domenica 6 marzo 2016

205. Pi Greco

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving
quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard ...
3.14159265358979323846264...

E rieccoci a marzo, il mese del Pi Day.
Occasioni per parlare del Pi Greco ce ne sono sempre molte; che si parli di matematica, fisica o altre scienze, in un modo o nell’altro questo numero appare.
E’ conosciuto anche come costante di Archimede o costante di Ludolph.
E’ un numero irrazionale, quindi non può essere scritto come quoziente di due interi, come dimostrato nel 1761 da Johann Heinrich Lambert. Inoltre, è un numero trascendente (ovvero non è un numero algebrico): questo fatto è stato provato da Ferdinand von Lindemann nel 1882. Ciò significa che non ci sono polinomi con coefficienti razionali di cui Pi è radice, quindi è impossibile esprimere Pi usando un numero finito di interi, di frazioni e di loro radici.

 

Le figure di questo post sono prese da Wikipedia e dal sito di Paolo Lazzarini. Alcuni argomenti sono invece stati tratti dal libro di “Italo Ghersi, Matematica dilettevole e curiosa, Hoepli, 1988” che riesce sempre ad essere una fonte di ispirazione inesauribile.



Un ottimo sito da cui cominciare l’esplorazione di Pi Greco:


E in italiano il sito di Mauro Fiorentini.

 

La rivista “Sapere” bandì un concorso fra i propri lettori, per trovare frasi mnemoniche che aiutassero a esprimere le cifre di Pi Greco. Le risposte migliori furono pubblicate nel numero del 28 febbraio 1935. Ettore Siboni propose la seguente:

“Ave o Roma o Madre gagliarda di latine virtù che tanto luminoso splendore prodiga

    3   1     4    1      5           9        2    6       5     3      5          8               9             7

spargesti con la tua saggezza …”

      9          3   2   3        8


Nello stesso numero della rivista furono pubblicate le migliori risposte pervenute per ricordare e, base dei logaritmi naturali:     2,718281828459…
“La bambina è affamata, la minestra è squisita, la scodella vien tosto terminata …”
“La suocera è serpente, se ammalata è arsenico, se moritura pace …”



Suresh Kumar Sharma (India) lo scorso 21 ottobre 2015 ha stabilito il record mondiale, recitando a memoria le prime 70.030 cifre del Pi Greco in 17 ore e 14 minuti.

Akira Haraguchi (Giappone) sostiene di aver recitato 100.000 cifre il 3 ottobre 2006, in 16 ore, anche se i “Guinness dei primati” non hanno ancora accettato il record stabilito.

Domanda:

Qual è la probabilità che 2 interi, scelti a caso, siano primi tra loro?
Supponiamo che 500 persone scrivano un numero a caso e (sempre a caso) con questi numeri vengano formate 250 coppie; tra queste se ne troverebbero 152 costituite da numeri primi tra loro (quando 2 numeri hanno come unico DIVISORE COMUNE  l'unità, essi si dicono PRIMI TRA LORO o COPRIMI). 

Per l’esattezza la risposta è:   6/π2

Questo valore può essere ottenuto come reciproco del prodotto di Eulero:





ponendo s = 2.

Il calcolo dei valori esatti della funzione zeta è stato un compito piuttosto difficile. Eulero riuscì nel 1735 ad ottenere una formula esatta per la funzione zeta di 2. Il suo metodo si poteva applicare per tutti gli s pari: 





Qual è la probabilità che n interi, scelti a caso, siano primi tra loro?
La risposta è un’estensione della precedente, ponendo s = n.
Una dimostrazione potete trovarla qui.

 

Nel primo milione di cifre di Pi Greco ci sono: 

  99.959         0
  99.757         1
100.026         2
100.230         3
100.230         4
100.359         5
  99.548         6
  99.800         7
  99.985         8
100.106         9




GEOMETRIA SFERICA

Definizione (da Wikipedia, l'enciclopedia libera):

Nella geometria, una circonferenza è un luogo geometrico di punti del piano costituito da punti equidistanti da un punto fisso detto centro. La distanza da qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce raggio, mentre il doppio del raggio è detto diametro.
La superficie del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa, prende il nome di cerchio.

La formula per trovare la lunghezza della circonferenza è: 

C = 2 Pi . r         oppure        C = Pi . d

Dove:

C sta per circonferenza;
Pi sta per pi greco;
r sta per raggio del cerchio;
d sta per diametro del cerchio.

E’ importante notare quanto scritto nella definizione: “luogo geometrico di punti del piano”, questo non garantisce che valga in generale; vediamolo meglio con un esempio non piano.
Per semplicità pensiamo alla Terra come ad una sfera con 6.366 km di Raggio e, quindi, 40.000 km di circonferenza massima (Equatore) e tracciamo una circonferenza (come luogo di punti equidistanti da un punto fisso, che in questo esempio coinciderà con il Polo Nord).




Per un raggio di piccole dimensioni (paragonato al Raggio della Terra), il rapporto tra circonferenza e raggio vale circa 6,28 (2 Pi Greco). Ma se aumentiamo la distanza a 10.000 km, raggiungiamo l’Equatore.







In questo caso, il raggio della circonferenza vale appunto 10.000 km, mentre la circonferenza 40.000 km.
Il rapporto C/r è quindi 4 (decisamente inferiore a 6,28).























I Cerchi Olimpici visti da Banksy

 
Mauro Fiorentini:                    http://www.bitman.name/math/article/84/
                                               http://www.bitman.name/math/article/86/

                                     http://www.bitman.name/math/losapevateche/


 

 

 
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