martedì 10 giugno 2025

273. Formule trigonometriche

La trigonometria è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli e lati.

Il compito principale della trigonometria consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo rettangolo (latiangoli, ecc.) partendo da altre misure note (minimo tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni trigonometriche (le più importanti sono seno e coseno).

Le identità trigonometriche sono relazioni fondamentali tra le funzioni.

Le figure che seguono sono “dimostrazioni” delle formule principali, a volte elementari, a volte meno, che potete trovare, ad esempio, in wikimedia commons.


Duplicazione



Somma e sottrazione


Prostaferesi – (S. H. Kung, 1996)

Per queste relazioni rimando direttamente a

Weisstein, Eric W. Prosthaphaeresis Formulas. MathWorld-A Wolfram Web Resource

 



 

Come conseguenza del Teorema di Pitagora si ha la nota relazione

sen2 α + cos2 α = 1




Infine, si riportano 2 esempi interessanti della somma di 3 valori della funzione arcotangente e una dimostrazione del primo teorema di Euclide.

 

Arctan


Primo teorema di Euclide


Zibaldone Scientifico: 238. Atan

Zibaldone Scientifico: Risultati di ricerca per euclide



domenica 1 giugno 2025

272. Sonde spaziali

Le sonde Pioneer 10 e 11 (lanciate nel ’72 e ’73) e successivamente le 2 Voyager (lanciate nel ’77) sono state progettate per l’esplorazione del Sistema Solare.

Entrambe le sonde Pioneer hanno a bordo una placca; in alluminio anodizzato con oro, su cui è inciso:

·       Lo schema di transizione iperfine per inversione di spin dell'idrogeno neutro per suggerire quale frequenza utilizzare per contattarci (lunghezza d'onda 21 cm)

·       La posizione relativa del Sole rispetto al centro della galassia e a 14 pulsar

·       Lo schema del Sistema solare

·       Le immagini di un uomo e di una donna, sovrapposte al contorno della navicella per rendere l’idea della statura delle due persone.





Cinque anni più tardi la NASA a bordo delle Voyager inviò un disco di rame placcato oro, con tanto di istruzioni per l’uso incise sulla custodia di alluminio. 
Include:

·       116 immagini dell’ambiente terrestre

·       le registrazioni di 27 brani musicali

·       i saluti in 55 lingue

·       un messaggio del Segretario generale delle Nazioni Unite Kurt Waldheim

·       uno del Presidente degli Stati Uniti Jimmy Carter

·       suoni caratteristici del pianeta Terra.

Il disco è in rame placcato d’oro, 30 cm di diametro. La copertura del disco è in alluminio, elettro-placcato con un campione dell'isotopo di uranio-238 (il cui tempo di dimezzamento è di 4.468 miliardi di anni) per consentire a un'eventuale civiltà che lo recuperi di determinarne l'età misurando (attraverso, per esempio, uno spettrometro di massa) la frazione di uranio rimanente.



Aneddoto: il team di Carl Sagan voleva includere nel disco la canzone dei Beatles del 1969 "Here Comes the Sun", ma la casa discografica EMI, che deteneva i diritti d'autore, rifiutò. Sagan raccontò che i Beatles erano favorevoli all'idea, ma non possedevano il copyright.

Le missioni Voyager utilizzarono un allineamento planetario che avviene una volta ogni 175 anni, il che permette di visitare i 4 pianeti giganti del Sistema Solare. Nel 1998, Voyager 1 era la navicella più lontana dalla Terra (superando Pioneer 10).

Non è previsto che incontrino stelle vicine, tra 40.000 anni Voyager 1 passerà a più di 1 anno-luce dalla stella nana AC+793888 e fra circa 300.000 anni Voyager 2 transiterà a 4,3 anni-luce da Sirio.

Le sonde gemelle Voyager sono passate accanto a Giove e a Saturno, in seguito Voyager 2 ha visitato anche Urano e Nettuno.

Voyager 1 - 5 settembre 1977

La sonda passò vicino a Giove il 5 marzo 1979. Le due Voyager fecero numerose scoperte su Giove e i suoi satelliti. La più sorprendente fu la scoperta di vulcani di zolfo su Io, che non erano mai stati osservati né dalla Terra né dal Pioneer 10 o dal Pioneer 11. La sonda proseguì il suo viaggio verso Saturno. Il punto di massimo avvicinamento fu raggiunto il 12 novembre 1980, quando passò a una distanza di poco più di 120.000 km dal pianeta. La sonda fotografò le complesse strutture degli anelli di Saturno, e studiò l'atmosfera di Saturno e di Titano.

A maggio 2025, la sonda sta operando e comunicando dati da 47 anni e 8 mesi e, continuando a viaggiare rispetto al Sole alla velocità stimata di 61.198,15 km/h, si trova alla distanza dal Sole di 166,9 AU (2,49×1010 km), facendone l'oggetto artificiale più lontano dalla Terra.

