giovedì 9 maggio 2019

243. Sezione di una spugna di Menger


Nel post: 94.Sezioni di ipercubo si è visto come, sezionando con un piano perpendicolare ad una diagonale maggiore passante per il baricentro del cubo, si possa ottenere un esagono regolare:



Non è intuitivo, ma è facile da comprendere se si pensa che il numero di lati di un esagono è 6 e il numero di facce di un cubo è anch’esso 6.

Qui di seguito saranno presi in considerazione alcuni oggetti frattali, per cui, prima di proseguire, consiglio di leggere il post: 178. Castel del Monte e Frattali e quello pubblicato da Leonardo Petrillo sul “Tamburo Riparato” che questo mese cortesemente ospita il Carnevale della Matematica n.129.
Una spugna di Menger è definita come segue :

1. si parte da un cubo,

2. si divide il cubo in 27 cubi (come per il cubo di Rubik),

3. si rimuove il cubo centrale e i 6 cubi centrali ad ogni faccia (restano così 20 cubi),

4. si ripeterono i passi 1 - 3 su ogni nuovo cubo.

Ad ogni iterazione il numero di buchi aumenta, come mostrato in figura:





 La spugna di Menger è lo spazio che si ottiene come limite di queste operazioni.

Nella sua costruzione del 1926, Karl Menger mostrò che la dimensione di Hausdorff della spugna è log 20 / log 3  approssimativamente 2,726833…

Bene, se prendete una spugna di Menger e la sezionate come il cubo visto sopra, ecco quello che otterrete:



Queste figure sono tratte dal sito di George W. Hart




Nell’articolo Seeing Stars viene mostrato che questa sezione ha dimensione di Hausdorff:


http://blog.zacharyabel.com/2012/02/seeing-stars/




 L'insieme di Cantor, introdotto dal matematico tedesco Georg Cantor, è un sottoinsieme dell'intervallo [0, 1] dei numeri reali, definito in modo ricorsivo, rimuovendo ad ogni passo un segmento aperto centrale da ogni intervallo.


L'insieme di Cantor consiste di tutti i punti dell'intervallo di partenza [0, 1] che non vengono mai rimossi da questo procedimento ricorsivo: in altre parole, l'insieme che rimane dopo aver iterato questo procedimento infinite volte, chiamato suggestivamente polvere di Cantor. Questo insieme è un frattale con dimensione di Hausdorff ln 2 / ln 3 , pari a 0.6309…


Il tappeto di Sierpinski è anch’esso un frattale simile all'insieme di Cantor ottenuto a partire da un quadrato, descritto dal matematico polacco Wacław Sierpiński nel 1916.


La sua dimensione frattale è ln 8 / ln 3 , pari a = 1,8927... (è interessante notare che è uguale a 3 volte la dimensione di Hausdorff dell’insieme di Cantor). Questo valore è leggermente superiore a quello della sezione riportata sopra.

La versione tridimensionale del tappeto è la spugna di Menger.


In figura è riportato un estratto della lista di frattali per dimensione di Hausdorff riportata in Wikipedia:




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martedì 19 marzo 2019

242. Fotoni Virtuali


La legge di gravitazione universale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.


La legge dell'inverso del quadrato si applica generalmente quando una forza, energia o altre grandezze conservative è irradiata ugualmente da una sorgente puntiforme nello spazio tridimensionale. Poiché la superficie di una sfera (che vale 4 π r2 ) è proporzionale al quadrato del raggio, man mano che la radiazione emessa si allontana dalla sorgente, è diffusa su un'area che aumenta in proporzione col quadrato della distanza dalla sorgente e così l'intensità della grandezza irradiata risulta inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla sorgente.
Il teorema di Gauss si applica (e può essere utilizzato) con ogni grandezza fisica che si comporta secondo una legge dell'inverso del quadrato.




Se consideriamo 2 particelle cariche identiche (ad esempio 2 elettroni) si osserva che si respingono e si può pensare che l’interazione avvenga tramite lo scambio di una particella: il fotone. Si dice che vale la seguente analogia: se due persone a bordo di due barche in quiete si scambiano un pallone, le barche si allontaneranno lentamente tra loro. Nel caso dei 2 elettroni l’analogo del pallone è il fotone. Ovviamente è solo un modello e un elettrone in quiete non può emettere un fotone reale, perchè ciò violerebbe la conservazione dell’energia.


Se invece consideriamo un fotone virtuale, questo è creato e distrutto, così non sappiamo se esiste o no; il tempo in cui questo fotone può esistere senza che si possa rivelare si ottiene dal:

 

 







 

Si noti che l’elettrone deve rimanere se stesso, in particolare deve conservare in ogni istante il suo spin semintero (fermione); la particella scambiata deve perciò avere spin intero: è quindi un bosone (i mediatori delle forze hanno spin 1, eccetto il gravitone che ha spin 2). Dal ragionamento fatto in precedenza abbiamo ottenuto che le forze dovute a scambio di particelle virtuali di massa nulla decrescono con la distanza R come F ∼ 1/R2. Viceversa, partendo dall’ipotesi che la dipendenza della forza dalla distanza sia del tipo 1/R2, si ottiene che la particella virtuale scambiata nell’interazione elettromagnetica deve avere massa nulla. La particella virtuale scambiata può perciò essere identificata con il fotone, quanto reale del campo elettromagnetico. Siccome la forza gravitazionale ha una dipendenza dalla distanza del tipo 1/R2, anche il gravitone dovrebbe avere massa nulla.

