Il termine pendenza è usato per indicare il grado di
ripidità (o di inclinazione) di una strada, ed è indicata dalla segnaletica
verticale con cartelli di pericolo che ne indicano la pendenza con una
percentuale. Un valore maggiore della pendenza corrisponde a una maggiore
ripidità del tratto di strada.
Un tratto orizzontale ha una pendenza che vale
0% (tangente = 0), un tratto di strada in salita che forma un angolo di 45° con
l'orizzontale ha una pendenza del 100% (tangente = 1); cioè ad ogni spostamento
orizzontale di 100 metri, ne corrisponde uno verticale di pari valore.
La pendenza della strada è definita come la tangente dell'angolo θ di inclinazione:
m
= tan θ
Se si vuole risalire al valore dell'angolo θ a partire dal
valore della pendenza m, basta
applicare la formula di conversione: θ = arctan m
In trigonometria, l’arcotangente
(che viene indicata con arctan o atan) è definita
come inversa della funzione tangente.
In un triangolo rettangolo l'ampiezza di un angolo acuto
equivale all'arcotangente del rapporto
fra il cateto opposto e il cateto
adiacente.
Per il teorema della somma degli angoli interni di un
triangolo, non è difficile dimostrare la relazione:
Grazie alle proprietà della funzione arcotangente, è
possibile derivare formule e algoritmi molto efficienti per il calcolo delle
cifre di pi greco, che sono conosciute come formule di tipo Machin.
William Shanks, nel 1873,
calcolò il valore di pi greco con 707 cifre decimali, facendo uso della formula di John Machin del 1706:
Questo risultato fu in seguito controllato da D.F.Ferguson e J.W.Wrench jr. avvalendosi rispettivamente della formula di Machin
e della seguente formula di Sidney
Luxton Loney:
Calcolarono entrambi 808 cifre decimali ottenendo lo stesso
risultato. Si è avuta così la conferma che le
ultime cifre del valore ricavato da Shanks (a partire dalla 528a)
erano errate.
E ora una bella formula ricavata dal grande matematico Eulero nel 1738:
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Formula di Eulero |
Da
quest’ultima (utilizzando la prima formula di questo post) si può ricavare:
Una bella dimostrazione grafica di questa elegante formula consiste
nel mostrare che la somma degli angoli rosso, verde e blu è proprio pi greco (N.B.
nella seconda immagine, il triangolo blu-verde è isoscele e quindi simile al
triangolo piccolo rosso-nero della prima immagine).
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| https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities |
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