162. Grandi Numeri

"Fa più rumore un albero che cade di una foresta che cresce"

Lao Tzu

Il tema di questo mese del Carnevale della Matematica, ospitato da Mr. Palomar, “Matematica mostruosa, spaventosa, vertiginosa” è molto stimolante per il fatto che diversi argomenti di matematica danno un certo senso di vertigine…

I frattali forniscono un esempio di come con continui ingrandimenti si riescano ad ottenere sempre nuove figure, anche se in qualche modo auto-simili, che danno la sensazione di precipitare in un pozzo senza fondo.



Insieme di Mandelbrot

Anche alcune comuni funzioni dotate di asintoti verticali, come le funzioni  f(x) = 1/x  oppure f(x) = tg(x), tendono all’infinito nell’intorno di alcuni valori, assumendo nel percorso qualsiasi numero: intero, razionale, irrazionale o trascendente che sia.

Ci sono però alcune funzioni che rendono bene il concetto di grandi numeri.

Knuth's up-arrow notation – l’idea è basata sul fatto che, in matematica, la moltiplicazione può essere vista come un’addizione iterata e la potenza come una moltiplicazione iterata. Alla stessa stregua iterando la potenza si arriva alla definizione di tetrazione:

  dove “a” compare “b” volte

Donald Knuth ha utilizzato la notazione freccia in su per la codifica, dove una freccia indica la potenza, due frecce la tetrazione, ecc.:     + , x , ↑ , ↑↑ , …

All’interno de “Il libro dei numeri” John Horton Conway e Richard K. Guy definiscono numeri di Ackermann la sequenza:

1↑1 = 1¹ = 1

2↑↑2 = 2↑2 = 2² = 4
3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑(3↑3↑3)  =  3↑↑7625597484987
4↑↑↑↑4 = 4↑↑↑4↑↑↑4↑↑↑4 = …

Il terzo numero di Ackermann è   ^{7625597484987}3   cioè  

dove  “3”  compare  7625597484987 volte.

Tralascio lo sviluppo del quarto numero, che potete trovare qui.

Ovviamente si possono definire numeri decisamente più grandi, come ad esempio il numero di Graham, considerato il primo numero di grandezza inconcepibile ad essere utilizzato in una seria dimostrazione matematica (riguardo ad un problema della teoria di Ramsey). Per un ulteriore approfondimento potete anche consultare un post del 2013 dell'ospite di questo Carnevale o quello del 2012 di mau.

D’altro canto se pensiamo alle dimensioni o all’età dell’Universo ci rendiamo conto che i numeri in gioco sono più contenuti.

Per chi volesse festeggiare il proprio primo miliardesimo secondo, un miliardo di secondi corrisponde a poco più di 31 anni e mezzo. L’età dell’Universo (espressa in secondi) è rappresentata da una cifra con “solo” 17 zeri; come dire che volendo contare il numero di atomi contenuti in un milligrammo di materia a partire dal Big Bang, si dovrebbe tenere un ritmo di almeno 100 atomi/secondo.

Quello che abbiamo visto sino ad ora tratta di “grandi numeri” che crescono molto velocemente. Ma non bisogna dimenticare che qualsiasi funzione che cresca in modo monotono, raggiunge e supera, prima o poi, questi valori.

Si potrebbe continuare accennando alla Teoria degli Insiemi sviluppata da George Cantor;  dove, oltre che ad insiemi finiti, si fa riferimento ad insiemi infiniti,  come

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} che contiene “tutti” i numeri naturali, ma non “tutti” i numeri reali (che avendo una cardinalità maggiore) sono di un altro tipo di infinito. Ma Cantor non si è accontentato di questo e ha fornito un metodo per costruire insieme infiniti sempre più grandi.

La citazione di Lao Tzu fatta all’inizio, diventata famosa anche per essere stata riportata su molte magliette o negli incipit di parecchi libri, serve a ricordare come nella matematica che si impara durante un normale corso di studi siano contenuti concetti mostruosi, spaventosi e vertiginosi, che crescendo con noi facevano poco rumore.

