125. Galilei: Salviati, Simplicio e Sagredo

All'interno di un dato sistema di riferimento non è possibile evidenziare il moto rettilineo e uniforme dello stesso sistema,

o, in altre parole,

le leggi fisiche per osservatori in moto relativo rettilineo ed uniforme devono avere la stessa forma.

 

E’ abbastanza spontaneo (e sicuramente corretto) abbinare il concetto di Teoria della Relatività ad Albert Einstein, mentre è meno immediato metterlo in relazione a quanto scritto da Galileo Galilei quattro secoli orsono.

Forse perché descritto nell’italiano del seicento oppure perché basato su un Dialogo fra tre personaggi, dove ognuno interpreta un preciso ruolo come nella commedia dell’arte. La cosa più sorprendente è come, senza formule, riesca ad esprimere un fondamentale principio della Fisica.

In seguito Einstein con la Relatività Ristretta fece un’estensione di questo postulato alle equazioni di Maxwell (che esprimono le leggi dell'elettromagnetismo ed hanno come conseguenza il fatto che la velocità della luce nel vuoto sia la stessa per osservatori che utilizzino sistemi di riferimento inerziali).

Per mezzo di Salviati, si invitano Simplicio e Sagredo ad un esperimento mentale, e, immaginandosi sotto coperta di una nave, si stabilisce un'analogia tra gli avvenimenti che accadono sulla superficie terrestre e quelli che avvengono su un Gran Naviglio. Il lettore è così trasportato sottocoperta di una nave, in modo di non essere soggetto all'attrito dell'aria, e qui, sottocoperta, iniziano a verificarsi gli stessi avvenimenti, senza che ci possa essere nulla che permetta di rilevare il moto della nave.

Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo

Salviati, Giornata seconda.

«Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, equali spazii passerete verso tutte le parti.

Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, nè da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma.

Voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima, nè, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con più forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e voi verso la poppa, che se voi fuste situati per l'opposito; le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella loro acqua non con più fatica noteranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell'orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti, né mai accaderà che si riduchino verso la parete che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi per aria, saranno state separate [...].»

 

 

http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_relativit%C3%A0

http://www.fmboschetto.it/tde/0_1.htm

http://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni_di_Maxwell

http://it.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein
http://zibalsc.blogspot.it/2010/12/12-postulati-della-relativita-speciale.html
http://zibalsc.blogspot.it/2010/12/13-equazioni-del-moto.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Physics

 

http://www.mathpages.com/rr/rrtoc.htm

 

 

Abstract - Galilean invariance

124. 33 years after

27 giugno 1980, venerdì, una bella serata, concerto a S.Siro. In quegli anni se si arrivava a spettacolo iniziato si poteva sperare di entrare gratis. Chiedo agli amici ma nessuno sembra interessato, decido di passare a vedere qual è il clima.

Lo stadio illuminato a giorno e piazzale Axum deserta. Parcheggio. Attraverso il piazzale e arrivo davanti all’entrata principale aperta e non presidiata. Entro. Salgo sino all’ultimo anello. Le luci si abbassano e comincia la musica.

Più o meno nello stesso istante l’aereo Itavia IH870 in volo su Ustica veniva abbattuto con 81 persone a bordo e nella stessa estate alla stazione di Bologna esplode una bomba che uccide altre 85 persone.

E mentre 100.000 persone fanno oscillare le gradinate, una splendente Luna piena fa capolino su uno degli ultimi concerti di Bob Marley.

 

123. Paradosso dei Gemelli - bis

Del Paradosso dei Gemelli si è già parlato due anni fa nel post 67, ma uno dei passaggi riguardante il calcolo del tempo trascorso in uno dei 2 sistemi di riferimento arrivava a considerazioni sbagliate. Questo può succedere per motivi legati alla fiducia riposta in Wikipedia o alla pigrizia nel ripetere tutti i conti.

Riprenderemo in sintesi quanto già scritto, correggendo gli errori e aggiungendo esempi dettagliati e alcune tabelle.

Pur essendone un assiduo frequentatore, non sono in grado di correggere la pagina di Wikipedia riguardante il Paradosso dei Gemelli che riporta alcune conclusioni inesatte o spiegate in modo non chiaro, ma sarei felice di collaborare al miglioramento dei contenuti. Voglio ringraziare Maurizio Cavini che ha evidenziato l’incongruenza delle conclusioni ottenute.