S. Braibant, G. Giacomelli, M. Spurio - Particelle e interazioni fondamentali - Springer-Verlag Italia




La legge di Newton può essere ricavata anche dalle equazioni del campo di Einstein, qui di seguito viene riportato un estratto del libro :

L. D. Landau, E. M. Lifsits, Teoria dei Campi, Editori Riuniti, Edizioni Mir, 1976

 
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sabato 2 marzo 2019

241. Quiz


Avete presente quei portatovaglioli ottenuti praticando un buco cilindrico in modo concentrico in una sfera?
Ecco, quello che vedremo adesso riguarda questo tipo di oggetti, ma arriveremo ad un risultato decisamente controintuitivo.

Enunciato del problema: “calcolare il volume della parte di solido rimanente in una sfera dopo aver scavato un buco cilindrico concentrico alla sfera stessa; l’unico dato noto è che l’altezza h dell’anello vale 6 cm”


Avere solo il valore dell’altezza, sembra non sufficiente, ma seguendo la dimostrazione che è possibile trovare in Wikipedia:



ci si rende subito conto che nella formula finale, il raggio R non appare   e il fatto controintuitivo è che il volume non dipende dalle dimensioni della sfera (ovvero, dal suo raggio), ma solo dall'altezza del solido risultante!






Guardando attentamente la formula, ci si rende conto che questa è anche il volume di una sfera di raggio h/2, che corrisponde al particolare caso per cui il diametro del foro si riduce a zero.



Risposta: per ogni diametro il Volume  =  4/3 Pi Greco R3  =  36 Pi Greco




 
Il volume di un anello cilindrico di altezza h, raggio esterno R e raggio interno uguale a quello del portatovagliolo,  è in proporzione 3 : 2 con quello precedente, mentre le 2  superfici esterne di cilindro e portatovagliolo sono uguali. Ma questo lo abbiamo già visto nel precedente post di diversi anni fa … 7.Sfera + Cono = Cilindro





Weisstein, Eric W. "Spherical Ring." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/SphericalRing.html



Un approfondimento si può trovare nel sito dell’Università’ di Ferrara:



http://museoarchimede.altervista.org/sito/archimedeelageometria/page-4.html

http://www.ripmat.it/mate/g/gk/gkecc.html

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martedì 19 febbraio 2019

240. Pi Greco e Spazi Curvi


Spesso lo spazio viene visualizzato come un foglio di gomma incurvato dal Sole posizionato al centro del foglio stesso, ma questa visione è abbastanza fuorviante e ingannevole.
Mentre è vero che il Sole introduce una piccola quantità di curvatura spaziale, la forza di gravità newtoniana che sentiamo è dovuta quasi interamente alla curvatura del tempo. La curvatura spaziale introduce solo una piccola correzione, che fino alla seconda metà del XX secolo, si manifestava nell'unico effetto osservabile della curvatura spaziale: l’avanzamento del perielio di Mercurio. In altre parole, ciò che sperimentiamo come gravità ha a che fare con le (lievissime) differenze alla velocità degli orologi, a seconda della loro distanza dalla sorgente di gravità.
Le orbite sono ciò che sono perché i pianeti si muovono non solo nello spazio, ma anche nel tempo, seguendo la loro geodetica nello spazio-tempo. In assenza di gravità queste geodetiche sarebbero linee rette. La presenza del Sole curva le geodetiche verso la sorgente della gravità stessa. Quindi la flessione della loro traiettoria spazio-temporale si manifesta come un'orbita curva attorno al Sole. Questo significa semplicemente che lo stesso pianeta, ad esempio la Terra che si sposta "di lato nello spazio" a 30 km/s, procede anche “in avanti nel tempo” a quasi 300.000 km/s, e sarà la "curvatura temporale" dello spazio-tempo che deciderà (quasi esclusivamente) il destino della sua traiettoria.
Dopo aver fatto questa premessa, occupiamoci un po’ di come la curvatura modifica la nostra realtà. Ad esempio, sappiamo tutti dai nostri studi scolastici che, nella geometria euclidea, le formule per il calcolo di circonferenza e area di un cerchio sono le ben note:


Come si è già visto nel precedente post:



il valore di Pi Greco 3,14159 … è tale solo nel caso del piano euclideo, ma se cominciamo a curvare lo spazio, ci rendiamo conto che può assumere il valore che vogliamo; non solo, dato uno spazio a curvatura costante, cambia in funzione del raggio della circonferenza. Vediamo qualche esempio.