Lao Tzu è una figura leggendaria della filosofia cinese. La tradizione tramanda che sia vissuto nel VI secolo a.C. ed è considerato il fondatore del Taoismo.

Alcuni affermano che un giorno abbandonò le sue attività e intraprese un viaggiò verso Occidente con il suo bufalo, attraverso lo Stato di Qin. Arrivato al posto di guardia di Hangu, Lao Tzu fu interpellato da un ufficiale, il quale gli chiese di lasciare qualche scritto sulla sua filosofia prima di andarsene. La risposta di Lao Tzu all'ufficiale furono i cinquemila ideogrammi del Tao Te Ching, la prima e unica opera scritta del filosofo.

Lao Tzu lasciò il suo testo su tavolette di bambù al guardiano.

Fatto questo ripartì e scomparve nelle distese desertiche senza essere mai più visto.

 

Tratto da:  http://it.wikipedia.org/wiki/Laozi

Volevo cambiare il mondo, ma ho perso lo scontrino.

Letto su una T-shirt

http://mrob.com/pub/math/largenum-7.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Large_numbers

http://en.wikipedia.org/wiki/Names_of_large_numbers
http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number
http://mathworld.wolfram.com/GrahamsNumber.html
http://misterpalomar.blogspot.it/2013/09/nomi-di-numeri-parte-seconda.html
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/Archimede%20e%20i%20grandi%20numeri/Archimede.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function#Ackermann_numbers
http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Skewes

161. Guarda e dimmi (Look and Say)

John Horton Conway viene citato in questo Blog ogni anno quando si fa riferimento al Doomsday o, per esempio, nel post:  113. Let Me Through.

E’ un noto matematico britannico, residente a Princeton, attivo nella teoria dei gruppi finiti, teoria dei nodi, teoria dei numeri, teoria combinatoria dei giochi e teoria dei codici.

Un altro suo stravagante risultato è la sequenza look-and-say:

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, 31131211131221, 13211311123113112211,  11131221133112132113212221,  …

in cui ogni termine è costruito "leggendo" il termine precedente nella sequenza.

Ad esempio, il termine 1 viene letto come "una volta 1", che diventa: 11;

il numero 11 viene letto come "due volte 1", che diventa: 21 
e così via.

La cosa notevole di questa sequenza è che, anche se a prima vista sembra essere del tutto arbitraria e non matematica, ha alcune caratteristiche interessanti che sono state evidenziate da Conway. Più in particolare, ha mostrato che il numero di cifre in ciascun termine della successione in media cresce di circa il 30% da un termine all'altro:

1, 2, 2, 4, 6, 6, 8, 10, 14, 20, 26, 34, 46, 62, 78, 102, 134, 176, 226, 302, 408, 528, 678, 904, 1182, 1540, 2012, 2606, 3410, 4462, 5808, 7586, 9898, 12884, 16774, 21890, 28528, 37158, 48410, 63138, 82350, …

Più specificamente, ha mostrato che se L_n è il numero di cifre per il termine n-esimo della sequenza, allora il limite del rapporto del termine n-esimo diviso il precedente vale:

                                    L_n  / L_n-1  =  1,303577269…

La stesso risultato si ottiene per ogni numero di partenza, tranne che per 22.

In questo caso si legge sempre “due volte 2” in modo ricorrente.

Un esaustivo approfondimento lo si può trovare nel sito del Politecnico di Torino:

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/probegio/GAMEMATH/Looksay/LookSay.htm

Che il rapporto di due termini consecutivi di una sequenza converga ad un valore costante, avviene anche i numeri di Fibonacci dove il rapporto in questo caso tende al numero aureo Φ al crescere di n.

Per un altro esempio si può vedere il “numero di plastica” 1,324717957244746...  e la relativa “successione di Padovan”.

http://en.wikipedia.org/wiki/Look-and-say_sequence

http://oeis.org/A005150

http://oeis.org/search?q=A005150+-id:A005150

http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_plastica

http://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_Padovan

http://zibalsc.blogspot.it/2011/12/90-ottantanove-bis.html

160. Un’Ostinata Illusione

Qualche anno orsono, non esisteva ancora Street View, mi è venuta la curiosità di vedere dove “finiva” il naviglio.