L'apparente contraddizione del Paradosso consiste nel considerare l’evoluzione temporale di 2 Gemelli, di cui uno decide di partire per un viaggio interstellare mentre l’altro rimane a Terra ad attenderlo.

Per quanto previsto dalla Relatività Ristretta di Albert Einstein, ognuno dei  2 sistemi inerziali in moto uniforme, vede il tempo dell’altro sistema dilatato, cioè gli orologi risultano rallentati.

Nell’esempio riportato in Wikipedia: Paradosso dei gemelli, nell’anno 3000 un’astronave parte per un viaggio sino a Wolf 359 (distante 8 anni luce).

Si suppone che la velocità relativa sia:     v = 240.000 km/s  (cioè v = 0,8 c).     

Per questa velocità si ha:

per cui, secondo la teoria della Relatività Ristretta, nel sistema in movimento il tempo scorre al 60% del tempo nel sistema in quiete.

Quindi:

1)         nel sistema di riferimento della Terra, l'astronave percorre 8 anni luce in 10 anni nel viaggio di andata, e ne impiega altrettanti nel viaggio di ritorno:

ritorna sulla Terra nel 3020.

Sull'astronave il tempo scorre al 60% di quello terrestre e secondo l'orologio dell'astronauta il viaggio dura 6 anni per l'andata e altrettanti per il ritorno: all'arrivo il calendario dell'astronave segna l'anno 3012 ed il gemello rimasto sulla Terra è perciò, dopo il viaggio, di 8 anni più vecchio del suo gemello.

Sino a qui è tutto corretto. Ora però per considerare il punto di vista dell’astronauta, si devono prima fare alcune premesse; e cioè che tra 2 sistemi inerziali che si muovono di moto uniforme valgono i seguenti fenomeni:

a) le lunghezze si contraggono; per cui ponendo una stazione spaziale ogni anno luce (L₀), l’astronauta misurerà ogni intervallo 0,6 anni luce,

b) i tempi rallentano; per cui l’astronauta vedrà i 9 orologi (posti sulla Terra, sulle 7 stazioni spaziali e vicino a Wolf 359) rallentare,

c) la simultaneità di 2 eventi non causalmente connessi dipende dal sistema di riferimento, per cui se sincronizziamo tra di loro i 9 orologi, l’astronauta, che all’istante iniziale si trova a passare vicino alla Terra, vedrà ogni singolo orologio in avanti di  

L₀ v / c²  = ( 1 anno luce / c ) x ( v / c ) =  1 anno x 0,8  =  0,8 anni

Per l’osservatore T sulla Terra il suo calendario e quello del collega posizionato vicino a Wolf 359 segnerebbero il primo gennaio 3000, mentre l’astronauta A concorderebbe con la data del calendario terrestre, ma un evento su Wolf 359 avvenuto in modo simultaneo per T (il primo osservatore) il giorno 1/1/3000, sarebbe registrato da A  come avvenuto 6,4 anni dopo cioè il 27/5/3006.

            E’ importante precisare che non prenderemo in considerazione i ritardi dovuti al tempo di viaggio ed ai ritardi dovuti al fatto che la luce impiega anni ad arrivare all’osservatore, perché’ possiamo pensare di avere telecamere situate in ogni postazione che registrano i passaggi con le indicazioni di data e ora; ed in seguito inviano le informazioni a Terra o all’astronave.

E’ ora riproposto il punto di vista riveduto e corretto del secondo sistema di riferimento.

2)         nel sistema di riferimento dell'astronave, per effetto della contrazione relativistica delle lunghezze, la distanza fra Terra e Wolf 359 si accorcia al 60%, cioè da 8 a 4,8 anni luce. Alla velocità di 0,8 c, si impiegano quindi, secondo l'orologio dell'astronave, 6 anni per l'andata e 6 per il ritorno, coerentemente con quanto calcolato nel sistema di riferimento della Terra. Poiché in questo sistema di riferimento è la Terra a muoversi, è l’orologio di T che va al 60% del tempo A dell'astronave: quindi per A il tempo trascorso per T è di 3,6 anni solamente!!!

