115. Somma di ipersfere

Questo post partecipa al Carnevale della Matematica #59 ospitato questo mese dal blog Dropsea  e l’argomento essendo nel mese del Pi Day e’ naturalmente Pi.

Il tema del mese precedente era  “Matematica, che palle!” ed è interessante che i 2  argomenti siano così strettamente correlati; dal primo si arriva in modo spontaneo al secondo appena si cerca di misurare l’estensione di questi oggetti in spazi con diverse dimensioni.

Cominciamo con 2 dimensioni.

Il cerchio è l'insieme degli infiniti punti che distano da un punto dato (detto centro) non più di una distanza fissata (detta raggio R).

Una delle prime nozioni scolastiche di Geometria è la formula del calcolo dell’area del cerchio:   Area = p R²

Come esempio si può pensare ad una capra libera di pascolare in un prato che abbia come vincolo una corda legata a un palo, dopo qualche giorno di erba all’interno di una circonferenza con raggio pari alla lunghezza della corda ne rimarrà ben poca.

Lo stesso concetto di luogo di punti che distano non più di una certa distanza, si può estendere in modo analogo a spazi con un altro numero di dimensioni.

 

Nel caso monodimensionale si ha un segmento di lunghezza 2R.

In 3 dimensioni si ottiene la sfera di volume:   Volume  =  4/3 p R³

In generale per le prime 10 dimensioni si ha:

V₁  =    2 R

V₂  =    p R²
V₃  =  4/3  p R³
V₄  =   1/2  p² R⁴
V₅  = 8/15  p² R⁵
V₆  =   1/6  p³ R⁶
V₇  = 16/105  p³ R⁷
V₈  =   1/24  p⁴ R⁸
V₉  =  32/945 p⁴ R⁹
V₁₀ = 1/120  p⁵ R¹⁰

La formula generatrice di tutti i casi è relativamente semplice:

 

 

 

Γ è la funzione gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero, una funzione continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale.

                         Γ(n+1) = n! 

dove  n!  è il fattoriale, il prodotto dei numeri interi da 1 a n:   n! = 1 × 2 × 3 × ... × n.

 
Se nella formula (1) si prendono solo i casi con n pari, si ottiene:

 

V₂ =    p R²
V₄ =    1/2   p² R⁴
V₆ =    1/6   p³ R⁶

V₈  =  1/24  p⁴ R⁸
V₁₀ = 1/120  p⁵ R¹⁰

Con integrazioni successive si possono ricavare un paio di regole che mostrano come ad ogni incremento nel numero di dimensioni l’esponente di R si incrementa di 1 (e questo è banale), mentre l’esponente di pi si incrementa di 1 solo nel passaggio da un numero dispari ad un numero pari di dimensioni, ad esempio da 3 a 4 (meno banale, ma non difficile da dimostrare).

In particolare nel caso di R = 1 le precedenti formule si riducono a:
 

 
 

Semplici no?
 

Ora se sommiamo la serie di valori  V₀ , V₂ , V₄ , V₆ , …
 

Sommatoria V  =  1 + 3,14 + …  = 23,14069..
 

Questo numero non è un numero qualunque!   E lo vedremo subito.
 

Non è difficile verificare che il noto sviluppo in serie:

 

 

coincide con la sommatoria precedente ponendo   x = π

Quindi che lo strano numero 23,14069 si ottiene elevando il numero di Eulero e  (2,7182…) a  pi  (3,1415…)

 ma non è finita qui…

 Come mostrato da Roger Penrose nel capitolo 5 del libro, La strada che porta alla realtà, Rizzoli, 2005:

 Abbiamo infine ottenuto che la sommatoria precedente di volumi di ipersfere di raggio 1 in spazi di dimensione pari converge al valore di  ( 1 / i ⁱ )² 

Questo numero ha anche un nome:  Costante di Gelfond

 

Le considerazioni precedenti si possono trovare anche in Wikipedia:

http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_Gelfond

 

Come appendice ricordo che un caso piu’ generale considerando anche gli spazi con dimensione dispari, lo potete trovare in un precedente post:

http://zibalsc.blogspot.it/2011/08/73-somma-di-ipersfere.html

Nel caso di R = 1 , tale sommatoria vale  44,99931...

http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere 

http://zibalsc.blogspot.it/search/label/pi
http://zibalsc.blogspot.it/2010/12/9-ipersfere.html