Il Naviglio Grande nasce dal Ticino poco prima di Turbigo. La portata è di 64 m³ al secondo in estate e di 35 in inverno. Le cronache del duecento narrano dell'inizio dei lavori intorno al 1177; nel 1187 il naviglio giunse a Trezzano e nel 1211 alle porte di Milano, a Sant'Eustorgio, nei pressi dell'attuale porta Ticinese.

Da questo punto di arrivo (la darsena) qualche secolo dopo venne costruito il Naviglio Pavese, un canale navigabile che unisce Milano a Pavia. Il dislivello tra la darsena di porta Ticinese e il Ticino è di 56,6 metri, dei quali 4,40 sono superati dall'inclinazione del fondo, mentre agli altri 52,2 provvedono dodici conche con cascate. L'ultima conca è assai profonda, in modo da poter funzionare sia in regime di piena che di magra del Ticino.

Attraversata Pavia sono giunto in viale Partigiani, qui:

Dopo qualche anno ho scoperto che cos’era il fabbricato che si vede sulla sinistra.

Hermann Einstein (Bad Buchau, 30 agosto 1847 – Milano, 10 ottobre 1902), padre di Albert e Maja, era un proprietario di fabbriche elettrotecniche che dalla Germania approdò, con il fratello ingegnere Jacob e le rispettive famiglie, prima a Pavia, poi a Milano, a causa di dissesti finanziari. Infatti, dopo alcuni anni di prosperità, elettrificando anche il sito in cui si svolgeva l'Oktoberfest, i due furono costretti a liquidare la piccola fabbrica che possedevano a Monaco e a volgere l’attenzione verso il mercato italiano, impiantando un nuovo stabilimento a Pavia nel 1894, in società con l’ingegnere italiano Lorenzo Garrone.

Nel marzo 1894 a Pavia vengono fondate le Officine Elettrotecniche Nazionali Einstein-Garrone e nell’autunno, in pochi mesi, viene costruita una grande fabbrica, presso un doppio salto del Naviglio, strategico per la produzione di energia elettrica (quella che si vede nella foto riportata sopra).

 

La famiglia di Albert trovò la residenza in una casa signorile abitata in precedenza da Ugo Foscolo (1778-1827) ora via Foscolo 11. Durante questo periodo, Albert venne incoraggiato a frequentare le "Officine Einstein-Garrone" e a interessarsi delle macchine elettriche. Fu anche una stagione di intense relazioni sociali; la famiglia Einstein si era infatti integrata bene nell’ambiente borghese pavese, stringendo amicizia soprattutto con la famiglia Marangoni.

Fu così che Ernesta, figlia primogenita di Giulio Marangoni e di Rachele Venco, nata a Casteggio, un paese a circa 25 km a sud di Pavia, all’epoca diciannovenne, conobbe Maja ed Albert; i tre iniziarono a frequentarsi assiduamente. Furono mesi di vita spensierata trascorsi tra gite in campagna, bagni al lido sul fiume Ticino, incontri musicali settimanali dedicati all’esecuzione di autori classici tedeschi.

Parecchi anni più tardi, nel 1955, il soggiorno pavese di Albert fu rievocato da Ernesta in persona, la quale rese altresì nota la corrispondenza intercorsa fra loro nel 1946, a guerra finita. 

«Alberto lo conobbi in un pomeriggio estivo in cui era in vacanza tra due semestri, allo stabilimento bagni in Ticino, e mi parve un giovinetto un po’ delicato ma sano – un po’ scialbo di tinte, occhi scuri, capelli castani non neri come quelli della sorella e come divennero in seguito». In questi incontri estivi Albert che «parlava abbastanza bene l’italiano – proseguiva Ernestina – le boutades le lanciava in tedesco, lasciandole poi tradurre dalla sorella».

