Nel
post “29. Prodotti Infiniti: Wallis e Pippenger” si sono visti il prodotto di Wallis (ricavato nel 1655 da John Wallis) che permette di calcolare il
valore di pi greco con il semplice
prodotto infinito:
http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html
http://mathworld.wolfram.com/PippengerProduct.html
Ora
se raggruppiamo i termini a coppie in 2 modi differenti:
-
prima
moltiplichiamo tra di loro la seconda e la terza frazione, la quarta e la
quinta, ecc.
-
successivamente,
la prima e la seconda, la terza e la quarta, ecc.
otteniamo:
Lasciando
al primo membro il 2 e portando sulla destra dell’uguaglianza tutte le atre
frazioni, abbiamo come risultato la formula che nel post citato veniva
riportata senza dimostrazione:
Un
altro modo per ottenere lo stesso risultato è di utilizzare la coppia di
formule fornita da D.W.Cantrell nel 2006 (qui riporto solo quella per k pari) che permettono
di ottenere il valore del prodotto infinito:
Come
caso particolare (per n=2) si ottiene ancora la formula precedente:
Vedi
formula (21) nel sito Wolfram Math World :
Dove
si può trovare un ampio elenco di prodotti infiniti.
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