L'apparente contraddizione del Paradosso consiste nel considerare l’evoluzione temporale di 2 Gemelli, di cui uno decide di partire per un viaggio interstellare mentre l’altro rimane sulla Terra ad attenderlo.
Per quanto previsto dalla Relatività Ristretta di Albert Einstein, ognuno dei 2 sistemi inerziali in moto uniforme, vede il tempo dell’altro sistema dilatato, cioè gli orologi risultano rallentati.
Nell’esempio riportato in Wikipedia: Paradosso dei gemelli, nell’anno 3000 un’astronave parte per un viaggio sino a Wolf 359, una stella nana rossa situata nella costellazione del Leone a 7,8 anni luce dalla Terra; nell'Universo di Star Trek a Wolf 359 si combatte una fra le maggiori battaglie fra la Federazione Unita dei Pianeti e i Borg. Si suppone che la velocità relativa sia:
v = 240.000 km/s (cioè v = 0,8 c). Per questa velocità si ha:
per cui, secondo la teoria della Relatività Ristretta, nel sistema in movimento il tempo scorre al 60% del tempo nel sistema in quiete. Quindi:
1) nel sistema di riferimento della Terra, l'astronave percorre 8 anni luce in 10 anni nel viaggio di andata, e ne impiega altrettanti nel viaggio di ritorno: essa quindi ritorna sulla Terra nel 3020.
Sull'astronave, però, il tempo scorre al 60% del tempo della Terra, quindi secondo l'orologio dell'astronauta il viaggio dura 6 anni per l'andata e altrettanti per il ritorno: all'arrivo, quindi, il calendario dell'astronave segna l'anno 3012. Il fratello rimasto sulla Terra è perciò, dopo il viaggio, di 8 anni più vecchio del suo gemello;
2) nel sistema di riferimento dell'astronave, per effetto della contrazione relativistica delle lunghezze, la distanza fra la Terra e Wolf 359 si accorcia al 60%, cioè a 4,8 anni luce: alla velocità di 0,8 c, si impiegano quindi, secondo l'orologio dell'astronave, 6 anni per l'andata e 6 per il ritorno, coerentemente con quanto calcolato nel sistema di riferimento della Terra. Ma, poiché in questo sistema di riferimento è la Terra a muoversi, è il suo orologio che va al 60% del tempo dell'astronave: quando l'astronave fa ritorno, sulla Terra sono trascorsi solo 7,2 anni, perciò non è l'anno 3020, ma il 3007, ed è il fratello a bordo dell'astronave ad essere di 4,8 anni più vecchio.
Esistono differenti maniere di risolvere il paradosso, che portano comunque allo stesso risultato, il migliore consiste nell’utilizzare una teoria che non richieda particolari sistemi di riferimento.
Nella teoria della Relatività Generale, tutti i sistemi di riferimento, non solo quelli inerziali, sono ugualmente validi.
Quello che si deve considerare però e’ che l’osservatore sull'astronave, nel momento in cui essa inverte la rotta, avverte un'accelerazione. Nel sistema di riferimento della Terra, si tratta dell'accelerazione che l'astronave sperimenta nel mutare la sua velocità da v a -v; nel sistema di riferimento dell'astronave, essa viene avvertita come un'accelerazione di gravità.
Ora, la Relatività Generale prevede che quanto più intensa è l'accelerazione che un osservatore avverte, tanto più il suo orologio rallenta (red-shift gravitazionale). Durante la fase di accelerazione, quindi, l'osservatore sull'astronave vede l'orologio sulla Terra andare molto più veloce del suo: si può calcolare che in questo tratto l'osservatore "recupera" il tempo perso nei tratti di moto uniforme, e il tempo totale corrisponde a quello Terrestre calcolato nell'altro sistema di riferimento.
Nel libro: “Hermann Bondi, La relatività e il senso comune, Zanichelli, 1965” il paradosso viene così descritto: “… ogni osservatore ha misurato il proprio tempo, e non c’e’ ragione di credere che i due debbano coincidere; non c’e’ tempo universale, perché il tempo e’ una quantità che e’ dipendente dal percorso.
La situazione e’ completamente analoga a quella che si ha viaggiando da una città ad un’altra. La via più breve e’ quella rettilinea; se qualcuno percorre una lunga strada, composta di due tratti rettilinei congiunti da una curva corta e repentina, costui coprirà un percorso più lungo perché nella sua strada c’e’ una curva; ma i chilometri in più non sono nella curva, sono bensì dovuti ad essa.