Ernestina aggiungeva inoltre a queste cronache altri episodi anche scientifici che riguardavano il dono da parte del giovane Einstein di un lavoro manoscritto dal titolo: Sull’elettricità e la corrente elettrica (oggi perduto), mentre divertita descriveva il brillante viaggio con l’amico Otto Neustätter che egli compì via tram da Pavia e a piedi da Voghera fino a Genova per visitare lo zio Jacob Koch.

Ernesta visse a lungo fino al 1972 quando, ultranovantenne, si spense nella sua casa di Casteggio.

Dopo poco tempo gli Einstein si spostarono in via Bigli 21 a Milano e qui impiantarono una piccola officina per la produzione di dinamo e macchinari elettrici, in via Lecchi, nella zona del Naviglio Pavese; probabilmente anche in questo caso l’acqua del naviglio forniva l’energia elettrica necessaria alla fabbrica.

 

L'edificio di via Bigli 21 è un palazzo caratteristico della vecchia Milano, con il portone affondato in un grande arco, dove aveva abitato anche la contessa Clara Maffei. Nello stesso periodo sull’altro lato di via Manzoni, nell’allora Albergo Milano, oggi Grand Hotel et de Milan, era solito risiedere Giuseppe Verdi (1813-1901).

Come al solito, le cose andarono bene per qualche anno, Hermann aveva vinto le concessioni per i sistemi di illuminazione nelle cittadine di Canneto sull’Oglio e Isola della Scala, finché cominciarono a fargli pressione perché pagasse i suoi debiti.

L’officina di via Lecchi rimase comunque in funzione fino alla morte del padre di Einstein che da allora riposa al Cimitero Monumentale nel Civico mausoleo Palanti. Nell’edicola, oltre alla famiglia Palanti, sono sepolti tra gli altri: Franco Parenti, Walter Chiari, Giovanni D'Anzi, Virgilio Ferrari, Paolo Grassi e il padre di un noto Presidente del Consiglio.

In quegli anni Einstein conobbe Michele Besso, che rimase suo intimo amico per tutta la vita e l'unica persona alla quale dette credito di aver contribuito al lavoro del 1905 sulla Relatività Ristretta. Lo ringraziò scrivendo: “... concludendo, tengo a dire che l'amico e collega M. Besso mi ha costantemente prestato la sua preziosa collaborazione mentre lavoravo a questo argomento, e che gli sono debitore di parecchi interessanti suggerimenti”.

Besso lo anticipò di meno di un mese nella morte e in una lettera che scrisse ai familiari Einstein concludeva con l’emblematica frase:

«Per noi che crediamo nella fisica, la divisione tra passato, presente e futuro ha solo il valore di un’ostinata illusione»

Einstein A., «Lettera del 21 marzo 1955»

 

https://scienzaa2voci.unibo.it/biografie/817-marangoni-pelizza-ernesta-ernestina

http://it.wikipedia.org/wiki/Civico_mausoleo_Palanti

http://ricerca.gelocal.it/laprovinciapavese/archivio/laprovinciapavese/2005/06/19/PR1PN_PR103.html

http://ricerca.gelocal.it/laprovinciapavese/archivio/laprovinciapavese/2005/01/28/PT1PO_PT101.html

http://cronologia.leonardo.it/storia/biografie/einstein.htm

http://www.paviaedintorni.it/temi/attivita_professioni_file/attivit%C3%A0industriali_file/industrievarie_file/descrizione_einstein.htm
http://www.pv.camcom.it/index.phtml?Id_VMenu=568

http://plus.maths.org/content/what-time-0

159. Coppa di Pitagora

Essendo cresciuto con le letture di Topolino e della sua rubrica “Salvator Gotta risponde a…”, ci sono voluti diversi anni per capire che Archimede Pitagorico era l’insieme di due personaggi.

Il "creatore" di Archimede Pitagorico fu Carl Barks (27/03/1901-25/08/2000), che lavorò per la Walt Disney attuando una rivoluzione nel campo della narrativa a fumetti.  Inventò lui la città di Paperopoli e si dedicò anche alla creazione di molti suoi abitanti, fra i quali Paperon de Paperoni, Amelia, la banda Bassotti, Ciccio e le Giovani Marmotte.

