Sono andato a letto presto.
C’era una volta in America
Si racconta che in una delle loro passeggiate
quotidiane verso il 112 di Mercer Street a Princeton, Albert Einstein abbia rivolto al matematico Kurt Gödel la seguente domanda: dove
va il tempo che passa?
Einstein lo conosciamo tutti, ma forse Kurt Gödel (1906–1978)
matematico, logico e filosofo austriaco, è sicuramente conosciuto negli
ambienti scientifici ed esiste molta divulgazione sul suo conto, ma
probabilmente non tutti hanno sentito parlare dei suoi fondamentali lavori.
Gödel
ha pubblicato il suo più famoso risultato nel 1931, all'età di venticinque
anni, quando lavorava presso l'Università di Vienna. Tale lavoro conteneva i
famosi due Teoremi di incompletezza
che da lui prendono il nome, secondo i quali:
ogni sistema assiomatico consistente in grado
di descrivere l'aritmetica dei numeri interi è dotato di proposizioni che non
possono essere dimostrate né confutate sulla base degli assiomi di partenza.
Vediamo
se riesco a spiegarlo in parole più semplici.
All’inizio
del secolo scorso l’insigne matematico tedesco David Hilbert era turbato dalla seguente questione: è possibile
dimostrare rigorosamente che il sistema definito nei Principia Mathematica da Alfred North Whitehead e Bertrand Russell
è coerente
(non contraddittorio) e completo (tale cioè che ogni
enunciato vero dell’aritmetica potesse essere derivato all’interno della
struttura predisposta nei Principia
Mathematica)?
Ebbene,
l’articolo di Gödel demolì completamente il programma di Hilbert.
Quell’articolo
non solo rivelò la presenza di “buchi” nel sistema assiomatico della
matematica, ma mise in evidenza l’impossibilità che esistesse un qualunque
sistema assiomatico in grado di produrre tutte le verità aritmetiche, a meno
che il sistema in questione non fosse incoerente. Inoltre Gödel dimostrò che la
coerenza di un sistema è tale proprio perché non può essere dimostrata.
Sono
molti i lavori che meriterebbero di essere citati come quello sull'ipotesi del continuo, dove dimostrava
che essa non può essere confutata dagli assiomi della teoria degli insiemi
accettata, assumendo che tali assiomi siano consistenti, o una soluzione esatta delle equazioni di campo
di Einstein che prevede l'esistenza di curve chiuse di tipo tempo, che
permetterebbero una forma di viaggio nel tempo.
Per parlare di tempo (o spazio-tempo) credo
sia utile riportare alcune considerazioni di Richard Feynman:
<< Consideriamo
in primo luogo ciò che intendiamo per tempo. Che cos’è il tempo? Sarebbe bello
se riuscissimo a trovare una buona definizione di tempo. Il dizionario Webster
definisce "un intervallo di tempo"
come "un periodo", e “un periodo” come "un intervallo di tempo", che non
sembra essere molto utile.
Forse dovremmo dire: "Il tempo
è ciò che accade quando non succede nient'altro."
Il che, inoltre, non ci porta molto
lontano. Forse è un bene se ci troviamo di fronte al fatto che il tempo è una
delle cose che probabilmente non si può definire (nel senso del dizionario), e
basta dire che si tratta di ciò che già sappiamo è: quanto tempo aspettiamo!
Quello che conta in ogni caso non è
il modo in cui definiamo il tempo, ma il modo in cui lo misuriamo. Un modo per
misurare il tempo è di utilizzare qualcosa che avviene ripetutamente in modo regolare,
qualcosa che sia periodico. Ad esempio, un giorno.
Un giorno sembra accadere più e più
volte. Ma quando si inizia a pensare a questo proposito, ci si potrebbe anche
chiedere: "I giorni sono periodici e sono regolari? Sono tutti della
stessa lunghezza?" Si ha certamente l'impressione che i giorni in estate
siano più lunghi di quelli in inverno. Naturalmente, alcuni dei giorni
d'inverno sembrano terribilmente lunghi se uno è molto annoiato. Avrete
certamente sentito qualcuno dire: "Oh, questa è stata una giornata incredibilmente
lunga!"
Sembra tuttavia che i giorni siano
circa della stessa durata media.
C'è un modo per verificare se i
giorni sono della stessa durata, sia da un giorno all'altro, o almeno in media?
Un modo è quello di fare un confronto con un altro fenomeno periodico.
Vediamo come tale confronto può
essere fatto con una clessidra.