Nella seguente tabella possiamo vedere che a in alcuni specifici casi, nella geometria sferica il rapporto è un numero intero: ad esempio per un angolo pari a 30 gradi il rapporto vale 6, mentre per 90 gradi vale (ovviamente) 4, e quello che potremmo identificare con Pi Greco vale la metà, rispettivamente 3 e 2.
Nella geometria iperbolica si possono avere i valori interi maggiori di 6.



Attenzione però, il "Pi Greco" che usiamo per il calcolo dell’area non coincide con “quello” usato per il calcolo della circonferenza:

Cioè possiamo verificare che il valore di Pi Greco, definito come rapporto tra circonferenza e diametro oppure come rapporto tra area e quadrato del raggio, nel caso della geometria euclidea è la stessa cosa, mentre sulla superficie della sfera assume valori differenti. L’ultima riga della tabella corrisponde ad una circonferenza di raggio massimo che raggiunge gli antipodi del suo centro, in questo caso la circonferenza si riduce a un punto, mentre il rapporto dell’area con il quadrato del raggio vale 1,27  e qui salta fuori ancora il personaggio di questo post, perché questo valore corrisponde a  4 / Pi Greco.

Vengono qui di seguito riportate alcune  utili formule:


E per finire una bella foto di colui che di spazi curvi se ne intendeva: 
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sabato 10 febbraio 2018

239. Geodetiche su un poliedro


In matematica una geodetica è la curva più breve che congiunge due punti. Le geodetiche nel piano sono le linee rette, su una sfera sono gli archi di cerchio massimo. In ogni suo punto la normale principale ad essa coincide con la normale alla superficie in quel punto; ovvero il piano osculatore alla linea risulta normale alla superficie in quel punto.

Quali sono i cammini più brevi sui poliedri?
Un poliedro è un solido delimitato da un numero finito di facce piane poligonali e, se 2 punti giacciono sulla medesima faccia, il cammino più breve è un segmento di linea retta. Se invece i 2 punti giacciono su facce adiacenti, allora il cammino più breve appartiene ad una linea retta sulla superficie sviluppata (aperta sul piano).
Prolungando questo segmento, oltre i suoi estremi, possiamo congiungere tutte le coppie di punti della superficie del poliedro.

Nel precedente post: 16. Se la Terra fosse un Cubo; si era visto che un pianeta a forma cubica di spigolo pari al diametro della Terra (12.746 km), avrebbe una diagonale pari a 22.077 km. La differenza tra il punto più elevato e quello più profondo, sarebbe di 4.665 km (4.665.000 metri). Sulla Terra tra il Monte Everest (8.844 m) e la Fossa delle Marianne (-10.911 m) si ha un dislivello di 19.755 m. Ipotizzando oceani profondi 10.000 m, gli 8 vertici sarebbero montagne alte 500 volte il Monte Everest. Per andare da una delle 6 facce all'altra si dovrebbero superare valichi con altitudine pari a 300 volte il Monte Everest. Gli oceani potrebbero essere al massimo 6.



Nel sito di Carlos Furuti, potete trovare molte Proiezioni cartografiche:


e potrete anche stamparvi una Terra cubica.





Questo argomento è stato brillantemente trattato nel numero 500 di Le Scienze nella rubrica dei mitici Rudi Matematici: Il problema di Aprile (500) - Immaginate di essere..., che questo mese ospitano il Carnevale della Matematica.


Il grande matematico britannico Henry Ernest Dudeney (1857 – 1930) ha inventato centinaia di giochi matematici

Martin Gardner - Enigmi e giochi matematici

ne verranno riportati un paio che trattano di geodetiche su poliedri.


IL VIAGGIO DELLA MOSCA

Una mosca, partendo dal punto A, può percorrere i 4 lati della base di un blocco cubico in 4 minuti. Quanto tempo ci vorrà per andare da A all’angolo opposto B?

La mosca selezionerebbe il percorso mostrato dalla linea nell'illustrazione, che gli richiederà 2,236 minuti. Non andrà invece nella direzione indicata dalla linea tratteggiata che potrebbe sembrare quella suggerita. Questo percorso è più lungo e richiederebbe più tempo (2,414 minuti).








IL RAGNO E LA MOSCA

Una stanza rettangolare ha le dimensioni indicate in figura (in misure inglesi). Un ragno, indicato con la stella gialla, si trova al centro di una delle due pareti di fondo a un piede dal soffitto. Una mosca, indicata con la stella scura, si trova invece sulla parete opposta, a un piede dal pavimento. Qual è la distanza più breve che il ragno deve percorrere per raggiungere la mosca?

Il modo più semplice per risolvere il problema consiste nello sviluppare la stanza sul piano. In questo modo il percorso più breve risulta l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, pari a 40 piedi.


Il paradosso, in questo caso, consiste nel fatto che il percorso orizzontale potrebbe sembrare più breve, ma non è difficile verificare che è pari a 42 piedi (2 in più).

 








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