2. Formula di Eulero per i Poliedri

Per un POLIEDRO Semplice (cioe' senza buchi) si ha:        V + F = S + 2

dove V = numero di Vertici;  F = numero di Facce  e  S = numero di Spigoli

Questo vale ad es. per il cubo dove V = 8 ;  F = 6  e  S = 12   per cui:  8 + 6 = 12 + 2

Nel libro: "CHE COS'E' LA MATEMATICA?" R.Courant e H.Robbins - Univ.scient.Boringhieri, si puo' trovare una chiara spiegazione.

Questo si puo' estendere anche a dimensioni superiori, ad es. per un iperpoliedro in 4 dim. si ha:

       V + F = S + C        dove  C = numero di volumi (Cubi)

e per un ipercubo:  V = 16 ;  S = 32 ;  F = 24  e  C = 8    per cui:   16 + 24 = 32 + 8

http://www.matematicamente.it/magazine/dicembre2009/123zucco-politopi.pdf

In generale ponendo N₀ il numero dei vertici,  N₁ degli spigoli,  N₂ delle facce, ecc.,

per un numero d  di dim. pari si ha:   N₀ + N₂ + … + N_d-2 = N₁ + N₃ + … + N_d-1

per un numero di dim.  dispari:          N₀ + N₂ + … + N_d-1 = N₁ + … + N_d-2  + 2  

La formula per il calcolo dei vari componenti e':

dove C(k,d)  e’ il numero di combinazioni di d oggetti presi k a k.

Se si vogliono calcolare le facce quadrate di un cubo, si cerca il numero dei 2-cubi contenuti in un cubo, cioè  si pone  k = 2 , d = 3  e si applica la formula: 

http://www.maecla.it/Matematica/pagine_matematica/geometria.htm

Per costruire Poliedri in carta si veda il sito:
http://www.korthalsaltes.com/
.