206. I ragazzi del coro

In quanti modi 8 coristi possono cambiare di posto, così da trovarsi ogni volta disposti in modo diverso?

(La risposta è: 8! = 40.320)

Ad ogni incontro si scattano una foto ricordo; se si ritrovano tutte le sere, quante foto accumuleranno a fine carriera e quante volte nelle foto avranno la stessa disposizione?

10.000 giorni sono all’incirca 27 anni e 20 settimane. Per superare 40.320 serate servono 110 anni e quindi difficilmente si ripeteranno 2 disposizioni uguali.

Impilando le fotografie di 80 anni (quasi 30.000 con più di 800 rullini), si raggiungerebbe un’altezza di diversi metri, ma se ogni foto avesse una risoluzione di 5 MPixel, potremmo memorizzarle tutte in una scheda da 64GB (la storia di una vita memorizzata in un piccolo chip).
Nel film Smoke, Auggie, il protagonista interpretato da Harvey Keitel, ha una curiosa passione. Ogni mattina alle otto precise esce dalla sua tabaccheria, piazza la macchina sul treppiede e fotografa sempre lo stesso scorcio di Brooklyn. Auggie esegue questa operazione con costanza per anni, estate e inverno, con la pioggia o con il sole, catalogando le foto che conserva in diversi album.

Non è difficile immaginare come diverge il risultato aumentando il numero di coristi. La Fisica risolve il problema introducendo concetti come Pressione e Temperatura.


Le leggi della Termodinamica sono principi generali che hanno un contenuto macroscopico. In essi non compare nessun riferimento esplicito agli atomi che compongono il sistema in esame, sono quindi indipendenti dai possibili modelli microscopici che possono rappresentare gli atomi e le molecole del sistema. Tali principi si possono usare anche quando non si conosce nulla in riguardo alla composizione atomica. E’ importante ricordare che le leggi della Termodinamica furono introdotte molto prima che si stabilisse una teoria atomica della materia.
Se combiniamo i concetti statistici con la conoscenza microscopica del sistema, la nostra possibilità di comprendere e fare previsioni risulta molto accresciuta. Otteniamo così la disciplina della Meccanica statistica. Siamo quindi in grado di calcolare le proprietà di sistemi macroscopici sulla base di dati microscopici. E’ quindi possibile calcolare l’entropia (misura del disordine presente in un sistema fisico)  da principi primi. Ludwig Boltzmann ha sintetizzato questo nel principio:

S = k ln W

Nella termodinamica classica l'entropia S è una funzione di stato di un sistema in equilibrio termodinamico, che, quantificando l'indisponibilità di un sistema a produrre lavoro, si introduce insieme con il secondo principio della termodinamica.

L'approccio molecolare della meccanica statistica generalizza l'entropia alle possibili diverse disposizioni W dei livelli molecolari in cui può trovarsi macroscopicamente un sistema. In base a questa definizione si può dire, in forma non rigorosa, che quando un sistema passa da uno stato di equilibrio ordinato a uno disordinato la sua entropia aumenta; questo fatto fornisce indicazioni sulla direzione in cui evolve spontaneamente un sistema.

Tomba di Boltzmann

“Tutto ciò che esiste nell'universo è frutto del caso e della necessità”   Democrito

Se con 8 coristi si possono ottenere le combinazioni riportate sopra, possiamo immaginare che cosa sia possibile ottenere con un coro composto da 7,4 miliardi di persone (attuale popolazione mondiale – 6 miliardi nel 2000). Questo tipo di considerazioni, risultano però in contrasto con la Teoria del mondo piccolo che sostiene che tutte le reti complesse presenti in natura sono tali che due qualunque nodi possono essere collegati da un percorso costituito da un numero relativamente piccolo di collegamenti. La sua nascita può essere fatta risalire ad una serie di esperimenti condotti da Stanley Milgram che esaminavano la lunghezza media del percorso per reti sociali tra residenti negli Stati Uniti.

