Zibaldone Scientifico: 258. Pizza al taglio

mercoledì 6 settembre 2023

258. Pizza al taglio

Come detto nel post 191. La Curvatura degli Ombrelloni, la spiaggia è un buon posto dove riflettere. Questa volta un altro ombrellone mi ha fatto venire in mente un teorema di geometria elementare che dimostra l'uguaglianza di due aree ottenute partizionando opportunamente un cerchio: il teorema della pizza, se una pizza circolare è divisa in 8, 12, 16, ... fette facendo tagli equiangolari, la somma delle aree delle fette pari è uguale a quella delle fette dispari rimanenti.

Primo Teorema. Se due persone tagliano una pizza in 4n + 4 settori equiangolari (con n intero maggiore di zero), centrati in un punto qualsiasi, e si alternano prendendo una fetta a testa, percorrendo la pizza in senso orario o antiorario, entrambi ne mangeranno la stessa quantità.

Inoltre, i settori possono essere raggruppati anche in n + 1 insiemi equiestesi.

Quindi, ad esempio, una pizza tagliata in 8 fette potrà essere suddivisa equamente fra 2 persone, una divisa in 12 fette tra 3 e una divisa in 20 tra 5.

Vediamo ora qualche altro teorema (da prendere più o meno sul serio …).

Secondo Teorema. L’area totale delle fette verdi è uguale a quella delle fette rosse (a prescindere da dove sia posizionata P). In questo caso non è l’angolo al centro, ma è il bordo di ogni fetta ad essere mantenuto costante.

Nota: è facile verificare che per la figura di destra, che mostra un poligono regolare invece che un cerchio, vale lo stesso teorema, ma in questo caso la dimostrazione è più semplice.

Terzo Teorema. Se si divide la pizza in 6 parti (angoli di 60 gradi), vale sempre la seguente uguaglianza:

Quarto Teorema. Anche per la pizza vale il teorema di Pitagora: l’area della pizza costruita sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree delle pizze costruite sui cateti:

Quinto Teorema. Indicando con Pi il noto 3.14, il volume di una pizza di raggio z e spessore a è dato dall'espressione:

Pi x z x z x a

Sesto Teorema. Si può dividere equamente una pizza quadrata tra due persone tagliandola quattro volte: taglio verticale, orizzontale e diagonale (a 45 gradi) posizionando il punto di incrocio ovunque all'interno del quadrato: