Zibaldone Scientifico: 204. Onde gravitazionali

domenica 21 febbraio 2016

204. Onde gravitazionali

Siamo tutti nei bassifondi, ma qualcuno di noi guarda le stelle

Oscar Wilde, Lady Windermere's Fan

Le onde gravitazionali sono piccole increspature nello spazio-tempo prodotte da oggetti astronomici, con grandi masse che subiscono accelerazioni, e queste increspature si propagano nell’Universo.

Ma quanto piccole sono queste increspature?

Ci sono molte similarità tra elettromagnetismo e gravitazione. Non è quindi sorprendente che, come le equazioni di Maxwell, anche le equazioni di Einstein della teoria della Relatività Generale abbiano una soluzione radiativa.

In questi giorni si parla ovunque, della conferenza stampa congiunta con LIGO ed EGO-VIRGO, dell'11 febbraio 2016

dove è stata confermata l'esistenza delle onde gravitazionali grazie allo studio condotto sull'impatto di 2 buchi neri.

La ragione per cui non è semplice rilevarle nei normali processi atomici è che, secondo la teoria di Einstein, la radiazione gravitazionale viene prodotta in quantità estremamente ridotte. Ad esempio la probabilità che in una transizione tra 2 stati atomici venga emessa radiazione gravitazionale piuttosto che elettromagnetica, è dell’ordine di GE²/e² dove G è la costante di gravitazione universale, E è l’energia rilasciata ed e la carica dell’elettrone.

Per E = 1 eV (che corrisponde all’energia di un fotone nel vicino infrarosso) la probabilità è circa 3 x 10^-54.

Giusto per farsi un’idea, il numero di atomi nel Sole è circa 10⁵⁷.

Nelle moderne teorie fisiche, le equazioni di Maxwell ci portano in modo naturale ad un’interpretazione in termini di particelle: il fotone.

In modo analogo le equazioni di Einstein portano al concetto di una particella del campo gravitazionale: il gravitone.

Non linearità - L’analogia, però, non è completa, in quanto ogni onda gravitazionale è essa stessa una distribuzione di energia e momento che contribuisce al campo gravitazionale dell’onda.

Torniamo all’analogia con il campo elettromagnetico: un campo elettrico variabile (ad esempio oscillante) genera un campo magnetico variabile (teorema di Ampere generalizzato), il quale a sua volta genera un campo elettrico variabile (legge di Faraday-Neumann-Lenz) e così via. L’oscillazione si propaga nello spazio.

Questo fu il ragionamento di Maxwell (attorno al 1870) che lo portò a prevedere l’esistenza di un fenomeno allora sconosciuto: le onde elettromagnetiche.

Oltre a prevederne l’esistenza, Maxwell dimostrò che queste onde si propagano nel vuoto con una velocità pari a 300.000 km/s.

In modo analogo, 2 stelle che orbitano intorno al loro comune centro di massa (e che quindi vengono sottoposte ad una continua accelerazione), hanno come risultato di produrre un’onda gravitazionale.

La formula derivata dalla Teoria della Relatività Generale per il calcolo della potenza di queste onde è la seguente:

Più in generale, anche un pianeta nella sua rivoluzione intorno ad una stella emette onde gravitazionali, ad esempio sostituendo i valori relativi a Sole e Terra:

M _Sole = 2 x 10³⁰ kg M _Terra = 6 x 10²⁴ kg R = 150,000,000 km

si ottiene il valore di 200 watt. Praticamente niente.

Nel caso rilevato da LIGO l’ipotesi è che si tratti di 2 Buchi Neri, rispettivamente di 29 e 36 masse solari.

Un Buco Nero è definito come l'oggetto le cui dimensioni siano inferiori rispetto al suo raggio di Schwarzschild. La superficie individuata da tale raggio funge per un corpo statico da orizzonte degli eventi. Le onde elettromagnetiche e la materia non possono superare l'orizzonte degli eventi provenendo dall'interno del corpo - da qui il nome di "Buco Nero".

Il raggio di Schwarzschild è un raggio caratteristico utilizzato in fisica per designare la distanza dal centro della distribuzione di massa a simmetria sferica che dà origine alla metrica di Schwarzschild, alla quale si trova, secondo la Relatività Generale, l'orizzonte degli eventi. Il raggio di Schwarschild è proporzionale alla massa del corpo: il Sole ha un raggio di Schwarzschild di circa 3 km, mentre quello della Terra misura 8.87 mm.

Il raggio di Schwarzschild fu introdotto nel 1916 da Karl Schwarzschild, quando scoprì la soluzione esatta per il campo gravitazionale al di fuori di una stella dotata di simmetria sferica (vedi metrica di Schwarzschild, che è una soluzione delle equazioni di campo di Einstein).

La massa stimata del Buco Nero presente al centro della Via Lattea è di 4,1 milioni di masse solari. Quelli più massicci arrivano a decine di miliardi di masse solari.

I 2 Buchi Neri di 29 e 36 masse solari sono quindi da considerarsi relativamente piccoli.

Le caratteristiche dei 2 Buchi Neri sono:

M _BN1 = 5.8 x 10³¹ kg R _{Schwarzschild} = 85.5 km

M _BN2 = 7.2 x 10³¹ kg R _{Schwarzschild} = 106.2 km

Nella fase finale della loro vita, quando i 2 Buchi Neri arrivano a distare meno di 5 km, il periodo di rivoluzione è inferiore ad 1 secondo e la potenza emessa, a questa distanza, supera il valore di 10⁴⁴ watt. In questa fase, di breve periodo, la potenza è in continuo aumento e l’energia liberata è equivalente a quella di circa 3 masse solari (E=mc²), lascio il calcolo per esercizio.

Ricordo solo che l’energia irradiata dal Sole al secondo è:

E = 3.8 x 10²⁶ J (mille miliardi di miliardi di volte inferiore).

Le onde gravitazionali sono state rilevate il 14 settembre 2015, da entrambi i rilevatori LIGO (Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory), che si trovano a Livingston (Louisiana) e Hanford (Washington). I 2 osservatori sono finanziati dalla National Science Foundation (NSF). Sono stati concepiti, costruiti e sono gestiti da Caltech e MIT.

La scoperta è stata pubblicata sulla rivista “Physical Review Letters”.

Osservando che la registrazione del segnale a Livingston è avvenuta 7 millisecondi prima di quella a Hanford, si può ipotizzare che la fonte fosse situata nel sud del mondo.