87. La risposta e’ 42

Quanto e’ grande l’Universo?  Oppure, ponendo la domanda in un altro modo, qual’e’ la maggior distanza alla quale possiamo vedere un oggetto?

Alla prima domanda non e’ semplice dare una risposta, mentre, con le considerazioni fatte in seguito,  per la seconda la risposta e’ 42 miliardi di anni luce.

L’età’ dell’Universo stimata e’ di 13,75 miliardi di anni, ma per semplicità nel calcolo verra’ utilizzato il valore di 14 miliardi di anni (mld di anni).

Consideriamo Il modello di Eistein-DeSitter, cioè un modello di Friedmann dominato da materia con curvatura nulla (k=0). Questo modello corrisponde ad un Universo di Minkowski (lo spazio piatto della Relatività Speciale), nel quale l'Universo continuerà ad espandersi all'infinito.

Per un Universo di Einstein-DeSitter, il fattore di scala a evolve come t ^2/3 , per esempio se l’età’ raddoppia le dimensioni aumentano di un fattore 1,59 o anche se l’età’ diventa 8 volte, le dimensioni diventano 4 volte quelle iniziali:  4 = 8^2/3 .

Come prima approssimazione si consideri un fotone che dopo aver viaggiato 7 miliardi di anni si trova a metà percorso. A questo punto raddoppiando il tempo i primi 7 mld di anni luce aumentano del fattore 1,59 e diventano 11,11 mld di anni luce; sommando i restanti 7 si ha un totale di 18,11 mld di a.l.; riassumendo si ha:

7 · ( 1,59 + 1 ) = 18,11 miliardi di anni luce.

Se si divide il percorso in 4 parti uguali, i vari intervalli subiranno diverse dilatazioni ed in questo caso si avra’:

(4/1)^2/3 + (4/2)^2/3 + (4/3)^2/3 + (4/4)^2/3  =  2,52 + 1,59 + 1,21 + 1  =  6,32

e moltiplicandolo per l’intervallo 14/4 = 3,5 si ottiene:  22,12 miliardi di anni luce.

La distanza D percorsa si ottiene aumentando il numero di intervalli.  Al limite il valore della serie tende al calcolo dell’integrale:

Da cui si ricava che dopo 14 mld di anni la distanza massima percorsa da un fotone e’ proprio 42 miliardi di anni luce.

Douglas Adams nel romanzo di fantascienza “Guida galattica per gli autostoppisti”, racconta di un gruppo di scienziati che costruisce Pensiero Profondo, il secondo più grande computer di tutti i tempi e di tutti gli spazi, per ottenere la risposta alla Domanda Fondamentale sulla Vita, sull'Universo e Tutto quanto.
Dopo sette milioni e mezzo di anni il computer fornisce la risposta: "42".


http://www.aoc.nrao.edu/~mpannell/tesi/node12.html
http://www.astrosurf.com/cosmoweb/documenti/numeri.html
http://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmology_faq.html#DN
http://zibalsc.blogspot.com/2011/01/15-spaziotempo-di-minkowski.html
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