273. Formule trigonometriche

La trigonometria è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli e lati.

Il compito principale della trigonometria consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo rettangolo (lati, angoli, ecc.) partendo da altre misure note (minimo tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni trigonometriche (le più importanti sono seno e coseno).

Le identità trigonometriche sono relazioni fondamentali tra le funzioni.

Le figure che seguono sono “dimostrazioni” delle formule principali, a volte elementari, a volte meno, che potete trovare, ad esempio, in wikimedia commons.

Duplicazione

Somma e sottrazione

Prostaferesi – (S. H. Kung, 1996)

Per queste relazioni rimando direttamente a

Weisstein, Eric W. Prosthaphaeresis Formulas. MathWorld-A Wolfram Web Resource

 

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Come conseguenza del Teorema di Pitagora si ha la nota relazione

sen² α + cos² α = 1

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Infine, si riportano 2 esempi interessanti della somma di 3 valori della funzione arcotangente e una dimostrazione del primo teorema di Euclide.

 

Arctan

Primo teorema di Euclide

Zibaldone Scientifico: 238. Atan

Zibaldone Scientifico: Risultati di ricerca per euclide

106. Congetture

In matematica una congettura è un'affermazione fondata su dati conosciuti, ritenuta plausibilmente vera, ma non dimostrata (né confutata).

Wikipedia riporta un elenco esaustivo di congetture matematiche all'indirizzo

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_conjectures

In particolare ai numeri primi (divisibili solo per 1 e per se stessi), sono legate molte ipotesi di questo tipo ritenute verosimili e verificate per numeri molto grandi al limite delle potenzialità di calcolo dei più potenti computer.

I numeri primi sono infiniti, come mostrato per la prima volta da Euclide nei suoi Elementi (libro IX, proposizione 20), ma esistono molte altre dimostrazioni che usano una gran varietà di tecniche diverse: ad esempio Eulero lo ricavò dalla divergenza della

 

serie armonica:  1+1/2+1/3+1/4+1/5+…

Si può anche dimostrare la divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi:  1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+…, che può essere ricavata dalla serie armonica eliminando una gran quantità di termini o come si usa dire in questi casi utilizzando il cosiddetto metodo del crivello.

 

 

Si definiscono numeri primi gemelli le coppie di numeri primi che differiscono tra loro di due. Fatta eccezione per la coppia (2, 3), questa è la più piccola differenza possibile fra due primi. Alcuni esempi di coppie di primi gemelli sono 5 e 7, 11 e 13, e 821 e 823.

La congettura dei numeri primi gemelli è un famoso problema irrisolto della teoria dei numeri. Essa fu proposta per la prima volta da Euclide intorno al 300 a.C. e afferma che:

Esistono infiniti numeri primi p tali che anche p+2 sia un numero primo. 

 

Due numeri primi cugini sono una coppia di numeri primi che differiscono di quattro (3, 7), (7, 11), (13, 17),…;  mentre i numeri primi sexy  sono così chiamati dal fatto che "sex" in Latino significa "sei".  Le prime coppie sexy sono (5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37), (37, 43), (41, 47), (47, 53), ...

 

Nel 1849 de Polignac enunciò una congettura più generale la quale ipotizza che, per ogni numero naturale k, esistano infinite coppie di numeri primi che differiscono di un termine pari a 2k. Il caso k = 1 è equivalente alla congettura dei primi gemelli.

 

Nel 1915 Viggo Brun dimostrò che la somma dei reciproci dei primi gemelli converge ad una costante matematica ora chiamata costante di Brun (B₂), la cui miglior stima ha un valore pari a  1,902160583104.

B₂ = (1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+(1/17+1/19)+...

Questa convergenza è in forte contrasto con il fatto che la somma dei reciproci di tutti i numeri primi sia divergente. Se questa serie fosse divergente, ciò implicherebbe una dimostrazione della congettura dei numeri primi gemelli. Poiché invece converge, resta ancora da dimostrare se il numero di primi gemelli sia finito o infinito.

 

Nel 1742, il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse una lettera a Eulero in cui propose la seguente congettura:

 Ogni intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi.