… C’e’ un solo modo per andare dal primo incontro all’ultimo senza accelerazione, ed e’ il modo inerziale di viaggiare usato dal gemello sulla Terra. Ogni altro modo di andare dal primo all’ultimo incontro implica delle accelerazioni, e ciò significa che il tempo registrato da un tale osservatore e’ inferiore al tempo misurato da quello inerziale.”
Nota: il fatto che nel caso della strada la linea piu’ breve sia la linea retta, mentre per l’osservatore a riposo il tempo piu’ lungo sia la linea retta (geodetica), e’ perché per una geometria bidimensionale la metrica ha segnatura ( + + ), mentre lo spaziotempo quadridimensionale ha segnatura ( + - - - ), cioè le componenti temporale e spaziali hanno segno opposto.
Per chi volesse approfondire si può vedere che per una particella lenta in un campo debole, il coefficiente g00 della metrica deve avere la forma:
Il tempo proprio dt e’ diverso dal tempo universale dt ; per una particella immobile in un campo gravitazionale si ottiene:
Dato che si ha sempre j £ 0 , in un campo gravitazionale gli orologi risultano rallentati.
Nell’esempio precedente, per invertire la sua velocità da v a –v, con un’accelerazione dell’ordine di quella terrestre, l’astronave impiegherebbe un tempo di circa 1 anno.
Durante questo periodo il gemello sull’astronave vedrebbe l’orologio terrestre muoversi tanto più velocemente quanto maggiori sono la distanza dei 2 sistemi di riferimento ed il campo gravitazionale avvertito dall’astronauta.
L. D. Landau, E. M. Lifsits, Teoria dei Campi, Editori Riuniti, Edizioni Mir, 1976
B.A. Dubrovin et al., Geometria contemporanea I, Editori Riuniti, 1987
Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology, J.Wiley, 1972
http://zibalsc.blogspot.com/2010/12/12-postulati-della-relativita-speciale.html
http://ned.ipac.caltech.edu/level5/March01/Carroll3/Carroll4.html
http://users.telenet.be/nicvroom/contest.htm
http://it.wikipedia.org/wiki/Matematica_della_relativit%C3%A0_generale
http://books.google.it/books?id=O5f3L2GfXBQC&printsec=frontcover&dq=relativity&lr=&as_brr=3#PPA15,M1
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http://ned.ipac.caltech.edu/level5/March01/Carroll3/Carroll4.html
http://users.telenet.be/nicvroom/contest.htm
http://it.wikipedia.org/wiki/Matematica_della_relativit%C3%A0_generale
http://books.google.it/books?id=O5f3L2GfXBQC&printsec=frontcover&dq=relativity&lr=&as_brr=3#PPA15,M1
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Ho capito "abbastanza" bene, e sarebbe la prima volta, quindi te ne rendo merito.
RispondiEliminaCiò non ostante, la frase "il tempo totale corrisponde a quello Terrestre calcolato nell'altro sistema di riferimento." mi resta piuttosto oscuro.
Effettivamente non e’ del tutto chiaro… In questo punto si parla del gemello dell’astronave, che ha due orologi:
RispondiEliminail primo dove il tempo scorre in modo uniforme con quello che accade sull’astronave ed il secondo che mostra l’ora dell’osservatore terrestre (questo orologio può essere sincronizzato mediante la frequenza nota di un’onda radio proveniente dalla Terra).
E’ questo secondo orologio che si muove nel modo descritto sopra, ma al suo rientro coinciderà con quello del gemello terrestre.
Complimenti per la spiegazione. Paul Davies ne "i misteri del tempo" utilizza gli stessi parametri dell'esempio di wikipedia, facili per eseguire i calcoli. L'autore considera solo marginalmente l'aspetto riguardante l'accelerazione e mette in maggior risalto l'importanza dell'effetto doppler. Alla fine, con buona pace per davies che si stupisce che ancora oggi ci siano persone che gli chiedono "chiarimennti sull'effetto dei gemelli", il ragionamento pur filando via liscio non convince del tutto.
RispondiEliminaNon sono un fisico, e forse posso apparire presuntuoso, ma non sono d'accordo con la descrizione di Wikipedia (che considero sbagliata in molti punti). Come si fa a dire che quando l'astronave fa ritorno, sulla Terra sono trascorsi solo 7,2 anni? Ne sono trascorsi 20, e gli orologi terrestri lo testimoniano, e Paul Davies ci ricorda che il viaggiatore può rendersene conto già prima di atterrare, semplicemente osservando la Terra con un telescopio.