Ora però non si deve dimenticare che A vede gli orologi inerziali con T non simultanei tra loro ed in particolare quello posizionato vicino a Wolf 359 in anticipo di 6,4 anni.

3,6 anni  +  6,4 anni  =  10 anni

Quindi entrambi gli osservatori concordano che una volta arrivato vicino a Wolf 359 il calendario inerziale con T segnerà 1/1/3010, mentre quello di A il 1/1/3006.

Per evitare considerazioni legate all’accelerazione a cui si sottopone l’astronave per invertire la rotta, che, come mostrato nel precedente post, possono essere risolte con il formalismo utilizzato dalla Relatività Generale, possiamo supporre che una seconda astronave (la chiameremo B) si trovi a passare nei pressi di Wolf 359, con uguale velocità e direzione ma verso opposto, il 1/1/3010 (per T). Per B valgono le stesse considerazioni fatte per A, solo che  in questo caso la simultaneità degli orologi come visti da B risulta invertita rispetto a prima.

Non rifarò un altro ragionamento analogo al precedente, ma all’arrivo di B sulla Terra

il calendario terrestre indicherà  1/1/3020,  mentre quello di  B  1/1/3012.

e questo per entrambi gli osservatori.

 

Di seguito sono riportate alcune tabelle che esemplificano quanto detto in precedenza.

La prima tabella mostra i 9 orologi (posti sulla Terra, sulle 7 stazioni spaziali e vicino a Wolf 359) come visti dai 2 osservatori al momento della partenza; come si vede sono simultanei solo nel sistema inerziale terrestre:

La seconda tabella nella prima colonna mostra quanto indicato dai calendari simultanei a quello terrestre e naturalmente anche quello che vede l’astronauta al passaggio nelle varie stazioni spaziali, mentre nel resto della tabella quanto indicato dal calendario sull’astronave:

 

 

La terza tabella nella prima colonna mostra quanto visto all’andata da A e al ritorno da B in modo analogo alla situazione precedente, ma considerando a riposo il sistema inerziale della navicella spaziale:

 

 

Oltre ai libri già citati consiglio la lettura di:

Daniel Styer, Capire davvero la relatività, Zanichelli, 2012

http://online.scuola.zanichelli.it/chiavidilettura/capire-davvero-la-relativita/

che ha contribuito a chiarirmi le idee.

Hermann Bondi, La relatività e il senso comune, Zanichelli, 1965

L. D. Landau, E. M. Lifsits, Teoria dei Campi, Editori Riuniti, Edizioni Mir, 1976
B.A. Dubrovin et al., Geometria contemporanea I, Editori Riuniti, 1987
Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology, J.Wiley, 1972

http://zibalsc.blogspot.com/2011/01/15-spaziotempo-di-minkowski.html

http://zibalsc.blogspot.com/2010/12/12-postulati-della-relativita-speciale.html
http://zibalsc.blogspot.it/2011/06/67-paradosso-dei-gemelli_28.html
 

122. Teorema di Pitagora

   Problema:

date 2 figure simili trovare una terza figura, simile alle precedenti, equivalente (con la stessa area) alla somma delle precedenti.

In modo grafico quanto mostrato nella seguente figura:
 

 

La soluzione è più semplice di quello che possa sembrare.
 

Partiamo dall’enunciato del Teorema di Pitagora:
 

In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è sempre equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

 

Piergiorgio Odifreddi nel suo libro C’è spazio per tutti

 

mostra una straordinaria forma generale del Teorema di Pitagora:

In un triangolo rettangolo, una figura qualunque costruita sull’ipotenusa è uguale alla somma delle figure simili costruite sui cateti.

 

 

In figura viene mostrato un esempio con alcuni poligoni regolari.

 

 

 

  

Per cui la soluzione è ottenuta facilmente in modo grafico o applicando ad ogni singolo segmento il Teorema di Pitagora.

 

 

E se la figura fosse un frattale?