Eulero, interessandosi al problema, rispose riformulando il problema nella seguente versione equivalente:

 Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.

La versione di Eulero è la forma nella quale la congettura è formulata attualmente e viene talvolta chiamata anche congettura forte di Goldbach per distinguerla dalla formulazione originale di Goldbach, nota oggi come congettura debole di Goldbach.

 

Se si costruisce una tabella dove la prima riga elenca i numeri primi n_j, n_j+1, n_j+2, la seconda riga le differenze tra due primi consecutivi d_j = n_j+1 – n_j, d_j+1 = n_j+2 – n_j+1, e nelle righe successive le differenze tra i termini della riga precedente, si mette in evidenza la

congettura di Gilbreath, la quale afferma che il primo valore di queste sequenze sarà sempre uguale a 1, eccetto per la sequenza originale dei numeri primi. La congettura è stata verificata per i numeri primi fino al valore di 10¹³.

  2,  3,  5,  7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

  1,  2,  2,  4,   2,   4,   2,   4,   6,   2, ...

  1,  0,  2,  2,   2,   2,   2,   2,   4,  ...

  1,  2,  0,  0,   0,   0,   0,   2,  ...

  1,  2,  0,  0,   0,   0,   2,  ...

  1,  2,  0,  0,   0,   2,  ...

  1,  2,  0,  0,   2, ...

 

La congettura di Andrica riguarda gli intervalli tra due successivi numeri primi, ed è stata formulata dal matematico romeno Dorin Andrica nel 1986.

Questa congettura afferma che, per ogni coppia di numeri primi consecutivi p_n e p_n+1, si ha:

                             __        _

Esempio:   A₄ = √ 11  -  √ 7  ≈  0,670873

In altri termini, la differenza tra due numeri primi consecutivi è sempre inferiore alla somma delle loro radici.

http://primes.utm.edu/notes/conjectures/

http://www.uni-service.it/il-fantastico-mondo-dei-numeri-primi.html
http://www.primepuzzles.net/conjectures/conj_008.htm
http://ilportaledigiammond.wordpress.com/matematica/curiosita-sui-numeri-primi/
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Ott_02/Cap7.html
http://zibalsc.blogspot.it/2011/02/34-formula-prodotto-di-eulero.html

Abstract - Andrica, Gilbreath, Goldbach  and de Polignac's Conjectures

266. Formule complesse

Il mio amico L. mi ha fatto conoscere questa equazione che mette in relazione le note costanti matematiche e, pi, i, per ricavare un’altra famosa costante:

il numero aureo φ =  1,61803398874989...

Come per l’identità di Eulero, anche in questo caso compaiono contemporaneamente nella stessa formula alcune delle più importanti costanti matematiche.

Per dimostrare la relazione dobbiamo cominciare dalla Sezione Aurea.

Si tratta di dividere un segmento AB in 2 parti (che chiameremo AC e CB) in modo tale che valga la proporzione continua AB : AC = AC : CB

Euclide usò questa formula lavorando sui pentagoni.

Poniamo il segmento più piccolo CB = 1 e AC = x, da cui AB = 1 + x 

La condizione richiesta è perciò: (1 + x) / x = x / 1

Quindi si ha x² – x – 1 = 0

Le soluzioni di questa equazione di secondo grado sono:

La Sezione Aurea fu il punto di partenza per lo studio greco dei pentagoni regolari e di tutto ciò che era associato ad essi, come ad esempio il decagono, il dodecaedro e l’icosaedro. Il decagono si può trovare nella base di molte caffettiere.

Come vedremo poi, se si disegna un pentagono regolare di lato 1, allora le diagonali hanno per lunghezza il numero aureo.

Il termine Sezione Aurea è relativamente recente e pare che fu usato per la prima volta da Martin Ohm (fratello del più famoso Georg Simon Ohm che ha dato il nome alla legge) nel suo libro del 1835.

 

Prima di vedere perché, rivediamo qualche nozione di trigonometria.

La trigonometria studia i triangoli rettangoli a partire dai loro angoli. Il suo compito principale consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi del triangolo (lati, angoli, ecc.) per mezzo di speciali funzioni partendo da misure note.

