martedì 25 febbraio 2014

139. Sezione aurea immaginaria

Solo le persone superficiali non giudicano dalle apparenze.
Il mistero del mondo è il visibile, non l’invisibile.
Oscar Wilde    

L’identità diEulero        eix = cos x + i sen x

ha come caso particolare la bella formula              e + 1  =  0

Dalla prima identità si ricava          2i sen x  =  e ix  -  e -ix  

E posto       x  =  i ln Ф         (dove  Ф  è  la  Sezione Aurea)

si ottiene
(*)    2i sen(i ln Ф) = e - ln Ф  -  e ln Ф  1/Ф   Ф  =  -1

e infine
sen ( i  ln Ф)  =  i / 2          

Similmente si potrebbe anche ricavare:

cos ( 2i  ln Ф)  =  3 / 2

Diversamente dall’identità di Eulero, in questo caso,  l’unità immaginaria  i  (con  i2 = -1)  non è messa in relazione con  π , ma con la  Sezione Aurea

                  Ф  =  ½ (1 + √5 )  =  1,6180339887…

 
http://www.johndcook.com/blog/2014/02/17/imaginary-gold/

http://zibalsc.blogspot.it/2011/12/89-ottantanove.html
http://zibalsc.blogspot.fr/2011/01/14-potenze-complesse.html

http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_complesso
http://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_aurea

http://scienzaemusica.blogspot.it/2013/05/la-sublime-sezione-aurea.html


(*)  Per effettuare l'ultimo passaggio della dimostrazione, basta prendere la definizione di sezione aurea e modificarla:
 
 {1  \over \phi} = \phi - 1 \qquad \phi^2 = \phi + 1
 
da dove emerge che il reciproco è uguale alla radice stessa meno l'unità, mentre per il quadrato questa va aggiunta.
Questo vuol dire che sommando e sottraendo il valore 1 a φ, si modifica solo la parte intera e non quella frazionaria, che rimane inalterata.

Dalle precedenti si può ricavare un’altra interessante formula:

ln(Ф) = arcos (3/2)  / 2i


Abstract - Imaginary Golden Ratio
 

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