Per una risposta esaustiva servirebbe una spiegazione approfondita che potete comunque trovare nel sito:

http://classes.yale.edu/fractals/FracAndDim/AreaPerim/AreaPerim.html

 

121. Irrazionale

Da Treccani.it – L’Enciclopedia Italiana

irrazionale agg. [dal lat. irrationalis, comp. di in-2 e rationalis «razionale»]. –

a. Nel linguaggio comune, non dotato di ragione: gli esseri, le creature i.; non conforme a ragione, che non procede o non è dettato da ragione... In particolare, non fondato su ragionamenti validi, non dettato da ragioni logicamente dedotte, e quindi, spesso, illogico: conseguenza, deduzione i.; metodo, sistema irrazionale.

b. Nel linguaggio filosofico, di tutto ciò che non possa essere penetrato, dimostrato o giustificato dalla forza logica del pensiero, o sia comunque estraneo all’attività razionale del pensiero; …

c. In matematica (con sign. che si rifà al gr. ἄλογος, esatto corrispondente del lat. irrationalis), numero i. (o irrazionale s. m.), un numero reale che non può esprimersi come rapporto (lat. ratio) tra due numeri interi primi fra loro; si tratta di un numero decimale illimitato non periodico (cioè con infinite cifre decimali non succedentisi con regolarità), che spesso esprime il rapporto fra due grandezze incommensurabili. In partic., dal punto di vista aritmetico:

numero i. algebrico, che è radice di equazioni algebriche a coefficienti interi (per es. la radice dell’equazione x² − 2 = 0);

numero i. trascendente, numero irrazionale che non è radice di nessuna di tali equazioni (per es. π, rapporto tra la circonferenza e il suo diametro).

 

In altre parole si ha che l'insieme dei numeri razionali Q è un insieme numerabile, ovvero ha la stessa cardinalità dell'insieme N dei numeri naturali. Invece l'insieme dei numeri reali R è un insieme molto più grande di Q, e infatti non è numerabile, non ha la stessa cardinalità di Q, bensì ha la cosiddetta potenza del continuo.
Chiaramente Q è contenuto in R e i numeri di R \ Q (cioè Reali ma non appartenenti a Q) si dicono irrazionali.

 

Quando si parla di irrazionali, però, ci si limita a quelli maggiormente conosciuti, come le radici delle equazioni algebriche oppure numeri come π, Ф o e .

Qui ci occuperemo del numero di Eulero e, chiamato talvolta numero di Nepero,

usato per indicare il limite (finito), per n → ∞, della successione:  

(1 + 1/n)ⁿ

Viene approssimato con:   2,7182818284590452353602874713527 ...

e viene usato come base del logaritmo naturale: log_e(x) := ln(x), cioè  ln(e) = 1;

La funzione esponenziale ƒ(x) = e^x ha la seguente importante proprietà:

ƒ(x) = ƒ'(x) = ƒ''(x) = ...

ossia il valore della funzione in un punto è uguale al valore di ogni sua derivata in quel punto.

Come detto in precedenza, e  non può essere rappresentato come rapporto tra numeri interi, ma esistono diversi modi di esprimerlo in forme semplici che possono apparire molto “razionali”.

Ad esempio come somma della serie:

 

 

Un altro approccio si ottiene mediante l’utilizzo delle frazioni continue, come effettuato da Eulero nel suo magistrale:
 

De fractionibus continuis dissertatio

che può essere visionato nella libreria digitale dedicata al lavoro e alla vita di Leonardo Eulero (1707-1783)  The Euler archive

In matematica, una frazione continua è un'espressione quale:

dove a₀ è un intero e tutti gli altri numeri a_n sono interi positivi. Se i numeratori possono differire dall'unità, l'espressione risultante viene chiamata frazione continua generalizzata. Per evitare confusioni una frazione continua non generalizzata viene anche chiamata frazione continua semplice.

https://it.wikipedia.org/wiki/Frazione_continua

La frazione continua precedente può anche essere rappresentata come:

[ a₀ ; a₁, a₂, a₃, a₄, … ]

oppure

Ad esempio la frazione continua di  e  in due differenti rappresentazioni:

 

 

Altri sviluppi notevoli sono:
 

 

Ed infine, la notevole semplice regolarita’ che si trova tra le molte frazioni continue trovate da Eulero:

 

 

List of mathematical constants - Wikipedia

http://eulerarchive.maa.org/

http://eulerarchive.maa.org/pages/E071.html

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi