mercoledì 23 luglio 2014

155. I Solidi Ignoti

Rinunciando all’omogeneità delle facce, si ricavano i 13 solidi archimedei, con nomi più esotici dei solidi platonici (ad es. il dodecaedro camuso).

Alcune loro semplici proprietà sono:

-       le facce sono costituite da due o più tipi di poligoni regolari i cui vertici sono omogenei, cioè le cuspidi intorno ai vertici sono tutte identiche (sono ottenibili una dall'altra tramite rotazione);
 
-       gli spigoli di un poliedro archimedeo hanno tutti la stessa lunghezza.

Partendo dall'icosaedro e troncando le 12 cuspidi ad 1/3 della lunghezza dello spigolo, si ottiene l’icosaedro troncato.

Può capitare di trovare esempi di questo tipo di solido nei giochi per bambini sulle spiagge o più comunemente nei classici palloni da calcio.

 

 
L’icosaedro troncato ha 32 facce (divise in 20 esagoni e 12 pentagoni), 90 spigoli e 60 vertici, in ciascuno dei quali concorrono due esagoni e un pentagono.

I 20 esagoni derivano dai 20 triangoli (facce dell’icosaedro), mentre i 12 pentagoni sono ricavati dai 12 vertici dell’icosaedro (su ogni vertice insistono 5 facce).
Con semplici ragionamenti si possono anche ricavare il numero di spigoli e vertici.

 

I 13 solidi duali dei solidi archimedei sono detti poliedri di Catalan dal nome del matematico belga Eugène Charles Catalan.


Il poliedro duale dell'icosaedro troncato è il pentacisdodecaedro.

 

Il pentacisdodecaedro può essere ottenuto incollando piramidi pentagonali su ognuna delle 12 facce del dodecaedro. È un poliedro non regolare, le cui 60 facce sono identici triangoli isosceli.


Una ulteriore generalizzazione si ottiene con i 92 solidi di Johnson.

 
 
 

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