Per il 2D abbiamo un quadrato diviso in 9 parti uguali:
Il
numero di elementi (o cardinalità)
del prodotto cartesiano di 2 insiemi è il prodotto del numero di
elementi dei 2 insiemi.
Generalizzando, il numero di elementi del prodotto cartesiano di n insiemi è il prodotto del numero di elementi
di ogni insieme.
Possiamo
dare una rappresentazione tabulare, che consiste nello scrivere tutte le coppie
possibili racchiuse tra parentesi graffe:
{(1 , 1) ; (1 , 2) ; (1
, 3) ; (2 , 1) ; (2 , 2) ; (2 , 3) ; (3
, 1) ; (3 , 2) ; (3 , 3)}
oppure
tramite tabella a doppia entrata, ottenuta con gli elementi del primo insieme
messi in colonna e quelli del secondo nella prima riga; le caselle contengono
le varie coppie che si ottengono:
Come si
vede l’unico quadrato tolto corrisponde a (2 , 2).
Nel
caso del simil-frattale in 3D possiamo fare un ragionamento analogo e i 7 cubi rimossi saranno:
(1, 2, 2) ; (3, 2, 2) ; (2, 1, 2) ; (2, 2, 2); (2, 3, 2) ; (2, 2, 1) ; (2, 2, 3)
Nella
seguente tabella viene rassunto (per ogni dimensione) quanti raggruppamenti di numeri 2 possiamo trovare; ad es. in 3D abbiamo 8 terne con zero 2, 12 con un solo 2, 6 con 2 elementi uguali a 2 e 1 con tutti i numeri uguali a 2
(che corrisponde al cubo centrale):
le
combinazioni con almeno 2 elementi
uguali a 2 sono 6
+ 1 = 7, su un totale di 27 cubi (riportato nell’ultima colonna) e per un cubo di lato 3.
Possiamo
fare lo stesso ragionamento per un cubo di lato 5:
qui è stata aggiunta l’ultima colonna che riporta il numero di cubi
rimasti.
Nota: i coefficienti che appaiono in tabella, possono essere facilmente calcolati utilizzando la formula del binomio di Newton - in questo caso ( 4 + 1 )n -
Nota: i coefficienti che appaiono in tabella, possono essere facilmente calcolati utilizzando la formula del binomio di Newton - in questo caso ( 4 + 1 )n -
Ora,
nel precedente post si è visto che in 2D
per un valore iniziale pari a 4, moltiplicato nell’ordine per 8/9, 24/25,
48/49, 80/81, …, (n2 – 1) / n2
si ha la formula derivata dal prodotto di Wallis:
si ha la formula derivata dal prodotto di Wallis:
che
può essere schematizzata così:
Mentre
in 3D si ha questo risultato:
dove
i numeri in grigio rappresentano i vari denominatori.
Tralascio
i passaggi e riporto quanto calcolato con Wolfram|Alpha:
che
può essere riassunto:
Nelle
formule appare la funzione Gamma di Eulero che estende il concetto di fattoriale (anche ai numeri complessi). In
coda al post ne riporto il grafico e alcune notevoli formule che la riguardano.
Qui
mi interessa solo notare che la parte destra delle formule che contiene l’indice
n tende a 1 al tendere di n
all’infinito.
Per cui ciò che rimane delle 3 formule è pi greco ed il numero che si trova al denominatore. Ricordando che ogni formula deve essere moltiplicata per il numero di “quadranti”, la prima (2D) 22 = 4, la seconda (3D) per 23 = 8 e la terza (4D) per 16.
Ottenendo
così i “Volumi” delle sfere n-dimensionali:
Questa
non è ancora una vera e propria dimostrazione, ma ne contiene tutti gli elementi
e si potrebbe anche utilizzare come metodo alternativo per calcolare il Volume
di una iper-sfera.
La prima stesura di questo post verrà probabilmente rivista in
seguito …
https://math.stackexchange.com/questions/1783732/is-a-hypersphere-of-non-integer-dimension-a-fractal
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