Voyager 2 - 20 agosto 1977  - quattro pianeti:

A maggio 2025 la Voyager 2 si trova nello spazio interstellare alla distanza dal Sole di 139,626 AU (2,088×1010 km). La sonda si sta allontanando dal Sole alla velocità di 15,37 km/s.

Oltre queste, le principali sonde che sono andate oltre Giove includono New Horizons (che ha esplorato Plutone e ora si trova nella cintura di Kuiper), e missioni come Juno (che esplora Giove) e Cassini (che ha esplorato Saturno, ma ha attraversato l'orbita di Giove durante il suo viaggio). La sonda Parker Solar Probe e le sonde Helios sono missioni che, pur avendo come obiettivo primario il Sole, sono andate ben oltre l'orbita di Giove.

Ecco le principali sonde che sono arrivate oltre Giove (distanza di circa 5,2 AU dalla Terra):

Pioneer 10 (1972)

  • Lancio: Il 2 marzo 1972, è stata la prima sonda a essere lanciata verso l'esterno del sistema solare. La missione principale di Pioneer 10 era quella di esplorare Giove, studiando il campo magnetico del pianeta, la radiazione cosmica e altri fenomeni. Dopo aver sorvolato Giove nel 1973, la sonda ha continuato a viaggiare verso l’esterno del sistema solare.
  • Distanza attuale: Pioneer 10 è stata la prima sonda a lasciare il sistema solare nel 1983, quando ha raggiunto la zona di transizione tra il sistema solare e lo spazio interstellare. Pioneer 10 è ora a più di 13 miliardi di chilometri dalla Terra (circa 88 AU), nel 2003 il segnale è stato perso definitivamente.

Pioneer 11 (1973)

  • Lancio: nell'aprile del 1973, quasi un anno dopo Pioneer 10, con un obiettivo simile. La missione di Pioneer 11 includeva lo studio di Giove, ma la sonda è stata anche la prima a esplorare Saturno, passando vicino al pianeta nel 1979 e fornendo preziose informazioni sui suoi anelli e sul campo magnetico.
  • Distanza attuale: Dopo il sorvolo di Saturno, Pioneer 11 ha proseguito il suo viaggio nell'intervallo tra il sistema solare e lo spazio interstellare. La comunicazione con Pioneer 11 è stata interrotta nel 1995, e ora la sonda si trova a circa 12 miliardi di chilometri dalla Terra (circa 80 AU).

Voyager 1 (1977)

  • Lancio: Voyager 1 è stata lanciata dalla NASA nel 1977 ed è attualmente la sonda spaziale più lontana dalla Terra. Ha attraversato l'orbita di Giove e Saturno, ed è ora nello spazio interstellare.
  • Distanza attuale: Dopo aver passato Giove e Saturno, Voyager 1 ha continuato il suo viaggio verso l'uscita dal sistema solare. Continua a inviare segnali.

Voyager 2 (1977)

  • Lancio: lanciata anch'essa nel 1977, ha esplorato Giove, Saturno, Urano e Nettuno. È l'unica sonda che ha visitato tutti e quattro i giganti gassosi.
  • Distanza attuale: Dopo aver attraversato l'orbita di Giove, Voyager 2 ha visitato Saturno, Urano e Nettuno. Anche Voyager 2 è attualmente diretta verso lo spazio interstellare e ha attraversato la frontiera del sistema solare nel 2018, rimanendo in contatto con la Terra.

Helios 1 e Helios 2 (1974 e 1976)

  • Lancio: missioni congiunte tra NASA e Germania, lanciate negli anni '70.
  • Distanza attuale: pur essendo destinate a studiare il Sole, entrambe le sonde hanno poi viaggiato molto oltre Giove per raccogliere dati sul vento solare e sulle particelle cariche.

Cassini (1997)

  • Lancio: nel 1997 con destinazione Saturno, Cassini ha attraversato l'orbita di Giove durante il suo viaggio.
  • Distanza attuale: Cassini ha utilizzato Giove come punto di assistenza gravitazionale durante il suo viaggio verso Saturno. La missione ha studiato Saturno, le sue lune e gli anelli fino al termine della sua missione nel 2017.

New Horizons (2006)

  • Lancio: nel 2006, ha raggiunto Plutone nel 2015 e ha continuato a esplorare la fascia di Kuiper Belt.
  • Distanza attuale: dopo aver sorvolato Plutone, New Horizons ha continuato verso oggetti più distanti nel sistema solare esterno, ed è ora nella fascia di Kuiper oltre l'orbita di Giove. Nel gennaio 2019, ha sorvolato un oggetto chiamato Arrokoth (precedentemente noto come 2014 MU69), il primo oggetto della cintura di Kuiper ad essere esplorato da una sonda.