Le funzioni trigonometriche (le più importanti sono seno e coseno) vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale.

1)    Il seno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza dell'ipotenusa.

2)    Il coseno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa.

La formula di Eulero è una formula nel campo dell'analisi complessa che mostra una profonda relazione fra le funzioni trigonometriche e la funzione esponenziale complessa. L'identità di Eulero è un caso particolare della formula di Eulero.

La formula di Eulero, dal nome del matematico Leonhard Euler, è stata provata per la prima volta da Roger Cotes nel 1714 e poi riscoperta e resa celebre da Eulero nel 1748. Nessuno dei due vide l'interpretazione geometrica della formula: la visione dei numeri complessi come punti nel piano arrivò solo circa 50 anni dopo, per opera di Wessel, Argand e Gauss.

La dimostrazione più diffusa è basata sullo sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale.

La formula di Eulero permette anche di interpretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione esponenziale:

 

formula di Eulero:   e^ix = cos x + i sen x

la formula di Eulero permette anche di interpretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione esponenziale: 

sen x = ( e^ix - e^-ix ) / 2i          cos x = ( e^ix + e^-ix ) / 2

 

Come noto, gli angoli possono essere espressi in diversi modi, i più utilizzati sono i gradi sessagesimali e i radianti. Di seguito, a seconda dello scopo, verranno presi in considerazione entrambi.

Mostriamo ora alcuni angoli notevoli: 30, 36, 45, 60 e 90 gradi.

In particolare, il seno (30°) = ½ (il cui quadrato è uguale a ¼); in modo analogo i quadrati del seno di 45, 60 e 90 gradi sono rispettivamente: 2/4, 3/4 e 4/4.

Un pentagono regolare di lato 1 (per es. DE) ha invece altre particolari proprietà e si può dimostrare che le diagonali (per es. AD) hanno lunghezza φ.

I 2 triangoli isosceli ADE e DCE sono simili per cui AD : DE = DE : CE

Ponendo AD = x  si ha:

x : 1 = 1 : (x – 1)          1 = x² – x          x² – x – 1 = 0

Per cui in analogia a quanto visto sopra: AD = φ

cioè, in un pentagono regolare di lato 1, le diagonali sono uguali a φ

Per il triangolo rettangolo ABC si può quindi ricavare:

cos 36° = AB / AC = φ / 2 = 0,809016994374945…

Combinando questo risultato con la funzione per il coseno, si ottiene l’enunciato iniziale:

Riporto in seguito altre formule notevoli:

 

Zibaldone Scientifico: 89. Ottantanove (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 90. Ottantanove bis (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 139. Sezione aurea immaginaria (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 146. Argomenti Complessi (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 161. Guarda e dimmi (Look and Say) (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 177. Ottagoni e Sezione Aurea (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 228. Quasi (zibalsc.blogspot.com)

Zibaldone Scientifico: 229. Penrose (zibalsc.blogspot.com)

Golden ratio - Wikipedia

Generalizations of Fibonacci numbers - Wikipedia

Formula di De Moivre

Formula di Eulero - Wikipedia

Identità di Eulero

Piano complesso

Radice dell'unità

Rappresentazione dei numeri complessi

Storia dei numeri complessi

Calcinator™ Free Online Mobile Web Scientific Calculator: complex numbers, exponential trigonometric statistics hyperbolic and algebraic functions

218. 1, 2, 3, tanti

George Gamow (Odessa, 1904 – Boulder, 1968), è stato un fisico, cosmologo e divulgatore scientifico russo naturalizzato statunitense. Fu un sostenitore della teoria del Big Bang, e nei suoi lavori predisse l'esistenza della Radiazione cosmica di fondo. Gamow era una persona spiritosa, e quando con Ralph Alpher scrisse il fondamentale articolo sulla cosmogenesi, volle aggiungere il nome di Hans Bethe, così l’articolo fu pubblicato col nome di teoria di Alpher-Bethe-Gamow. Fu anche un brillante divulgatore scientifico; un suo famoso libro “One, Two, Three...Infinity” inizia raccontando che gli Ottentotti (popolazione indigena dell’Africa australe, così chiamata dagli Olandesi) non avevano nel loro vocabolario nomi per indicare i numeri superiori al 3. Quando qualcuno chiedeva ad uno di loro quanti figli avesse, e se il numero era maggiore di 3, l’indigeno rispondeva “tanti”. Più o meno la stessa cosa succede con l’apprendimento scolastico della Geometria. Dopo aver definito il punto e la retta si studiano le figure piane (come quadrati, triangoli e circonferenze), per poi passare ai solidi. Cioè si arriva a contare fino a 3 dimensioni. Per lo studio di oggetti in spazi di dimensione superiore, si parla genericamente di iperspazi (con tante dimensioni).