Archimede Pitagorico è “nato” con il nome di Gyro Gearloose (giroscopio svitato) e impersona alcuni dei caratteri che sono entrati nel "mito di Archimede": essere un inventore eccentrico e geniale. Esordì in Italia con il fumetto numero 45 di Topolino nella storia "Paperino e l'amuleto del cugino Gastone" con il nome, appunto, di Archimede Pitagorico. Fu battezzato così da Guido Martina che decise di rendere omaggio contemporaneamente al grande matematico greco Pitagora (Samo, 570 a.C. circa – Metaponto, 495 a.C. circa) e al non meno illustre scienziato siracusano Archimede (Siracusa, 287 a.C. circa – Siracusa, 212 a.C.).

Si usa dire "Supplizio di Tantalo" quando si vuole spiegare lo stato d’animo di qualcuno che desidera molto qualcosa, ma non la può avere.

Tantalo (mitologia greca) era il re di Sipilo, figlio di Zeus e per questo veniva invitato alla mensa degli dei. Un giorno se ne approfittò e rubò nettare e ambrosia, fonti dell’immortalità, causando l’ira e la punizione degli dei, che lo incatenarono a un albero di frutta vicino a una fonte d’acqua fresca.

Appena lo sfortunato si avvicinava ai frutti e all’acqua, questi si ritraevano impedendogli per sempre di mangiare e bere.

La coppa di Pitagora (o coppa di Tantalo) è un tipo di coppa che obbliga l'utilizzatore a riempirla con parsimonia. L'invenzione, attribuita appunto a Pitagora, permette a chi la usa di riempirla solo fino ad un certo livello. Oltre il quale la coppa riversa il suo intero contenuto dal fondo.

Quando la coppa viene riempita, il liquido sale e viene anche riempita la gamba corta della U rovesciata (per il principio dei vasi comunicanti). Se il riempimento non supera la linea tratteggiata, la coppa è un normalissimo contenitore. Allorché il livello supera il culmine della U rovesciata, il liquido inizia a fluire nella gamba lunga della U e si riversa dal fondo. La pressione idrostatica così formata va a creare un sifone nella colonna centrale causando il totale svuotamento della coppa attraverso il buco alla base della colonna.

Una volta innescato il flusso nel sifone, non occorre ulteriore energia per mantenerlo a regime.

Esistono anche forme moderne della coppa come ad esempio quella riportata sotto.

http://progettomatematica.dm.unibo.it/ARCHIMEDE/fumetti.htm

http://it.wikipedia.org/wiki/Coppa_di_Pitagora

http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_cup

https://www.kleinbottle.com/Tantalus.html

http://freeandhandy.com/the-pythagorean-cup-and-siphons/

158. Meridiane

Sul lungomare di Marina di Massa (Piazza del Pontile) mi è recentemente capitato di vedere una meridiana equatoriale realizzata da Giovanni Del Freo nel 1995.

Dopo una breve ricerca ho trovato che nel sito del Gruppo Astronomico Viareggio sono riportate molte meridiane dell’Archivio quadranti solari provincia di Massa Carrara.

Per comprendere il funzionamento di una Meridiana bisogna pensare che il suo asse (Gnomone) deve essere posizionato in direzione della stella Polare o (che è la stessa cosa) parallelo all’asse terrestre.

Cioè la direzione dell’asse non varia nel tempo.

Per essere precisi è sottoposto alla variazione dei moti millenari come ad esempio:

• Precessione degli equinozi: risultato del movimento doppio-conico dell'asse terrestre per l'azione gravitazionale della Luna e del Sole e per la rotazione terrestre.
• Variazione dell'inclinazione dell'asse terrestre:  variazione che l'asse di rotazione della Terra forma con il piano dell'orbita e varia da un massimo di 24°20' a un minimo di 21°55' ogni 40.000 anni, attualmente è di 23°27'.
• In aggiunta a questa variazione c'è un'altra variazione dell'inclinazione assiale, la nutazione, che ha un periodo molto più breve: 18,6 anni.

La Terra, come gli altri pianeti, ha 2 moti principali: rotazione e rivoluzione.

