Paul J. Cohen, La teoria degli insiemi e l’ipotesi del continuo, Feltrinelli, 1966
“… La ragione principale per cui si accetta l’assioma dell’infinito e’ forse perché sembra assurdo pensare di poter esaurire tutto l’universo aggiungendo solo un insieme alla volta. Analogamente per gli assiomi forti dell’infinito. Ora À1 e’ l’insieme degli ordinali numerabili e questo e’ solo un modo speciale , anzi il modo più semplice di generare un cardinale superiore. L’insieme C, al contrario, e’ generato da un principio totalmente nuovo e più potente, vale a dire l’assioma dell’insieme potenza. Non e’ ragionevole aspettarsi di poter raggiungere C con la descrizione di un grande cardinale costruito con mezzi che derivano dall’assioma di rimpiazzamento. Dunque C e’ piu’ grande di Àn, Àw, Àa con a = Àw ecc. Il punto di vista che presentiamo concepisce C come un insieme incredibilmente ricco che ci e’ dato da un solo forte assioma e che non può mai essere raggiunto da nessun processo di costruzione per aggiunte successive. Forse le generazioni future vedranno il problema con maggior chiarezza e si sapranno esprimere in modo più eloquente.”
«Nessuno potrà cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi.» David Hilbert
«Nessuno potrà cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi.» David Hilbert
L’ipotesi del continuo e’ il primo dei 23 problemi formulati da David Hilbert l'8 agosto 1900 nella sua conferenza al Congresso Internazionale dei Matematici svoltasi a Parigi.
In matematica la cardinalità del continuo è il numero cardinale dell'insieme dei numeri reali R (che, a volte, viene chiamato il continuo). Questo numero cardinale viene spesso indicato con il carattere C.
La famosa ipotesi del continuo afferma che C è anche il primo numero aleph, cioè À1. In altre parole, l'ipotesi del continuo afferma che non esiste un insieme A avente cardinalità strettamente compresa tra À0 e C.
Nel 1938 Gödel dimostra che l'ipotesi del continuo è consistente con la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel; nel 1963 Cohen dimostra che anche la sua negazione lo è.
Nel 1938 Gödel dimostra che l'ipotesi del continuo è consistente con la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel; nel 1963 Cohen dimostra che anche la sua negazione lo è.
Oggi quindi si sa che l'ipotesi del continuo è indipendente dagli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC). Questo significa che sia l'ipotesi del continuo sia la sua negazione sono consistenti con questi assiomi.
http://www.vialattea.net/pagine/infinito/index.html#somm http://www.arrigoamadori.com/cmc/TutorialMatematica/InsiemiFinitiEdInfiniti/InsFinInfin.htm
http://matematica-old.unibocconi.it/hilbert/problemi.htm#dieci
http://it.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
http://it.wikipedia.org/wiki/Cardinalit%C3%A0_del_continuo
http://it.wikipedia.org/wiki/Problemi_di_Hilbert
http://matematica-old.unibocconi.it/hilbert/problemi.htm#dieci
http://it.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
http://it.wikipedia.org/wiki/Cardinalit%C3%A0_del_continuo
http://it.wikipedia.org/wiki/Problemi_di_Hilbert
http://it.wikipedia.org/wiki/Ipotesi_del_continuo
Lucio Lombardo Radice, L’infinito, Ed Riuniti, 2006
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RispondiEliminaOPOTESI DEL CONTINUO
Cantor dimostra che l’insieme dei numeri razionali è numerabile e assegna primo grado di cardinalità , dimostra che l’insieme dei numeri reali non è numerabile e assegna secondo grado di cardinalità.
Ipotesi del continuo:
non esistono sottoinsiemi fra i razionali e i reali
Kurt Gödel prova che l ‘ ipotesi del continuo non può essere dimostrata come falsa.
Paul Cohen prova che l’ ipotesi del continuo non può essere dimostrata come vera.
Lemma:
Ogni numero reale può essere approssimato per eccesso e per difetto da numeri razionali.
Se conveniamo di rappresentare i reali in terne di tre elementi così composto:
1. (Numero razionale minore di R), Numero reale , (Numero razionale maggiore di R)
Questo insieme è numerabile con lo stesso procedimento usato da Cantor per l’insieme dei razionali.
Gli irrazionali sono un sottoinsieme numerabile fra i razionali e i reali e quindi l’ ipotesi del continuo è falsa.
Chi pensate che abbia ragione ?