Il calcolo della radice quadrata di un numero e’ abbastanza laborioso.
Può comunque essere effettuato semplicemente, senza l’utilizzo di una calcolatrice, utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor della radice di 1+x :
Ad esempio la radice di 2 può essere calcolata nei pochi seguenti passaggi.
Per prima cosa si moltiplica la radice per 10
cioè il radicando viene moltiplicato per 100.
Il passaggio successivo consiste nel dividere e moltiplicare per un numero intero il cui quadrato differisca di poco da 200 (in questo caso 14 con quadrato 196).
ora utilizzando i primi 2 termini dello sviluppo in serie
infine moltiplicando per 14 e dividendo per 10 si ottiene
che non differisce molto dal valore reale di
L’errore commesso e’ o(x), cioè un infinitesimo di ordine superiore al primo grado, e questo consente sempre una buona approssimazione.
Per la "radice quadrata di 3 = 1,732050... " si ha:
Analogamente per valori di n da 2 a 11 si può calcolare:
n | sqrt reale | 100 n | k | k2 | 1 + x | 1 + x/2 | sqrt | ||
2 | 1,41421356 | 200 | 14 | 196 | 1,0204 | 1,0102 | 1,41428 | ||
3 | 1,73205081 | 300 | 17 | 289 | 1,04 | 1,02 | 1,734 | ||
4 | 2 | ||||||||
5 | 2,23606798 | 500 | 22 | 484 | 1,033 | 1,016 | 2,2352 | ||
6 | 2,44948974 | 600 | 24 | 576 | 1,04 | 1,02 | 2,448 | ||
7 | 2,64575131 | 700 | 26 | 676 | 1,04 | 1,02 | 2,652 | ||
8 | 2,82842712 | 800 | 28 | 784 | 1,0204 | 1,0102 | 2,82856 | ||
9 | 3 | ||||||||
10 | 3,16227766 | 1000 | 31 | 961 | 1,04 | 1,02 | 3,162 | ||
11 | 3,31662479 | 1100 | 33 | 1089 | 1,01 | 1,005 | 3,3165 |
Con un po’ di allenamento questi conti possono tranquillamente essere fatti a mente.
Le radici cubiche possono essere calcolate in modo analogo sostituendo 100 con 1000 e ½ con 1/3.
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