Viene considerata “armonica” un’oscillazione pura priva di distorsioni, cioè che vibra a una singola frequenza senza armoniche superiori.
Ad esempio la sinusoide, una funzione periodica oscillante,
regolare e continua; nella forma più semplice
y =
sen(x)
o in generale y(t) = A sen(ωt + φ) ; con ampiezza A, velocità angolare 𝜔 e fase φ.
Sen(x) oscilla tra +1 e -1; partendo da 0, cresce fino a 1,
torna a 0, scende a –1, per tornare a 0 in 2π; è periodica e si ripete ogni 2π.
Secondo il teorema di Fourier, qualsiasi onda può essere
scomposta come somma di funzioni seno e coseno.
L’area di una semionda è semplice da calcolare: l’integrale
di sen(x) è -cos(x), da cui si può ricavare che l’area della
semionda vale semplicemente 2.
Questa proprietà è degna di nota, una figura con base
irrazionale π e altezza 1 ha come area un valore intero.
In quanto integrale ellittico, non è invece immediato
calcolare la lunghezza del grafico, ma si può comunque ricavarla approssimando
la funzione con una spezzata, ad esempio il segmento da 0 a 60 gradi ha
lunghezza 1,36, mentre da 60 a 90 vale 0,54; in totale 1,9. Ottima
approssimazione visto che il valore reale è circa 1,9101.
Per un semiperiodo (da 0 a π) vale circa 3,8202.
In tabella vengono mostrati alcuni esempi dei valori delle aree e delle lunghezze comprese tra limiti espressi in gradi:
Di seguito qualche esempio significativo mostrato in figura:
