martedì 18 dicembre 2012

106. Congetture

In matematica una congettura è un'affermazione fondata su dati conosciuti, ritenuta plausibilmente vera, ma non dimostrata ( confutata).

Wikipedia riporta un elenco esaustivo di congetture matematiche all'indirizzo


In particolare ai numeri primi (divisibili solo per 1 e per se stessi), sono legate molte ipotesi di questo tipo ritenute verosimili e verificate per numeri molto grandi al limite delle potenzialità di calcolo dei più potenti computer.

I numeri primi sono infiniti, come mostrato per la prima volta da Euclide nei suoi Elementi (libro IX, proposizione 20), ma esistono molte altre dimostrazioni che usano una gran varietà di tecniche diverse: ad esempio Eulero lo ricavò dalla divergenza della
 
serie armonica:  1+1/2+1/3+1/4+1/5+…

Si può anche dimostrare la divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi:  1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+…, che può essere ricavata dalla serie armonica eliminando una gran quantità di termini o come si usa dire in questi casi utilizzando il cosiddetto metodo del crivello.
 
 
Si definiscono numeri primi gemelli le coppie di numeri primi che differiscono tra loro di due. Fatta eccezione per la coppia (2, 3), questa è la più piccola differenza possibile fra due primi. Alcuni esempi di coppie di primi gemelli sono 5 e 7, 11 e 13, e 821 e 823.
La congettura dei numeri primi gemelli è un famoso problema irrisolto della teoria dei numeri. Essa fu proposta per la prima volta da Euclide intorno al 300 a.C. e afferma che:

Esistono infiniti numeri primi p tali che anche p+2 sia un numero primo. 

 

Due numeri primi cugini sono una coppia di numeri primi che differiscono di quattro (3, 7), (7, 11), (13, 17),…;  mentre i numeri primi sexy  sono così chiamati dal fatto che "sex" in Latino significa "sei".  Le prime coppie sexy sono (5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37), (37, 43), (41, 47), (47, 53), ...
 

Nel 1849 de Polignac enunciò una congettura più generale la quale ipotizza che, per ogni numero naturale k, esistano infinite coppie di numeri primi che differiscono di un termine pari a 2k. Il caso k = 1 è equivalente alla congettura dei primi gemelli.
 

Nel 1915 Viggo Brun dimostrò che la somma dei reciproci dei primi gemelli converge ad una costante matematica ora chiamata costante di Brun (B2), la cui miglior stima ha un valore pari a  1,902160583104.

B2 = (1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+(1/17+1/19)+...

Questa convergenza è in forte contrasto con il fatto che la somma dei reciproci di tutti i numeri primi sia divergente. Se questa serie fosse divergenteciò implicherebbe una dimostrazione della congettura dei numeri primi gemelli. Poiché invece converge, resta ancora da dimostrare se il numero di primi gemelli sia finito o infinito.
 

Nel 1742, il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse una lettera a Eulero in cui propose la seguente congettura:

 Ogni intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi.

Eulero, interessandosi al problema, rispose riformulando il problema nella seguente versione equivalente:

 Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.

La versione di Eulero è la forma nella quale la congettura è formulata attualmente e viene talvolta chiamata anche congettura forte di Goldbach per distinguerla dalla formulazione originale di Goldbach, nota oggi come congettura debole di Goldbach.

 
Se si costruisce una tabella dove la prima riga elenca i numeri primi nj, nj+1, nj+2, la seconda riga le differenze tra due primi consecutivi dj = nj+1 – nj, dj+1 = nj+2 – nj+1, e nelle righe successive le differenze tra i termini della riga precedente, si mette in evidenza la
congettura di Gilbreath, la quale afferma che il primo valore di queste sequenze sarà sempre uguale a 1, eccetto per la sequenza originale dei numeri primi. La congettura è stata verificata per i numeri primi fino al valore di 1013.

  2,  3,  5,  7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

  1,  2,  2,  4,   2,   4,   2,   4,   6,   2, ...

  1,  0,  2,  2,   2,   2,   2,   2,   4,  ...

  1,  2,  0,  0,   0,   0,   0,   2,  ...

  1,  2,  0,  0,   0,   0,   2,  ...

  1,  2,  0,  0,   0,   2,  ...

  1,  2,  0,  0,   2, ...

 
La congettura di Andrica riguarda gli intervalli tra due successivi numeri primi, ed è stata formulata dal matematico romeno Dorin Andrica nel 1986.

Questa congettura afferma che, per ogni coppia di numeri primi consecutivi pn e pn+1, si ha:

                             __        _
Esempio:   A4 = √ 11  -  √ 7   0,670873

In altri termini, la differenza tra due numeri primi consecutivi è sempre inferiore alla somma delle loro radici.

http://www.uni-service.it/il-fantastico-mondo-dei-numeri-primi.html
http://www.primepuzzles.net/conjectures/conj_008.htm
http://ilportaledigiammond.wordpress.com/matematica/curiosita-sui-numeri-primi/
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Ott_02/Cap7.html
http://zibalsc.blogspot.it/2011/02/34-formula-prodotto-di-eulero.html

Abstract - Andrica, Gilbreath, Goldbach  and de Polignac's Conjectures

1 commento:

  1. Caro Zib, complimenti per questo magnifico post! Veramente bello ed interessante!
    Seguo da tempo il tuo blog e colgo l'occasione per porgerti i miei complimenti!
    Ti consiglio, dato che non hai fatto in tempo a partecipare al Carnevale della Matematica che ho ospitato, di partecipare al successivo, il n.57, che verrà ospitato sul blog http://www.lanostra-matematica.org/
    Un salutone!
    Leonardo

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