Nel
post: 94.Sezioni di ipercubo si è visto come, sezionando con un piano perpendicolare
ad una diagonale maggiore passante per il baricentro del cubo, si possa ottenere
un esagono regolare:
La spugna di Menger è lo spazio che si ottiene come limite di queste operazioni.
L'insieme di Cantor, introdotto dal matematico tedesco Georg Cantor, è un sottoinsieme dell'intervallo [0, 1] dei numeri reali, definito in modo ricorsivo, rimuovendo ad ogni passo un segmento aperto centrale da ogni intervallo.
Non
è intuitivo, ma è facile da comprendere se si pensa che il numero di lati di un
esagono è 6 e il numero di facce di un cubo è anch’esso 6.
Qui
di seguito saranno presi in considerazione alcuni oggetti frattali, per cui,
prima di proseguire, consiglio di leggere il post: 178. Castel del Monte e Frattali e quello pubblicato da Leonardo Petrillo sul “Tamburo Riparato” che questo mese
cortesemente ospita il Carnevale della
Matematica n.129.
Una
spugna di Menger è definita come segue :
1. si
parte da un cubo,
2. si
divide il cubo in 27 cubi (come per il cubo di Rubik),
3. si rimuove
il cubo centrale e i 6 cubi centrali ad ogni faccia (restano così 20 cubi),
4. si ripeterono
i passi 1 - 3 su ogni nuovo cubo.
Ad ogni
iterazione il numero di buchi aumenta, come mostrato in figura:
La spugna di Menger è lo spazio che si ottiene come limite di queste operazioni.
Nella
sua costruzione del 1926, Karl Menger mostrò che la dimensione di Hausdorff della spugna è log 20 / log 3 approssimativamente 2,726833…
Bene,
se prendete una spugna di Menger e
la sezionate come il cubo visto sopra, ecco quello che otterrete:
Queste
figure sono tratte dal sito di George W.
Hart
Nell’articolo
Seeing Stars viene mostrato che
questa sezione ha dimensione di Hausdorff:
 |
| http://blog.zacharyabel.com/2012/02/seeing-stars/ |
L'insieme di Cantor, introdotto dal matematico tedesco Georg Cantor, è un sottoinsieme dell'intervallo [0, 1] dei numeri reali, definito in modo ricorsivo, rimuovendo ad ogni passo un segmento aperto centrale da ogni intervallo.
L'insieme di Cantor consiste di tutti i punti dell'intervallo di
partenza [0, 1] che non vengono mai rimossi da questo procedimento ricorsivo:
in altre parole, l'insieme che rimane dopo aver iterato questo procedimento
infinite volte, chiamato suggestivamente polvere di Cantor. Questo insieme è un frattale con dimensione di
Hausdorff ln 2 / ln 3 , pari a 0.6309…
Il
tappeto di Sierpinski è anch’esso un
frattale simile all'insieme di Cantor ottenuto a partire da un quadrato,
descritto dal matematico polacco Wacław Sierpiński nel 1916.
La sua dimensione frattale è ln 8 / ln 3 , pari a = 1,8927... (è interessante notare che è
uguale a 3 volte la dimensione di Hausdorff dell’insieme di Cantor). Questo valore è leggermente superiore a quello della sezione riportata sopra.
La
versione tridimensionale del tappeto è la spugna
di Menger.
In figura
è riportato un estratto della lista di frattali per dimensione di Hausdorff
riportata in Wikipedia:
http://www.georgehart.com/rp/half-menger-sponge.html
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/fractals.html
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/fractals.html
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