accoppiamento
http://en.wikipedia.org/wiki/Eddington_number
http://www.goodreads.com/quotes/tag/fine-structure-constant
http://storiascienza.scienze.unipd.it//CorsoIngegneria0708/Lectio6_FisNovecentoMQ.pdf


It has been a mystery ever since it was discovered more than fifty years ago, and all good theoretical physicists put this number up on their wall and worry about it.
È stato un mistero fin dalla sua scoperta avvenuta più di cinquanta anni fa e tutti i fisici teorici appendono questo numero sulla parete di fronte a loro e si interrogano sul suo significato.”
                                                                                    Richard Phillips Feynman

 
Bene, credo che attualmente la fisica sia di fronte a due problemi fondamentali. Uno è quello di arrivare a una meccanica quantistica senza infiniti e l’altro è arrivare a una meccanica quantistica che fissi il valore della costante alfa, cioè della carica elettrica elementare.
                                                                                    Paul Adrien Maurice Dirac

 
 “ If alpha [the fine-structure constant] were bigger than it really is, we should not be able to distinguish matter from ether [the vacuum, nothingness], and our task to disentangle the natural laws would be hopelessly difficult. The fact however that alpha has just its value 1/137 is certainly no chance but itself a law of nature. It is clear that the explanation of this number must be the central problem of natural philosophy.”
                                                                                                 Max Born