Con una clessidra, siamo in grado
di "creare" un evento
periodico se abbiamo qualcuno sveglio giorno e notte per capovolgerla ogni
volta che l'ultimo granello di sabbia si esaurisce.
Quindi potremmo contare quante volte
sia stata capovolta la clessidra da una mattina all'altra. Avremmo così trovato,
che il numero di "ore"
(cioè, di volte che dobbiamo capovolgere la clessidra) non era lo stesso ogni
"giorno". Dobbiamo
diffidare del Sole, della clessidra o di entrambi. Dopo qualche ragionamento,
potremmo decidere di contare le "ore" da mezzogiorno a mezzogiorno. (Mezzogiorno
è qui definito non come le 12:00, ma come l'istante in cui il Sole è al suo
punto più alto). Questa volta, il numero di "ore" ogni giorno sarebbe lo stesso.
Ora siamo confidenti che sia la
"ora" che il "giorno" hanno una periodicità
regolare, vale a dire, segnano uguali intervalli di tempo successivi, anche se
non abbiamo dimostrato che uno dei due è "realmente" periodico. Qualcuno potrebbe chiedersi se ci sia un
essere onnipotente che rallenta il flusso di sabbia ogni sera, per poi
accelerarlo durante il giorno. Il nostro esperimento, naturalmente, non dà una
risposta a questo tipo di domanda. Tutto quello che possiamo dire è che
troviamo che un certo tipo di regolarità combacia con una regolarità di un
altro genere. Possiamo solo dire che noi basiamo la nostra definizione di tempo
sulla ripetizione di un evento apparentemente periodica.
>>
da La Fisica di Feynman, vol. I-1, cap.
5-2, 1994, p. 5-2
Con la frase: “Il tempo è ciò che accade quando non accade nient'altro”, Feynman fa
quasi sicuramente riferimento alla Teoria della Relatività.
Agostino d’Ippona in merito al Tempo
commentava: “Se non ci penso so cos'è, se qualcuno me lo chiede non lo so più”.
Va bene. Non sappiamo bene cosa sia il Tempo,
ma, e questo è sorprendente, sappiamo come misurarlo in modo eccezionalmente
preciso.
Hans Reichenbach affronta così le tematiche riguardanti l’argomento.
Tempo e Spazio possono essere
considerati come schemi di ordinamento, ma il primo è più semplice perché ha
una sola dimensione.
Inoltre il Tempo, considerato da solo,
non presenta problemi analoghi alla geometria non-euclidea. In una dimensione è
impossibile distinguere tra rettilineo e curvo.
Una linea curva può avere una curvatura
esterna, ma mai una interna, in quanto può sempre venire “raddrizzata” senza
una deformazione dei suoi elementi più piccoli.
Abbiamo due tipi fondamentali di misura
del tempo: il primo consiste nel contare
processi periodici, mentre il secondo nel misurare distanze spaziali.
Gli strumenti per la misura del tempo
sono dotati di due meccanismi:
-
il primo che effettua
un moto periodico;
-
l’altro che conta il
numero dei periodi eseguiti dal primo.
L’orologio più importante per la misura
del tempo è costituito dalla Terra (o se si vuole dal Sole, dalla Luna e dalle
stelle). Come tutti gli orologi, richiede qualche correzione. Il disturbo
principale deriva dagli effetti gravitazionali di Luna e Sole; questi agiscono
come “freni”, con il risultato finale di una situazione come quella della Luna,
per la quale il periodo di rotazione è uguale a quello della rivoluzione
orbitale (in altre parole, dalla Terra, vediamo sempre la stessa faccia della
Luna).
Che cosa costituisca una rotazione
completa della Terra, è definibile solo in relazione a qualche punto di
riferimento; di qui la differenza fra giorno stellare e giorno solare.
Quest’ultimo è 4 minuti più lungo.
Se la Terra fosse sola nell’Universo,
sarebbe inutile come orologio.
Oltre alla clessidra, altri orologi
sono, ad esempio, il pendolo, l’orologio a bilanciere, quello al quarzo ed
infine quello atomico.
Clessidra e pendolo necessitano
dell’attrazione gravitazionale (o di qualcosa di simile, come un sistema in
rotazione). Inoltre un orologio a pendolo varia il periodo delle sue
oscillazioni al variare della latitudine.
Per gli altri orologi riportati sopra la
gravitazione non ha alcun effetto e funzionano anche nello spazio
interstellare. Le forze elastiche, e quindi gli orologi a bilanciere,
presentano leggere fluttuazioni, ossia il sistema non è rigorosamente
periodico. Questo li rende meno precisi degli orologi a pendolo.