 

 

Moto di rotazione attorno al proprio asse: per una rotazione completa rispetto al Sole la Terra impiega 24 ore e il movimento apparente della volta celeste è una conseguenza di questo moto.
 

Moto di rivoluzione: è il movimento della Terra attorno al Sole.

Nel nostro sistema solare, il piano orbitale della Terra è noto come piano dell'eclittica.

La Terra ha un'inclinazione assiale di 23° 27'. È inclinata nella stessa direzione per tutto l'anno. Tuttavia, dato che la Terra orbita attorno al Sole, l'emisfero inclinato verso il Sole gradualmente viene a trovarsi in direzione opposta, e viceversa. Questa è la causa principale dell'alternarsi delle stagioni. Quando un emisfero è inclinato verso il Sole ha giorni più lunghi e notti più corte. L'inclinazione assiale non solo causa il variare delle ore di luce, ma provoca anche l'angolazione con cui la luce colpisce la terra, più verticale in estate, meno in inverno.

 

Se ci poniamo in un determinato luogo di latitudine L, l’angolo dell’asse della Meridiana (gnomon in rosso) dovrà essere inclinato dello stesso angolo L rispetto al piano dell’orizzonte (horizon in blu).

All’Equatore sarà parallelo al pavimento, mentre ai Poli perpendicolare.
 



Sundial in Singapore Botanic Gardens.  1° 18′ 54.36″ N, 103° 48′ 58.32″ E

 

Se dovessimo porre una Meridiana a Borgonovo Val Tidone, Casalmaggiore o Moncalieri, che si trovano alla latitudine di 45 gradi, esattamente a metà strada tra l’Equatore e il Polo Nord, dovremmo inclinare lo Gnomone di 45 gradi.

 

Il Jantar Mantar è un osservatorio astronomico all'aria aperta i cui enormi strumenti astronomici sono costruiti in pietra. Si trova a Jaipur, una corporazione municipale capoluogo del distretto di Jaipur, nello stato federato del Rajasthan (India).

La città è situata a 26° 55' N e 75° 49' E  ed è ricca di monumenti.

Samrat Yantra

 

Il Jantar Mantar, è un complesso di architetture con funzione di strumenti astronomici costruito a Jaipur, in India, dal maharaja Jai Singh II tra 1727 e 1734 sul modello delle analoghe strutture costruite a Delhi. Complessivamente il maharaja costruì cinque strutture similari; oltre a quelle di Delhi e di Jaipur, anche a Ujjain, Mathura e Varanasi. Quello di Jaipur è il più grande dei cinque ed anche il meglio conservato. Jantar ("strumento") e Mantar ("calcolo").   Lo Samrat Yantra, è lo strumento più grande (27 m di altezza).

Ha un’inclinazione di 27 gradi, la latitudine di Jaipur.  La sua ombra si muove di circa 1 mm per secondo (6 cm al minuto).

Chi volesse approfondire l’argomento può leggere il libro di :

Roberto Casati, Dov’e’ il Sole di notte?, 2013, Raffaello Cortina Editore

 

 

Domanda: come sarebbero le stagioni se l’inclinazione dell’asse sull’eclittica fosse quasi 90 gradi (come quella di Urano)?

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Sundial

http://en.wikipedia.org/wiki/Jantar_Mantar_(Jaipur)
 

http://zibalsc.blogspot.fr/2013/03/117-equinozio-di-primavera.html

http://zibalsc.blogspot.it/2012/12/107-lombra-di-mezzogiorno.html

http://www.aryabhatt.com/samrat_yantra.htm

http://www.webalice.it/marioburzio/istituto_comprensivo_venasca/istituto_comprensivo_venasca/sm_venasca/a.s._2010_2011/ricerca_multidisciplinare_barra_paola_20.6.2011/Esame%20Paola%20Barra%20Venasca/Scienze_esposizione%20orale.html

http://www.heraldo.es/noticias/aragon/zaragoza_provincia/zaragoza/2013/10/01/el_gigante_del_tiempo_vadorrey_guinness_world_record_251195_301.html