Si è già parlato in precedenti post di questi argomenti (es.: 154. I (Noti) Solidi Platonici) qui arriveremo a calcolare gli iper-volumi di Tetraedri in qualsiasi dimensione. Partiamo dal punto, che oltre a essere definito negli Elementi di Euclide come ciò che non ha parti, ha anche dimensione zero. Ora prendiamo un secondo punto e congiungiamolo al primo con un segmento di retta; abbiamo ottenuto così un ente geometrico con 1 sola dimensione. Prendiamo poi un terzo punto (esterno alla retta) e colleghiamolo con i 2 precedenti punti; otterremo così un triangolo con 3 lati e 3 vertici (2 dimensioni). Continuando ad aggiungere punti, si costruisce il tetraedro in 3 dimensioni, e poi 4, 5, ecc. Il numero di elementi che compongono i vari enti geometrici, hanno una struttura corrispondente a quella del Triangolo di Tartaglia (o di Pascal):

Nota: una figura chiusa quadridimensionale è composta di vertici, spigoli, facce, e celle. Un vertice è un punto dove si incontrano 4 o più spigoli. Uno spigolo è un segmento dove tre o più facce si incontrano, e una faccia è un poligono dove si incontrano due celle. Una cella è l'analogo tridimensionale di una faccia, ed è pertanto un poliedro.

Passiamo ora al calcolo dei “Volumi”.

I vari punti verranno sempre addizionati, posizionandoli in modo tale che, scegliendo 3 punti (vertici) a caso, si ottengano sempre triangoli equilateri.

In figura è rappresentato un triangolo equilatero e possiamo pensare di essere partiti con il punto in basso a sinistra, abbiamo poi aggiunto quello in basso a destra ed infine il punto in alto. Se congiungiamo il vertice superiore con il centro della base, otteniamo l’altezza “h” relativa alla base. Il punto d’incidenza delle 3 altezze viene chiamato baricentro; mentre la distanza tra centro della base e baricentro viene chiamata apotema. Allo stesso modo possiamo procedere per la costruzione del tetraedro. L’apotema del triangolo vale 1/3 dell’altezza, mentre per il tetraedro il rapporto è 1/4.

Più in generale il Teorema di Commandino stabilisce che:

Il baricentro dell'ipertetraedro appartiene alle mediane e le divide in parti che stanno fra loro nel rapporto 1 : n.

Federico Commandino (Urbino, 1509 – Urbino, 1575) è stato un matematico ed umanista italiano, uno dei maggiori traduttori delle opere dei grandi matematici dell'antichità.

Le varie altezze si possono calcolare con semplici passaggi matematici, reiterando il Teorema di Pitagora; ogni volta si usa lo spigolo come ipotenusa, mentre per cateti si definiscono l’altezza che dobbiamo ricavare e la distanza vertice/baricentro della base. Facciamo 2 esempi:

   1) per calcolare l’altezza di un triangolo equilatero usiamo come ipotenusa il lato e come “cateto noto” il semilato (che corrisponde alla distanza vertice/baricentro del lato);

   2) l’altezza del tetraedro si calcola utilizzando come “cateto noto” <l’altezza del triangolo meno il suo apotema> ed essendo che l’apotema vale 1/3 dell’altezza, il cateto risulta 2/3 di quest’ultima.