Juno (2011)

  • Lancio: nel 2011 per studiare Giove, ha attraversato l'orbita del pianeta gigante e si è inserita in orbita polare attorno a Giove nel 2016.
  • Distanza attuale: la sua traiettoria l'ha portata oltre l'orbita di Giove per entrare in orbita attorno al pianeta gigante, esplorando la sua atmosfera, il suo campo magnetico e le sue lune.

Parker Solar Probe (2018)

  • Lancio: nel 2018 per studiare il Sole, ma la sua traiettoria la porta ben oltre l'orbita di Giove durante il suo viaggio.
  • Distanza attuale: la sonda ha compiuto una serie di passaggi ravvicinati con il Sole e arriverà fino a 0,04 AU dal Sole durante i suoi passaggi più stretti. 

Record di velocità - Wikipedia

Il record per la maggiore velocità raggiunta da un oggetto creato dall'uomo appartiene alla sonda Parker Solar Probe, che il 29 aprile 2021 ha raggiunto i 532000 km/h in avvicinamento al Sole e raggiungerà il picco di velocità con 690000 km/h presso il perielio.


Voyager 2 velocity;   Earth – Jupiter – Saturn – Uranus - Neptune

ntrs.nasa.gov/api/citations/19900004096/downloads/19900004096.pdf


La fionda gravitazionale è una tecnica che utilizza la gravità di un pianeta per alterare il percorso e la velocità di un veicolo spaziale, consentendo di risparmiare carburante e tempo. A seguito dei guadagni di velocità dovuti a Giove, Saturno e Urano, la gravità del Sole non ha potuto impedire l'uscita di Voyager 2 dal sistema solare. La sonda accelera e poi rallenta mentre sorvola ciascun gigante gassoso, ma sperimenta solo variazioni positive di velocità relative al Sole.



Jean-Luc Robert-Esil - Jacques Paul, Piccolo libro sull’Universo, ediz. Dedalo

Placca dei Pioneer - Wikipedia

List of artificial objects leaving the Solar System - Wikipedia

Apollo 11 goodwill messages - Wikipedia

Voyager Golden Record - Wikipedia

Pale Blue Dot - Wikipedia

Portal:Spaceflight - Wikipedia

Timeline of spaceflight - Wikipedia

List of Solar System probes - Wikipedia

Fionda gravitazionale - Wikipedia

Zibaldone Scientifico: 26. Effetto Fionda Gravitazionale

Zibaldone Scientifico: astronomia



domenica 9 marzo 2025

271. Terne pitagoriche

Una circonferenza può facilmente essere inscritta in un poligono regolare.

Il più semplice è una circonferenza di raggio 1 (con area Pi greco) in un quadrato di lato 2 :


Altri 2 esempi sono il triangolo equilatero e l’esagono:



I triangoli (rettangoli) i cui lati formano una Terna Pitagorica meritano un discorso a parte.

Una terna pitagorica è una sequenza di tre numeri interi positivi (a, b, c) tali che  a2 + b2 = c2. Il nome deriva dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.


Valgono le seguenti condizioni:

   i tre numeri NON possono essere tutti pari (altrimenti la terna non sarebbe primitiva)

       i tre numeri NON possono essere tutti dispari (il quadrato di un dispari è dispari ma la somma di due dispari è pari)

       NON ci possono essere due numeri pari e uno dispari. Quindi una terna pitagorica primitiva DEVE avere due numeri dispari e uno pari

      l'ipotenusa DEVE essere dispari (altrimenti il suo quadrato sarebbe la somma di due dispari e quindi divisibile per 2 ma non per 4)

         dai punti precedenti segue che a+b+c e a+b-c DEVONO essere pari

Prima di proseguire introduco alcune importanti formule.

La formula di Erone consente di calcolare l’area di un triangolo conoscendo solamente la lunghezza dei suoi tre lati:

dove p è il semiperimetro  p = ( a + b + c ) / 2

La misura del Raggio del cerchio inscritto in un triangolo qualsiasi è pari al rapporto tra il doppio dell'area del triangolo e la misura del suo perimetro:  

R = 2A / P

Quindi, per calcolare Perimetro e Area del triangolo e successivamente il Raggio della circonferenza inscritta, bastano i 3 lati del triangolo.

Per un triangolo rettangolo la formula precedente diventa:

R = 2A / P = ab / (a+b+c) o più semplicemente: 

R = ½ (a+b–c)

Elenco qui sotto le terne pitagoriche con ipotenusa minore di 100; in tabella vengono anche riportati il perimetro P e l’area A del triangolo, con il rapporto R = 2A / P                        A014498 - OEIS 


Questo rapporto è un numero naturale, per cui l’area della circonferenza inscritta nel triangolo è un multiplo intero di Pi greco.

