Zibaldone Scientifico: 143. Curvatura e Gravitazione

martedì 11 marzo 2014

143. Curvatura e Gravitazione

Questo post cercherà di chiarire la relazione tra gravitazione e curvatura nell’ambito della Relatività Generale, senza fare riferimento esplicito alle formule di questa teoria, ma considerando solo le traiettorie dei vari oggetti e alcune semplici calcoli geometrici.

Niente sembra più affascinante di una tale relazione e anche Riemann, che il 10 giugno 1854 (all’età di 28 anni), riuscì a fornire l’apparato matematico necessario, malgrado gli sforzi, non trovò una soluzione a quanto cercava, e la ragione principale è che Riemann cercava una relazione con la curvatura dello spazio e non dello spazio-tempo.

Per questo passaggio si dovette aspettare mezzo secolo.

D’altro canto se si confrontano le traiettorie di diversi oggetti (come fatto da Charles W. Misner, Kip S. Thorne e John Archibald Wheeler nel Gravitation) si fa fatica a trovare una semplice legge fisica basata sulla curvatura.

Nell’esempio si mettono a confronto le traiettorie di una palla che raggiunge l’altezza di 5 metri e ritorna a terra dopo 10 metri, con quella di una pallottola che si alza per solo mezzo millimetro (5 x 10^-4 metri) e ha la stessa gittata di 10 metri.

Ovviamente nell’ordinario spazio tridimensionale, le curvature delle traiettorie sono molto differenti.

Per eseguire il calcolo nello spazio-tempo si deve prima di tutto considerare che lo spazio percorso è proporzionale alla velocità, mentre la proiezione della “distanza percorsa” dall’oggetto sull’asse temporale è pari a ct, cioè 300.000 km per ogni secondo trascorso. In pratica si puo generalizzare dicendo che:

lo spazio percorso è proporzionale alla quadri-velocità [ v_x, v_y, v_z, c ]

Nel nostro caso la palla per arrivare al punto finale impiega 2 secondi, mentre la pallottola 1/50 di secondo.

Quindi la “distanza” percorsa nello spazio-tempo, che chiameremo gittata, è rispettivamente 600.000km e 6.000km (si possono trascurare i 10 metri della componente spaziale).

Il tutto è semplificato dal fatto che la componente temporale è enormemente dilatata rispetto alle 3 dello spazio ordinario.

Approssimando le traiettorie con archi di circonferenza e utilizzando il teorema di Pitagora si ha:

(raggio di curvatura)² = [(raggio di curvatura) – (altezza)]² + (gittata/2)²

sostituendo il raggio di curvatura con R e l’altezza con h:

R² = ( R – h )² + (gittata/2)²

e trascurando h²:

R = (gittata)² / 8h

infine sostituendo i valori nei 2 casi:

R = ( c x 2 )² / ( 8 x 5 ) = c² x 0,1 = 9 x 10¹⁵ metri (palla)

R = ( c x 0,02 )² / ( 8 x 0,0005 ) = c² x 0,1 = 9 x 10¹⁵ metri (pallottola)

Questa distanza è poco meno di quella percorsa dalla luce in un anno (a.l.):

299.792.458 m/s x 365,25 g x 86.400 s/g ≈ 9,461 x 10¹⁵ metri

Se si paragona il valore del raggio di curvatura ottenuto con il raggio della Terra all’equatore 6.378.388 metri, si capisce come sia realmente piccolo il valore della curvatura e questo potrebbe anche essere direttamente calcolato mediante la soluzione di Schwarzschild per le equazioni di Einstein nel vuoto.

La circonferenza offre il modello più semplice di misura della curvatura: circonferenze con raggio maggiore hanno una curvatura minore e viceversa.

La curvatura della circonferenza è definita come il reciproco del suo raggio R:

k = 1/R

La retta, che si può identificare con la circonferenza di raggio infinito, ha curvatura nulla.

Per la superficie terrestre si ha: k = 1,57 x 10^-7 m^-1

mentre per palla e pallottola: k = 1,11 x 10^-16 m^-1

E’ comunque importante sottolineare come la curvatura delle traiettorie (geodetiche) dei vari corpi si discosti di una quantità infinitesima dalla linea retta.