Moltiplicandole di volta in volta per i “volumi” calcolati nei passaggi precedenti e dividendo per (n+1), si ottengono i volumi delle corrispondenti dimensioni successive:

Questa formula permette di calcolare il Volume di un Ipertetraedro di spigolo s in n dimensioni.
In tabella sono riportate altezze, volumi e apotemi, con spigolo s di valore unitario:

Per altezze e apotemi sono riportati anche i valori dei loro quadrati, per metterne in evidenza la loro formulazione particolarmente semplice.

   2. Formula di Eulero per i Poliedri
  5. Sezioni di Cubo
 19. Ipertetraedro
 21. Dodecaedro e Cubo
 45. Solidi Platonici
 94. Sezioni di ipercubo
115. Somma di ipersfere
131. Tesseratto

http://www.matematicamente.it/magazine/dicembre2009/123zucco-politopi.pdf

http://zibalsc.blogspot.ch/2014/07/154-i-noti-solidi-platonici.html

http://zibalsc.blogspot.it/2014/07/155-i-solidi-ignoti.html

http://www.mathematische-basteleien.de/hypertetrahedron.htm

http://alldimensions.wikia.com/wiki/Pentachoron


http://zibalsc.blogspot.it/search/label/iperspazio

271. Terne pitagoriche

Una circonferenza può facilmente essere inscritta in un poligono regolare.

Il più semplice è una circonferenza di raggio 1 (con area Pi greco) in un quadrato di lato 2 :

Altri 2 esempi sono il triangolo equilatero e l’esagono:

I triangoli (rettangoli) i cui lati formano una Terna Pitagorica meritano un discorso a parte.

Una terna pitagorica è una sequenza di tre numeri interi positivi (a, b, c) tali che  a² + b² = c². Il nome deriva dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.

Valgono le seguenti condizioni:

•   i tre numeri NON possono essere tutti pari (altrimenti la terna non sarebbe primitiva)

•       i tre numeri NON possono essere tutti dispari (il quadrato di un dispari è dispari ma la somma di due dispari è pari)

•       NON ci possono essere due numeri pari e uno dispari. Quindi una terna pitagorica primitiva DEVE avere due numeri dispari e uno pari

•      l'ipotenusa DEVE essere dispari (altrimenti il suo quadrato sarebbe la somma di due dispari e quindi divisibile per 2 ma non per 4)

•         dai punti precedenti segue che a+b+c e a+b-c DEVONO essere pari

Prima di proseguire introduco alcune importanti formule.

La formula di Erone consente di calcolare l’area di un triangolo conoscendo solamente la lunghezza dei suoi tre lati:

dove p è il semiperimetro  p = ( a + b + c ) / 2

La misura del Raggio del cerchio inscritto in un triangolo qualsiasi è pari al rapporto tra il doppio dell'area del triangolo e la misura del suo perimetro:  

R = 2A / P

Quindi, per calcolare Perimetro e Area del triangolo e successivamente il Raggio della circonferenza inscritta, bastano i 3 lati del triangolo.

Per un triangolo rettangolo la formula precedente diventa:

R = 2A / P = ab / (a+b+c) o più semplicemente: 

R = ½ (a+b–c)

Elenco qui sotto le terne pitagoriche con ipotenusa minore di 100; in tabella vengono anche riportati il perimetro P e l’area A del triangolo, con il rapporto R = 2A / P                        A014498 - OEIS 

Questo rapporto è un numero naturale, per cui l’area della circonferenza inscritta nel triangolo è un multiplo intero di Pi greco.

Più in generale vale: in ogni triangolo rettangolo il raggio della circonferenza inscritta e i 3 ex-raggi delle 3 circonferenze ex-inscritte sono numeri naturali

R = ½ (a+b–c);   R_a = ½ (a+c–b);   R_b = ½ (b+c–a);   R_c = ½ (a+b+c)

Pitagora   (tra il 580 a.C. e il 570 a.C. – 495 a.C.)

Euclide      (IV secolo a.C. – III secolo a.C.)

Erone        (I secolo d.C.)

Esercizio: per le terne pitagoriche, dimostrare: ab/(a+b+c) = ½ (a+b–c)

Pythagorean Triple -- from Wolfram MathWorld

Pythagorean triple - Wikipedia

Formula di Erone - Wikipedia

Pythagorean Triangles di Waclaw Sierpinski, DOVER