Più in generale vale: in ogni triangolo rettangolo il raggio della circonferenza inscritta e i 3 ex-raggi delle 3 circonferenze ex-inscritte sono numeri naturali

R = ½ (a+b–c);   Ra = ½ (a+c–b);   Rb = ½ (b+c–a);   Rc = ½ (a+b+c)


Pitagora   (tra il 580 a.C. e il 570 a.C. – 495 a.C.)

Euclide      (IV secolo a.C. – III secolo a.C.)

Erone        (I secolo d.C.)


Esercizio: per le terne pitagoriche, dimostrare: ab/(a+b+c) = ½ (a+b–c)

Pythagorean Triple -- from Wolfram MathWorld

Pythagorean triple - Wikipedia

Formula di Erone - Wikipedia

Pythagorean Triangles di Waclaw Sierpinski, DOVER

mercoledì 5 marzo 2025

270. Esponenziali complessi

 Nel post 146. Argomenti Complessi sono state riportate alcune formule notevoli che utilizzano i numeri complessi dove l’unità immaginaria i è definita come:    i 2  =  -1

Si è visto anche che elevando i ad i si ottiene:

                                  i i  =  0.2078795763507619…

E se questo numero reale lo elevassimo ulteriormente a i, con pochi passaggi potremmo ottenere il valore iniziale i cambiato di segno:

(0.20787957…)i   =   ( i i )i   =   i i . i  =  i -1  =  1 / i  =  - i

Continuando con l’elevamento a potenza avremmo un ciclo di 4 valori che si ripetono:

i         0,2078796…       -i         4,8104773…       e di nuovo     i


Piano complesso di Argand-Gauss
Piano complesso di Argand-Gauss

L'elevamento a potenza non è commutativo, ad esempio 23 è differente da 32inoltre, a differenza dell'addizione e della moltiplicazione, non è associativo: 

ad esempio, (23)2 = 82 = 64, mentre 2(3^2) = 29 = 512. 

Cioè, quello che abbiamo detto prima, vale se (((((i^i)^i)^i)^i)^…), ma se invece volessimo calcolare i^(i^(i^(i^(i^…)))), il risultato sarebbe:

0,207879

0,947159 + 0,320764 i

0,050092 + 0,602116 i

0,387166 + 0,030527 i

0,782276 + 0,544607 i

0,142562 + 0,400467 i

0,519786 + 0,118384 i

0,568589 + 0,605078 i

0,242365 + 0,301151 i

0,578489 + 0,231530 i

0,427340 + 0,548231 i

0,330967 + 0,262892 i

0,574271 + 0,328716 i

0,369948 + 0,468173 i

0,400633 + 0,263120 i

…………

Piano complesso di Argand-Gauss

Si può dimostrare che questa serie converge alla soluzione complessa di

z  =  i z       con   z  =  0,4382829 + 0,3605924 i  =  reiϑ

                      r = 0,5675551,   ϑ = 0,6884532


A077589 (parte reale di z)               A077590 (parte immaginaria)

A212479 (valore assoluto di z)        A212480 (argomento di z)

 

Per festeggiare il Pi-day, comincio con ricordare che molte formule contengono sia Pi greco che l’unità immaginaria, l’esempio più noto è l'Identità di Eulero:

e iπ  =  -1

e da questa si può subito ricavare          ln (-1)  =  i π

Continuando si ottengono altre interessanti relazioni:


e queste ci aiutano a comprendere perché elevare l’unità immaginaria a sé stessa fornisca un numero reale.


Iterating complex powers

sequences and series - Infinite exponentiation - Mathematics Stack Exchange

Imaginary Powers | Math in Matter

Qui sotto vengono elencati alcuni altri esempi:

sin (i) = 1.1752012i               arcsin (i) = 0.8814i
sinh (i) = 0.8415i                   arcsinh (i) = 1.5708i
cos (i) = 1.5430806                arccos (i) = 1.5708 - 0.8814i
cosh (i) = 0.5403                    arccosh (i) = 0.8814 + 1.5708i
tan (i) = 0.7616i                     arctan (i) = indefinito
tanh (i) = 1.5574i                   arctanh (i) = 0.7854i
csc (i)  = -0.8509i                   arccsc (i) = -0.8814i
csch (i) = -1.1884i                  arccsch (i) = -1.5708i
sec (i) = 0.6481                      arcsec (i) = 1.5708 + 0.8814i
sech (i) = 1.8508                    arcsech (i) = -0.8814 + 1.5708i
cot (i) = -1.3130i                    arccot (i) = indefinito
coth (i) = -0.6421i                  arccoth (i) = -0.7854i


Calcolatrici x numeri complessi:   

http://www.calcinator.com/scicalc.html

Complex number calculator

Per approfondire si possono consultare i link:

Abstract -  Complex numbers