285. Forme armoniche - crinkle crankle wall

Quando pensiamo ad un muro, la prima cosa che ci viene in mente è una costruzione in mattoni più dritta possibile. Si sa che la linea retta è il percorso minimo tra 2 punti; per cui si decidono gli estremi, si piantano 2 paletti, si tira una corda e si comincia a costruire.

Nella contea di Suffolk, UK, è presente anche un altro esempio di muro:

Il muro crinkle crankle o anche muro a serpentina risale all’Antico Egitto e, tra le altre cose, permette di risparmiare mattoni.

Ha una forma sinusoidale che fornisce stabilità alla struttura senza l’utilizzo di pilastri o contrafforti a distanze regolari.

A parità di altezza, il numero di mattoni utilizzati nel muro è proporzionale al prodotto della sua lunghezza per il suo spessore. Supponiamo che il muro abbia una forma sinusoidale e consideriamo una sezione di muro lunga 2π. Se il muro ha la forma della funzione sen(x), allora la lunghezza di questa curva si trova calcolando il seguente integrale:

Se A = 0 abbiamo una linea retta, cioè un muro piatto con lunghezza 2π = 6,2832, mentre se A = 1 l’integrale vale 7,6404; il loro rapporto vale circa 1,22, cioè il 22% in più.

Ma la forma sinusoidale irrobustisce notevolmente il muro e permette quindi di utilizzare una sola fila di mattoni invece che 2, dimezzandone lo spessore, cioè lungo il 122% e largo il 50%, in totale si usa solo un numero di mattoni pari al 61%.

 

Finché il valore è inferiore al 100% si risparmierà materiale.

Ma per quale valore dell’ampiezza A si ha il 100% (cioè lo stesso numero di mattoni)?

Con A = 2,6 la lunghezza vale circa 6,2822 (quasi 2π)

A = 1  (in rosso)      -      A = 2,6  (in blu)

Se siete interessati, qui sotto potete trovare una bella lista di “crinkle crankle walls” con relative foto:

Crinkle-Crankle Walls Of Suffolk : EDitorial 4-Jan-2016

Crinkle crankle wall - Wikipedia

Il muro Crinkle-Crankle spiegato | Blog | Proprietà ALCO

Crinkle-Crankle Wall, Reclaimed Bricks in Ipswich | RBC – Reclaimed Brick Company

Crinkle crankle wall calculus

Crinkle crankle wall, Fulbourn © Bob Jones :: Geograph Britain and Ireland

L'incrollabile utilità dei serpeggianti muri d'Inghilterra - Il blog di Jacopo Ranieri

Easton - Google Maps

Out and about looking at Crinkle Crankle Walls / Historical Association

Slangenmuur - Wikipedia

Ha-ha - Wikipedia

crinkle crankle wall math - Cerca con Google

This Wall Uses Fewer Bricks Than A Straight Wall

Zibaldone Scientifico: 284. Prologo: Sinusoidi e forme armoniche

 

Grazie a Giorgio per il suggerimento

 

284. Prologo: Sinusoidi e forme armoniche

Viene considerata “armonica” un’oscillazione pura priva di distorsioni, cioè che vibra a una singola frequenza senza armoniche superiori.

Ad esempio la sinusoide, una funzione periodica oscillante, regolare e continua; nella forma più semplice   y = sen(x)

o in generale  y(t) = A sen(ωt + φ) ;  con ampiezza A, velocità angolare 𝜔 e fase φ.

Sen(x) oscilla tra +1 e -1; partendo da 0, cresce fino a 1, torna a 0, scende a –1, per tornare a 0 in 2π; è periodica e si ripete ogni 2π.

Secondo il teorema di Fourier, qualsiasi onda può essere scomposta come somma di funzioni seno e coseno.

L’area di una semionda è semplice da calcolare: l’integrale di sen(x) è -cos(x), da cui si può ricavare che l’area della semionda vale semplicemente 2.

Questa proprietà è degna di nota, una figura con base irrazionale π e altezza 1 ha come area un valore intero.

In quanto integrale ellittico, non è invece immediato calcolare la lunghezza del grafico, ma si può comunque ricavarla approssimando la funzione con una spezzata, ad esempio il segmento da 0 a 60 gradi ha lunghezza 1,36, mentre da 60 a 90 vale 0,54; in totale 1,9. Ottima approssimazione visto che il valore reale è circa 1,9101.

Per un semiperiodo (da 0 a π) vale circa 3,8202.

In tabella vengono mostrati alcuni esempi dei valori delle aree e delle lunghezze comprese tra limiti espressi in gradi:

Di seguito qualche esempio significativo mostrato in figura:

Zibaldone Scientifico: 285. Forme armoniche - crinkle crankle wall