13
+ 23 + 33 + … + n3 = (1 +
2 + 3 + … + n)2
La verifica è presto fatta. La somma
dei cubi presenti nella parte sinistra abbiamo visto essere uguale a:
Mentre alla destra dell’uguale abbiamo
il quadrato della somma dei primi n
numeri:
Elevando alla seconda potenza questo
risultato si ottiene facilmente la formula precedente.
Ma esiste anche in questo caso una
semplice interpretazione grafica.
La somma dei cubi può essere riscritta
come:
13
+ 23 + 33 + … + n3 = 1 x 12 + 2 x 22 + 3 x 32 + … + n x n2
La costruzione in figura mostra come
con ad un primo quadratino di lato 1 si possono aggiungere 2 quadrati di lato 2
e continuando così 3 di lato 3, 4 di lato 4, ecc. Per essere precisi, i
quadrati con lato pari vengono posizionati in modo che alle estremità vengano
poste 2 metà.
Nessun commento:
Posta un commento