Gli orologi atomici a maser utilizzano
una cavità risonante contenente un gas ionizzato. Solitamente è usato il Cesio perché questo è alla base della definizione del secondo come 9.192.631.770
cicli della radiazione corrispondente alla transizione tra due specifici
livelli energetici dello stato fondamentale dell'atomo di questo elemento.
Per contare il numero di periodi si possono
usare lancette che al compimento di ogni giro indicano il passare dei minuti,
delle ore o delle mezze giornate.
Questo scenario si complica
ulteriormente se passiamo alla Teoria della Relatività, non solo per tutti gli
effetti dovuti a sistemi di riferimento in moto reciproco, o al rallentamento
degli orologi in presenza di campi gravitazionali, ma più semplicemente per il
fatto che (come visto in un precedente post 143. Curvatura e Gravitazione) la punta della lancetta dei minuti
di un orologio da polso, in 4 dimensioni, non descrive una semplice circonferenza,
ma una spirale molto allungata; il passo di questa spirale è 300.000 x 60 x 60
= 1.080.000.000 km.
Per cui quello che sembra una ciclica monotona
sequenza della rotazione delle lancette, è invece qualcosa di molto più
“complesso” (in tutti i sensi).
Alla domanda su dove vada il tempo che
passa, credo comunque che nessuno sia ancora in grado di fornire una risposta.
Deborah: Hai aspettato molto?
Noodles: Tutta la vita.
C’era
una volta in America
Note ed approfondimenti
C’era
una volta in America (1984), regia di Sergio Leone, è il terzo capitolo della
cosiddetta trilogia del tempo,
preceduto da C'era una volta il West
(1968) e Giù la testa (1971). A mio
parere è un film che prima o poi si deve vedere, magari più volte,
perché ogni volta si scopre qualche cosa di nuovo.
Tratta delle vicissitudini del criminale
David "Noodles" Aaronson e dei suoi amici nell'ambiente della
malavita organizzata di New York. Le tre fasi della vita del protagonista, adolescenza
nel 1920, età adulta negli anni ‘30 e vecchiaia nel 1968, si alternano per una decina di volte. Oltre Noodles
(interpretato da Robert De Niro) i
personaggi citati sono: "Fat" Moe Gelly che Noodles ritrova dopo 35
anni e alla domanda di Moe: “cos'hai
fatto in tutti questi anni”? Noodles risponde: “Sono andato a letto presto”, citando il famosissimo incipit di Alla Ricerca del Tempo Perduto di Marcel Proust: “Per molto tempo sono andato a letto presto”.
L’altra citazione riguarda una
conversazione tra Noodles e Deborah (sorella di Moe), che per tutto il film
hanno una mai finalizzata reciproca attrazione.
Ultimamente sono stati dedicati diversi
libri a Kurt Gödel, uno che consiglio
è:
I Principia
Mathematica sono un'opera sui fondamenti logici della matematica scritta a
quattro mani da Alfred North Whitehead
e Bertrand Russell. Rappresentano un
importante tentativo di sistematizzazione delle basi della matematica partendo
da un insieme definito di assiomi e di regole logiche.
Hans
Reichenbach è stato un filosofo della scienza
tedesco, che ha dato importanti contributi all’interpretazione filosofica della
teoria della relatività, della meccanica quantistica e della termodinamica. Nel
post vengono riportate alcune considerazioni prese da:
Altri due libri consultati, che non
necessitano di ulteriori spiegazioni, sono:
Richard
Feynman, La
fisica di Feynman, Zanichelli
Riporto infine un chiarimento tratto da Wikipedia sulla Curvatura intrinseca ed estrinseca.
Si distinguono due tipi essenziali di curvatura:
- curvatura
estrinseca: è la curvatura posseduta dall'oggetto in relazione ad
uno spazio piatto di dimensione superiore in cui è immerso e determinabile
solo confrontando elementi dell'oggetto in relazione ad elementi dello
spazio contenitore;
- curvatura intrinseca: è la curvatura determinabile utilizzando solo operazioni eseguite su elementi dell'oggetto medesimo.
Una sfera ha invece una curvatura intrinseca, determinabile rimanendo all'interno della superficie stessa: sulla Terra, un percorso che parte dal polo nord scendendo lungo un meridiano, ruota ad angolo retto lungo un parallelo e nuovamente ad angolo retto lungo un altro meridiano, ritorna al punto di partenza. Un percorso analogo eseguito su un piano non ripassa mai per lo stesso punto.
