Zibaldone Scientifico: 9. Ipersfere

martedì 28 dicembre 2010

9. Ipersfere

Come riportato in wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Ipersfera

Il "volume" di una ipersfera è dato da:

$V_n(r) = \frac{ {\pi^{\frac{n}{2}}}} {\Gamma(\frac{n}{2}+1)} r^n$

dove Γ denota la funzione gamma.
La "area superficiale" dell'ipersfera è invece data da:

$S_n(r) = \frac{ {2\pi^{\frac{n}{2}}}} {\Gamma(\frac{n}{2})} r^{n-1}$

In 3 dimensioni la formula per il calcolo del Volume e':

                                             $V_3(R) = \frac{4}{3} \pi R^3 \,.$

Mentre per la Superficie e':
                                              $S_2(R) = 4\pi R^2 \,$

Per la definizione di derivata, come limite del rapporto incrementale, si ottiene che la Superficie e' la derivata del Volume.
             E questo in ogni dimensione:            D ( V_n ) = S_n-1

Essendo funzioni di potenza, il loro rapporto in ogni dimensione risulta notevolmente semplice:

                                     V_n / S_n-1= R / n           (es. in 3 dim. = R / 3 )

      http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere

Nelle formule per il calcolo di Ipervolumi e Ipersuperfici in 2 e 3 dim. compare π, mentre in 4 e 5 dim. π², in 6 e 7 dim. π³ e così via.

Come esempio per un numero di dimensioni pari si ha: