Nel post 146. Argomenti Complessi sono state riportate alcune formule notevoli che utilizzano i numeri complessi dove l’unità immaginaria i è definita come: i 2 = -1
Si è visto anche che elevando i ad i si ottiene:
i
i = 0.2078795763507619…
E se questo numero reale lo
elevassimo ulteriormente a i, con
pochi passaggi potremmo ottenere il valore iniziale i
cambiato di segno:
(0.20787957…)i = ( i i )i = i i . i = i -1 = 1
/ i = - i
Continuando con l’elevamento a potenza avremmo un ciclo di 4 valori che si ripetono:
i 0,2078796… -i 4,8104773… e di nuovo i
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| Piano complesso di Argand-Gauss |
L'elevamento a potenza non è commutativo, ad esempio 23 è differente da 32; inoltre, a differenza dell'addizione e della moltiplicazione, non è associativo:
ad esempio, (23)2 = 82 = 64, mentre 2(3^2) = 29 = 512.
Cioè,
quello che abbiamo detto prima, vale se (((((i^i)^i)^i)^i)^…), ma se invece
volessimo calcolare i^(i^(i^(i^(i^…)))), il risultato sarebbe:
0,207879
0,947159
+ 0,320764 i
0,050092
+ 0,602116 i
0,387166
+ 0,030527 i
0,782276
+ 0,544607 i
0,142562
+ 0,400467 i
0,519786
+ 0,118384 i
0,568589
+ 0,605078 i
0,242365
+ 0,301151 i
0,578489
+ 0,231530 i
0,427340
+ 0,548231 i
0,330967
+ 0,262892 i
0,574271
+ 0,328716 i
0,369948
+ 0,468173 i
0,400633
+ 0,263120 i
…………
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| Piano complesso di Argand-Gauss |
Si può dimostrare che questa
serie converge alla soluzione complessa di
z
= i z con z = 0,4382829 + 0,3605924 i = reiϑ
r = 0,5675551, ϑ = 0,6884532
A077589 (parte reale di z) A077590 (parte immaginaria)
A212479 (valore assoluto di z) A212480
(argomento di z)
Per festeggiare il Pi-day, comincio con ricordare che molte formule contengono sia Pi greco che l’unità immaginaria, l’esempio più noto è l'Identità di Eulero:
e iπ = -1
e da questa si può subito ricavare ln (-1) = i π
Continuando si ottengono altre interessanti relazioni:
e queste ci aiutano a comprendere perché elevare l’unità immaginaria a sé stessa fornisca un numero reale.
sequences and series -
Infinite exponentiation - Mathematics Stack Exchange
Imaginary Powers | Math in Matter
Qui sotto vengono elencati alcuni altri esempi:
sin (i) =
1.1752012i arcsin
(i) = 0.8814i
sinh (i) =
0.8415i arcsinh
(i) = 1.5708i
cos (i) = 1.5430806 arccos
(i) = 1.5708 - 0.8814i
cosh (i) =
0.5403 arccosh
(i) = 0.8814 + 1.5708i
tan (i) =
0.7616i arctan
(i) = indefinito
tanh (i) =
1.5574i arctanh
(i) = 0.7854i
csc (i) =
-0.8509i arccsc
(i) = -0.8814i
csch (i) = -1.1884i arccsch
(i) = -1.5708i
sec (i) =
0.6481 arcsec
(i) = 1.5708 + 0.8814i
sech (i) =
1.8508 arcsech
(i) = -0.8814 + 1.5708i
cot (i) =
-1.3130i arccot
(i) = indefinito
coth (i) =
-0.6421i arccoth
(i) = -0.7854i
Calcolatrici x numeri
complessi:
http://www.calcinator.com/scicalc.html
Per approfondire si possono consultare i link:
- Exponentiation
- Wikipedia
- Formula di De Moivre
- Identità di Eulero
- Piano
complesso
- Radice dell'unità
- Rappresentazione dei
numeri complessi
- Storia dei numeri
complessi
- Teorema fondamentale
dell'algebra
- Leonhard
Euler
- Caspar Wessel
- Jean-Robert Argand
- Carl Friedrich Gauss
- http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html
Abstract - Complex numbers
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