14. Potenze Complesse

Roger Penrose nel capitolo 5 del suo libro,
La strada che porta alla realtà, Rizzoli, 2005,  cita la grandezza:

                          iⁱ = e^{i lni} = e^{i ½πi} = e^-π/2 = 0,207879…

In effetti esistono infinite soluzioni, che possono essere ottenute da:  e^{-(π/2 + 2kπ)}
con k intero; essendo  e ^2π = 535,491655…, al variare di k per esempio si hanno anche:   0,0003882.. ;  111,3177.. ;  59609,741.. ;  31920519,15..

Come indica Penrose “la cosa più immaginaria che si potesse ottenere” e’ tuttavia un numero reale.

Anche in questo caso i 3 valori:   e , i , π  partecipano alla stessa formula.

Il caso piu' noto dove compaiono contemporaneamente e' l'Identità di Eulero:  

 e ^iπ = -1

considerata da molti la piu' bella formula della matematica.

La  radice i-esima di i      ⁱ√ i  =  4,810477… = e ^π/2
Quest’ultima ha la peculiare proprietà di essere il reciproco di iⁱ

Dall'Identità di Eulero si ricava anche la costante di Gelfond:

   e^π = (-1)^-i  =  23,14069...

Sottraendo π a questo valore si ha un numero "quasi intero":
                                  e^π - π = 19,999099979  (circa 20)


http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_Gelfond

http://zibalsc.blogspot.com/2011/08/73-somma-di-ipersfere.htmlhttp://it.wikipedia.org/wiki/La_strada_che_porta_alla_realt%C3%A0
http://www.ildiogene.it/EncyPages/Ency=Penrose.html
http://www.arrigoamadori.com/cmc/TutorialMatematica/NumeriComplessi/NumeriComplessi.htm
http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html

Murray R. Spiegel,  Variabili Complesse, McGraw-Hill (Schaum), 1994