RispondiEliminaComunemente si afferma che il viaggiatore è stupito di tornare più giovane, ma questo è vero fino ad un certo punto. Se i gemelli non conoscono la relatività, evidentemente trovano entrambi questo fatto incredibile. Ma se conoscono la relatività ristretta (questa è sufficiente, a meno che il viaggiatore non voglia fare i suoi calcoli durante una fase di accelerazione) possono entrambi calcolare le età giuste che avranno al momento dell'arrivo, e questo non contraddice affatto la relatività.
Non esiste un punto di vista del viaggiatore, cioè l'idea che lui sia fermo per tutto il viaggio, mentre la Terra (e per quale legge fisica?) inverte il suo moto e torna indietro. Il viaggiatore tra andata e ritorno vive in due sistemi inerziali diversi, nei quali spiega gli avvenimenti in due modi diversi, e si può considerare fermo solo in una delle due situazioni per volta, o all'andata o al ritorno.
Vorrei suggerirvi la mia ricostruzione del paradosso, nella speranza che qualcuno abbia voglia di leggerla con calma ed eventualmente commentarla: http://www.mauriziocavini.it/Spigolature/Spighe4.html
Rispondere in poche righe non è semplice; io sono un fisico e non un filosofo e il tempo lo considero legato ai processi fisici, per estrapolazione la biologia e la chimica sono “condizionate” dalla variazione dei primi.
EliminaIl libro di Hermann Bondi che cito nel post analizza in modo dettagliato il concetto di tempo relativistico e il paradosso dei gemelli; non cerco di riassumerlo perché’ difficilmente riuscirei ad eguagliare una tale chiarezza. Voglio solo commentare un passaggio del tuo post: “se il viaggio fosse abbastanza lungo, l'influenza del periodo di accelerazione-decelerazione dell'astronave avrebbe un apporto ridotto sugli effetti esaminati…”
Ecco questo è un passaggio cruciale. La Relatività Generale prevede che quanto più intensa è l'accelerazione che un osservatore avverte, tanto più il suo orologio rallenta (red-shift gravitazionale). Più precisamente, il rapporto dei tempi dei 2 osservatori è proporzionale alla differenza di potenziale gravitazionale, che a sua volta è proporzionale al prodotto dell’accelerazione per la distanza; per cui a parità di accelerazione, più distanti sono i gemelli e più veloce sembra avanzare l’orologio del gemello terrestre visto da quello sull’astronave durante l’inversione della velocità. Il bello della teoria della Relatività è che, per quanto ci si provi, non si riescono a trovare “paradossi” a prescindere dal sistema di riferimento utilizzato.
Non conosco abbastanza la Relatività Generale per fare commenti; non dubito che anche all'interno della RG il viaggio sia spiegabile senza paradossi.
EliminaVoglio però tornare sull'esposizione di Wikipedia, che dice "quando l'astronave fa ritorno, sulla Terra sono trascorsi solo 7,2 anni". Immagino sia da interpretare "sarebbero trascorsi 7,2 anni se i calcoli del gemello viaggiatore fossero esatti". Infatti nel momento dell'arrivo nessuno può negare che sulla Terra siano trascorsi 20 anni; sembrerebbe perciò che il viaggiatore non sia in grado di fare i calcoli giusti (questa è una delle cose su cui non sono d'accordo).
Succede però che più avanti la pagina Wikipedia, analizzando le linee di simultaneità con un diagramma di Minkowski, ci spiega che all'inizio del ritorno il viaggiatore è convinto che sulla Terra sia già l'anno D''. Alle lettere non viene assegnato nessun valore, io calcolo D'' come anno 3016.4; comunque l'anno D'' è posteriore all'anno D, che è l'anno simultaneo a B per i terrestri, cioè l'anno 3010. Come fà il viaggiatore a pensare di arrivare a casa nell'anno terrestre 3007.2 se partendo dalla stella ritiene che sulla Terra sia già passato l'anno 3010?
Ritengo che l'impostazione suggerita nella mia pagina, quella di vedere il gemello dell'andata e quello del ritorno come due sistemi inerziali separati, non provoca invece nessun problema di incoerenza, ed è perciò quello che spiega meglio gli avvenimenti. Da quell'impostazione deriva anche che (cito da "La fisica del Novecento" di Franco Selleri): "Tutti gli osservatori concordano sul fatto che quando F e G (nel testo sono i due gemelli) si riuniscono dopo il viaggio spaziale è G ad essere più vecchio, in particolare concordano F e G stessi".
Nel mio ultimo post - 123 - ho cercato di fare chiarezza utilizzando una tabella di marcia e, come suggerito sul tuo sito, per il gemello dell'andata e quello del ritorno due sistemi inerziali separati. Grazie dei commenti.
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