Negli anni ’50 lo psicologo Milgram ideò un esperimento interessante. Un centinaio di lettere dovevano essere inviate a Boston da una cittadina del Nebraska senza usare la normale procedura postale, ma con le seguenti regole: chi riceve una lettera per un destinatario a lui sconosciuto può soltanto spedirla a un suo diretto conoscente, che proseguirà con la stessa regola. Ad ogni passo la cerchia dei destinatari è limitata alle conoscenze dirette del mittente, che sceglierà la persona che presumibilmente più si avvicina al destinatario finale. Se questi per esempio è un medico o un idraulico, cercherà un conoscente che rientra nella categoria, oppure cercherà di far avanzare il messaggio geograficamente mandandolo al conoscente che abita più vicino alla destinazione finale, o tutte due le cose assieme. Le due località iniziale e finale furono selezionate da Milgram con l’intento preciso che fossero estremamente diverse tra loro, come posizione geografica e composizione sociale. I risultati furono sorprendenti: la maggioranza delle lettere arrivò a destinazione, e ci arrivò con un numero medio di passaggi decisamente basso. Milgram dimostrò che in media 6 passaggi erano sufficienti per recapitare la lettera, e arrivò alla conclusione che, secondo una relazione di conoscenza diretta, ogni persona degli Stati Uniti è “separata” da qualsiasi altra soltanto da una catena di relazione lunga 6. L’esperimento diventò molto famoso, tanto da ispirare anche un pezzo teatrale, trasformato poi nel 1993 in un film dal titolo: Sei gradi di separazione.


A volte il caso …

Tsutomu Yamaguchi stava scendendo dal tram ad Hiroshima il 6 agosto 1945 ed essendo sopravvissuto all’esplosione della bomba atomica, denominata Little Boy, volle tornare subito nella sua città natale. Fu accontentato e venne quindi riportato a Nagasaki; dove, dopo lo scoppio della seconda bomba atomica, visse fino al 4 gennaio 2010. A ottant'anni scrisse un'autobiografia riguardante la sua esperienza, e fu invitato a partecipare a un documentario (nel 2006) intitolato Nijuuhibaku (Bombardati due volte) sulle 165 persone ufficialmente vittime di entrambe le bombe atomiche giapponesi. Fu un attivista anti-nucleare, e si prodigò presso l'assemblea generale delle Nazioni Unite affinché le armi nucleari fossero bandite. In una intervista disse: "La ragione per cui odio le bombe nucleari è per ciò che fanno alla dignità degli esseri umani".
 

 

Il concetto di entropia venne introdotto agli inizi del XIX secolo, nell'ambito della termodinamica, per descrivere una caratteristica (la cui generalità venne osservata per la prima volta da Sadi Carnot nel 1824) di tutti i sistemi allora conosciuti, nei quali si osservava che le trasformazioni avvenivano spontaneamente in una direzione sola, quella verso il maggior disordine.

In particolare la parola entropia venne introdotta per la prima volta da Rudolf Clausius nel suo “Trattato sulla teoria meccanica del calore” pubblicato nel 1864. Entropia deriva dal greco ἐν en, "dentro", e da τροπή tropé, "cambiamento".

Esistono diversi enunciati equivalenti del Secondo principio della termodinamica. Quelli che storicamente si sono rivelati più importanti sono:

«È impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di trasferire calore da un corpo più freddo a uno più caldo senza l'apporto di lavoro esterno» (formulazione di Clausius).

«È impossibile realizzare una trasformazione ciclica il cui unico risultato sia la trasformazione in lavoro di tutto il calore assorbito da una sorgente omogenea» (formulazione di Kelvin-Planck).

«È impossibile realizzare una macchina termica il cui rendimento sia pari al 100%.»

«È impossibile realizzare il moto perpetuo.»

Nella Fisica moderna la formulazione più ampiamente usata è quella che si basa sulla funzione entropia:

«In un sistema isolato l'entropia è una funzione non decrescente nel tempo.»

Questo principio ha avuto, da un punto di vista storico, un impatto notevole. Infatti, tramite la non reversibilità dei processi termodinamici, definisce la freccia del tempo.

Boltzmann fu il primo a mettere in relazione entropia e probabilità nel 1877, ma sembra che tale relazione non sia mai stata espressa con una specifica costante finché Planck, nel 1900 circa, introdusse per primo k_B, calcolandone il valore preciso, e dandole il nome in onore di Boltzmann.

Infatti l'equazione S = k_B log W presente sulla tomba di Boltzmann è dovuta a Planck, che la introdusse nello stesso articolo in cui introdusse la costante di Planck h. Come Planck ha scritto nella sua Nobel lecture nel 1920:

«Questa costante è spesso chiamata costante di Boltzmann, sebbene, per quanto ne so, Boltzmann non l'ha mai introdotta — una situazione particolare che può essere spiegata con il fatto che Boltzmann, come risulta dalle sue esternazioni occasionali, non ha mai pensato alla possibilità di effettuare una misurazione esatta della costante.»

 

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera

 

F.Luccio - L.Pagli, Storia matematica della rete, Bollati Boringhieri, Torino, 2007