73. Somma di Ipersfere

La costante di Gelfond:         e^p = (-1)^-i  =  23,14069...  

(già vista in “14. Potenze Complesse”) compariva come settimo problema di Hilbert.

La questione era se fosse o meno un numero trascendente.

In seguito si e' dimostrato che la risposta e’ affermativa (Alexander Gelfond, 1934).

In Wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_di_Gelfond viene mostrata la proprietà geometrica, che vale per ipersfere di raggio unitario e dimensione pari:

partendo dalla formula per il calcolo del Volume V_2n  in 2n dimensioni

V_2n = pⁿ / n!

ricordando lo sviluppo in serie di e^x  e sommando su tutti i valori di n, si ha:

S V_2n = e^p

Più in generale, sostituendo  p  con  p R²   si ottiene:

V_2n = pⁿ R²ⁿ / n! = ( p R² )ⁿ / n!

S V_2n = e^pR²

che indica la somma dei Volumi di tutte le ipersfere di raggio R e dimensione pari.

In modo meno immediato, usando le “belle serie” del doppio fattoriale riportate in:

http://mathworld.wolfram.com/DoubleFactorial.html

si può ricavare la serie che contiene come elementi tutte le formule necessarie per il calcolo dei Volumi delle ipersfere di raggio R in ogni dimensione (!!!):

 

 

dove erf rappresenta la funzione degli errori.

Questa relazione può anche essere verificata mediante Solve My Math:

http://www.solvemymath.com/online_math_calculator/calculus/taylor_series/index.php

Le prime formule per il calcolo di V_n  sono ad esempio:

Weisstein, Eric W. "Taylor Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource:
http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html
http://mathworld.wolfram.com/UnsolvedProblems.html

23 Problemi di Hilbert (Second International Congress in Paris on August 8, 1900)
http://mathworld.wolfram.com/HilbertsProblems.html

http://zibalsc.blogspot.com/2010/12/9-ipersfere.html

http://zibalsc.blogspot.com/2011/01/14-potenze-complesse.html

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